$x,\ y,\ z$は実数で，$x+y+z=1$，$x^2+y^2+z^2=3$を満たしている．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$xy+yz+zx$の値を求めよ．
(2)$xyz=r$とおく．$x,\ y,\ z$が解となる$t$を未知数とする$3$次方程式を求めよ．
(3)$r$がとり得る値の範囲を求めよ．

曲線$y=e^{-x} \cos x$上の点$(a,\ e^{-a} \cos a)$における接線の方程式を$y=g(x)$とする．

(1)$g(x)$を求めよ．
(2)定積分$\displaystyle A=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin x \, dx$と$\displaystyle B=\int_0^{\frac{\pi}{2}} x \sin x \, dx$を計算せよ．
(3)定積分$\displaystyle S=\int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) \sin x \, dx$を計算せよ．
(4)$a$が$0 \leqq a \leqq \pi$の範囲を動くとき，$(3)$の$S$を最大にする$a$の値を求めよ．

現実の気体では圧力を$p>0$，体積を$v>0$，温度を$T>0$とし，$a,\ b,\ R$を正の定数として方程式
\[ \left( p+\frac{a}{v^2} \right) (v-b)=RT \cdots\cdots ① \]
に従う．

(1)$①$から$p$を$v$を用いて表すと$p=[$9$]$となる．
(2)ボイル・シャルルの法則に従えば，$pv=RT \cdots\cdots②$である．$a>bRT$のとき，$①$と$②$を$p$と$v$の連立方程式とみなすと$v=[$10$]$である．
(3)$T=T_c$（正定数）のとき$①$の$p$を$v$の関数とみなして$\displaystyle \frac{dp}{dv}$，$\displaystyle \frac{d^2p}{dv^2}$を求める．
$①$と$\displaystyle \frac{dp}{dv}=0$，$\displaystyle \frac{d^2p}{dv^2}=0$を同時に満たす$T_c$，$v_c$，$p_c$を求めると，$T_c=[$11$]$，$v_c=[$12$]$，$p_c=[$13$]$である．

原点$\mathrm{O}$を中心とした半径$1$の円$C$がある．円$C$上の$1$点$\mathrm{A}(a_1,\ a_2)$，$a_i>0$，$i=1,\ 2$を考える．$\mathrm{OA}$が$x$軸となす角度を$\theta$とする．

(1)円$C^\prime$を中心$(b_1,\ b_2)$，$b_i>0$，$i=1,\ 2$，半径$1$の円とし，点$\mathrm{A}$と$(1,\ 0)$で円$C$と交わっているものとすると，$(b_1,\ b_2)=[$14$]$である．また円$C^\prime$の点$\mathrm{A}$における接線の方程式は$[$15$]$である．
(2)次に$\theta$を限りなく$0$に近づけていくとき，
\[ \theta,\ \sin \theta,\ \sqrt{2(1-\cos \theta)},\ 1-\cos \theta+\sin \theta \]
の値の大小関係が定まり，これらを小さい順に並べて，$a<b<c<d$とすると
\[ a=[$16$],\ b=[$17$],\ c=[$18$],\ d=[$19$] \]
であり，$\displaystyle \frac{d-a}{bc}$は$[$20$]$に近づく．

次の問いに答えなさい．

$t$を実数とする．座標平面上の$2$次関数$y=f(x)$のグラフ$C$は，軸が$y$軸，頂点が原点$\mathrm{O}$の放物線であり，点$(-2,\ 1)$を通る．$C$上の点$\mathrm{P}(t,\ f(t))$における接線を$\ell$とし，点$\mathrm{Q}(-1,\ 0)$を通り，$\ell$と垂直な直線を$m$とする．

(1)$f(1)$の値は$[$\mathrm{E]$}$である．
(2)$\ell$の方程式を$t$を用いて表すと，$y=[$\mathrm{F]$}$である．
(3)$t$が$-1 \leqq t \leqq 1$の範囲を動くとき，線分$\mathrm{PQ}$を$1:2$に外分する点$\mathrm{G}$の軌跡を求め，またそれを図示しなさい．
(4)$m$が$C$の接線となるとき，$t=[$\mathrm{G]$}$である．このとき，$C$と$\ell$および$m$で囲まれる部分の面積は$[$\mathrm{H]$}$である．

放物線$y=-2x^2-2x+4$について，次の問いに答えよ．

(1)この放物線に点$(-1,\ 6)$から引いた$2$本の接線の方程式を求めよ．
(2)$(1)$で求めた$2$本の接線と$x$軸でつくられた三角形の面積を$S_1$とし，この放物線と$x$軸で囲まれた部分の面積を$S_2$とする．このとき，$|S_1-S_2|$の値を求めよ．

$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(4,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 3)$がある．このとき，次の問に答えよ．

(1)$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る円の方程式を求めよ．
(2)点$\mathrm{C}$が$(1)$で求めた円の周上を動くとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積が最大となるような点$\mathrm{C}$の座標を求めよ．

次の問に答えよ．

(1)方程式$\displaystyle |4-x|+|\displaystyle\frac{1|{2}x-3}=3$を解け．

(2)$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}},\ {25}^{-\frac{1}{3}},\ \frac{1}{\sqrt[5]{125}}$を小さい順に並べよ．

(3)$\mathrm{SHUDODAIGAKU}$の$12$文字から$4$文字を選んで$1$列に並べる順列の総数を求めよ．

$3$点$\mathrm{A}(-1,\ 2)$，$\mathrm{B}(3,\ 4)$，$\mathrm{C}(6,\ -2)$について，次の問に答えよ．

(1)$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る円の方程式を求めよ．
(2)$(1)$で求めた円と直線$y=2x+k$が異なる$2$点で交わるとき，定数$k$の値の範囲を求めよ．

空欄$[$1$]$から$[$11$]$にあてはまる数値または式を記入せよ．

(1)方程式$x^2+4x-5=0$の解は$[$1$]$である．また，不等式$x^2+4x-5>0$の解は$[$2$]$である．
(2)整式$f(x)$を$(x-3)(x+2)$で割った余りは$4x-3$である．このとき，$f(x)$を$x+2$で割った余りは$[$3$]$である．
(3)$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，関数$y=2 \cos^2 \theta+2 \sqrt{2} \sin \theta$の最大値は$[$4$]$，最小値は$[$5$]$である．
(4)$3$点$\mathrm{A}(5,\ -1)$，$\mathrm{B}(2,\ 2)$，$\mathrm{C}$を頂点とする三角形の重心の座標が$\displaystyle \left( \frac{7}{3},\ -\frac{5}{3} \right)$であるとき，点$\mathrm{C}$の座標は$[$6$]$である．このとき，点$\mathrm{C}$を通り直線$\mathrm{AB}$に平行な直線の方程式は$[$7$]$であり，$\cos B$の値は$[$8$]$である．
(5)白の碁石が$5$個，黒の碁石が$5$個，合わせて$10$個の碁石から$8$個の碁石を選んで一列に並べるとき，並べ方は$[$9$]$通りある．このうち，同じ色の碁石が連続して$5$個並ぶ並べ方は$[$10$]$通りあり，また白の碁石が連続して$4$個以上並ぶ並べ方は$[$11$]$通りある．