次の問に答えよ．

(1)関数$y=-2x^3-3x^2+12x$の極値を求め，そのグラフをかけ．
(2)$0 \leqq \theta \leqq \pi$とする．$m$が実数のとき，次の方程式の異なる実数解の個数を求めよ．
\[ \sin \theta(2 \cos^2 \theta-3 \sin \theta+10)-m=0 \]

次の問に答えよ．

(1)$3$点$\mathrm{A}(-1,\ 0)$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を頂点とする$\triangle \mathrm{ABC}$において，点$\mathrm{B}$から対辺に下ろした垂線の方程式は$x-3y+2=0$であり，点$\mathrm{C}$から対辺に下ろした垂線の方程式は$4x+2y-5=0$である．このとき，$3$直線$\mathrm{AB}$，$\mathrm{AC}$，$\mathrm{BC}$の方程式を求めよ．
(2)$a$を定数とする．関数$\displaystyle y=\frac{1}{2}x^3-\frac{15}{4}x^2+8x+5$のグラフと直線$y=2x+a$が共有点を$3$個もち，それらの$x$座標がすべて正の数となるような$a$の値の範囲を求めよ．

$\displaystyle \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$の小数部分を$a$とするとき，$a$は$2$次方程式$x^2+[ア]x+[イ]=0$の解であり，$a^3+6a^2-21a+23$の値は$[ウ]+[エ] \sqrt{[オ]}$である．

$3$次関数$f(x)=x^3-ax-b$について，次の問に答えよ．

(1)$a>0$であるとき，$f(x)$の極大値と極小値を求めよ．
(2)次の$(ⅰ)$，$(ⅱ)$，$(ⅲ)$を示せ．

(i) $27b^2-4a^3>0$のとき，$3$次方程式$f(x)=0$はただ$1$つの実数解をもつ．
(ii) $27b^2-4a^3=0$かつ$a>0$のとき，$3$次方程式$f(x)=0$は異なる$2$つの実数解をもつ．
(iii) $27b^2-4a^3<0$のとき，$3$次方程式$f(x)=0$は異なる$3$つの実数解をもつ．

$2$次関数$y=x^2-1$のグラフ上の点$(1,\ 0)$における接線を$\ell$とする．直線$\ell$と点$(1,\ 0)$で接する円$C$の方程式は，実数$t$を用いて
\[ (x+[ヌ]t+[ネ])^2+(y-t)^2=[ノ] t^2 \]
と表される．円$C$と放物線$y=x^2-1$の共有点の個数が$2$個となる$t$は小さい順に$\displaystyle \frac{[ハ]}{[ヒ]}$と$\displaystyle \frac{[フ]}{[ヘ]}$である．

$x>0$に対して，曲線$\displaystyle C:y=\frac{1}{x^2}$上の点$\displaystyle \mathrm{P} \left( t,\ \frac{1}{t^2} \right)$における接線を$\ell$とし，$\ell$と$x$軸との交点を$\mathrm{Q}$とする．また，点$(t,\ 0)$を$\mathrm{H}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)接線$\ell$の方程式と点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(2)三角形$\mathrm{PHQ}$の面積$S_1$を求めよ．
(3)曲線$C$，線分$\mathrm{PQ}$および$\mathrm{Q}$を通る$y$軸に平行な直線で囲まれた部分の面積を$S_2$とする．このとき，$\displaystyle \frac{S_1}{S_2}$を求めよ．

次の空欄$[ア]$～$[エ]$を適当に補え．

(1)放物線$y=4x^2-4x+8$の頂点の座標は$[ア]$である．
(2)方程式$2 \cdot 4^x+2^x-1=0$の解は，$x=[イ]$である．

(3)関数$f(x)=x^2$について，$\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(2+h)-f(2)}{f(3+h)-f(3)}=[ウ]$である．

(4)白球$4$個，黒球$3$個，赤球$2$個が入っている袋から，$2$個の球を同時に取り出すとき，$2$個の球が異なる色である確率は$[エ]$である．

次の空欄$(\mathrm{a})$～$(\mathrm{g})$を適当に補え．

(1)$2$次方程式$x^2-2x+2=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\displaystyle \frac{\beta}{\alpha}+\frac{\alpha}{\beta}$の値は$[$(\mathrm{a])$}$である．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{0}}$でない$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$は，なす角が${60}^\circ$で，$|\overrightarrow{a}|=2 |\overrightarrow{b}|$である．$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$と$2 \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}$が垂直であるとき，$t$の値は$[$(\mathrm{b])$}$である．
(3)$a^x=\sqrt{3}+\sqrt{2}$のとき，$\displaystyle \frac{a^{3x}-a^{-3x}}{a^x-a^{-x}}$の値は$[$(\mathrm{c])$}$である．
(4)円$x^2+y^2-2x-4y-4=0$上の点$\mathrm{A}$と，円$x^2+y^2-12x-14y+81=0$上の点$\mathrm{B}$について，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の距離の最小値は$[$(\mathrm{d])$}$である．
(5)$6$枚のコインを同時に投げるとき，ちょうど$3$枚のコインが表になる確率は$[$(\mathrm{e])$}$である．
(6)定数$a,\ b$に対して，$\displaystyle \lim_{x \to a} \frac{x^2-b}{x-a}=6$が成り立つとする．このとき，$a=[($\mathrm{f])$}$，$b=[$(\mathrm{g])$}$である．

$x$の$2$次方程式$x^2+ax+b=0$について，以下の問いに答えよ．

(1)この方程式が異なる$2$つの実数解をもたない条件を$a,\ b$の不等式で表せ．
(2)$(1)$の不等式を満たす点$(a,\ b)$の領域を図示せよ．
(3)$a,\ b$が$(1)$の不等式を満たすとき，$a+b$の最小値と，その最小値を与える$a,\ b$の値を求めよ．

$f(x)=|x+1|-|x^2+x|$とする．次の問に答えよ．

(1)関数$y=f(x)$のグラフをかけ．
(2)関数$y=f(x) (-2 \leqq x \leqq 2)$の最大値および最小値を求めよ．
(3)定数$a$を$0 \leqq a \leqq 2$とするとき，方程式$f(x)=a$の解を求めよ．