次の問いに答えよ．

(1)関数$y=2^x$のグラフを$y$軸で対称移動させたのち，$x$軸方向に$-2$だけ平行移動させたグラフの方程式は$[キ]$である．また，$y=2^x$のグラフを$y=x$について対称に移したグラフの方程式を$y=f(x)$の形で表すと$[ク]$である．
(2)不等式$\displaystyle \left( \frac{1}{2} \right)^{7x^2-8x+6}<\left( \frac{1}{2} \right)^{-8x^2+14x-2}$を$x$について解くと$[ケ]$である．

次の問いに答えよ．

(1)軸が直線$x=2$で，$2$点$(4,\ 1)$，$(3,\ 7)$を通る放物線$C_1$の方程式を求めると$[シ]$である．また，点$(4,\ 1)$における放物線$C_1$の接線の方程式を求めると$[ス]$である．
(2)放物線$C_1$を原点に関して対称移動して得られる放物線$C_2$の方程式を求めると$[セ]$である．
(3)$2$つの放物線$C_1,\ C_2$で囲まれた部分の面積を求めると$[ソ]$である．
(4)放物線$C_2$を$y$軸方向に平行移動すると，放物線$C_1$と$1$点で接した．平行移動して得られた放物線の方程式は$[タ]$である．

$a,\ b$を正の定数とし，関数
\[ f(x)=\frac{1}{e^{\frac{x-a}{b}}+2} \quad (x>0) \]
を考える．

(1)$x>a$のとき，$\displaystyle \lim_{b \to +0}f(x)=[ア]$であり，$x<a$のとき，$\displaystyle \lim_{b \to +0}f(x)=\frac{[イ]}{[ウ]}$である．
(2)曲線$y=f(x)$の点$(a,\ f(a))$における接線の方程式は，$\displaystyle y=\frac{[エオ]}{[カ]b}x+\frac{a+[キ]b}{[ク]b}$である．
(3)$\displaystyle b=\frac{1}{3}$とする．$t=e^{3(x-a)}$とおくと，$\displaystyle \frac{dx}{dt}=\frac{1}{[ケ]t}$であり，正の定数$c$に対して，
\[ \int_a^{a+c}f(x) \, dx=\frac{1}{[コ]} \log \left( \frac{[サ]e^{3c}}{e^{3c}+[シ]} \right) \]
となる．また，正の定数$p,\ q$が，$\displaystyle \int_{a-q}^{a+p} f(x) \, dx=\frac{4}{3}p$を満たすとき，
\[ q=\frac{1}{[ス]} \log \left( \frac{e^{[セ]p}+[ソ]e^{[タ]p}-1}{[チ]} \right) \]
となる．

空欄にあてはまる適切な数，式，記号などを記入しなさい．

(1)実数$x$の関数$f(x)=|\sin 2x+2 \sin x+2 \cos x|$の最大値は$[ア]$である．
(2)行列$A=\left( \begin{array}{cc}
\cos \theta & -2 \sin \theta \\
\displaystyle\frac{1}{2} \sin \theta & \cos \theta
\end{array} \right)$が$0<\theta<\pi$の範囲で$A^5=A^2$を満たすとき，実数$\theta$の値は$[イ]$である．
(3)定積分$\displaystyle \int_0^{-1} \frac{x^2-1}{x^2+1} \, dx$の値は$[ウ]$である．
(4)$n$をある自然数とする．実数$x$に対して，方程式$7 \sin^{8n} x+x=0$の解の個数は$[エ]$である．
(5)$\displaystyle 0<a<\frac{1}{4}$とする．座標平面において，方程式$\displaystyle -4ax+\sqrt{(x+a)^2+y^2}=\frac{1}{4}$で表される曲線が囲む図形の面積は$[オ]$である．
(6)$x+y+z+w=20$を満たす正の整数$x,\ y,\ z,\ w$の組は全部で$[カ]$個である．
(7)$7$つの実数$\displaystyle \frac{1}{2}$，$\sqrt{\pi}$，$\sqrt{3}$，$\displaystyle \frac{\pi^2}{8}$，$\displaystyle \sin \frac{\pi}{8}$，$\displaystyle \cos \frac{\pi}{8}$，$\displaystyle \tan \frac{\pi}{8}$を小さい方から順に並べたものを$A<B<C<D<E<F<G$とする．このとき実数$A^2$の値は$[キ]$であり，$E^2-F^2+G^2$の値は$[ク]$である．

$2$次方程式$x^2+ax+b=0$の$1$つの解が複素数$x=2+\sqrt{3}i$のとき，実数$a,\ b$を求めると，$(a,\ b)=[　]$である．また，$3$次方程式$2x^3-5x^2+cx+d=0$の$1$つの解が複素数$x=2+\sqrt{3}i$のとき，この$3$次方程式の実数解は$x=[　]$である．ただし，$c,\ d$は実数とする．

方程式$4^x-2^{-x}=5(2^x-1)$を満たす$x$のうち最大のものを$a$，最小のものを$b$とする．このとき$2^a$の値は$[　]$で，$4^a+4^b$の値は$[　]$である．

$a>0$とする．$xy$平面において，放物線$y=x^2+1$の$x \geqq 0$の部分を$C$とし，曲線$C$上の点$\mathrm{A}(a,\ a^2+1)$における接線を$\ell$，$\mathrm{A}$を通り$\ell$に垂直な直線を$m$とする．

(1)直線$\ell$の方程式と直線$m$の方程式を求めよ．
(2)曲線$C$，直線$\ell$および$y$軸で囲まれた部分の面積を$S_1$とし，曲線$C$，直線$m$および$y$軸で囲まれた部分の面積を$S_2$とする．$3S_1=S_2$となるとき，$a$の値を求めよ．

次の$[　]$にあてはまる数または式を記入せよ．

(1)$a$を実数の定数として，放物線$y=2x^2-(a+3)x+a+1$のグラフの頂点は$([ア],\ [イ])$で，この点は$a$の値にかかわらず，放物線$y=[ウ]x^2+[エ]x-[オ]$上にある．
(2)平面上の直線$y=2x+1$と点$(0,\ 1)$において${45}^\circ$の角度で交わる直線は$2$つあり，これらの直線の方程式は，$[カ]$と$[キ]$である．
(3)$5$つの数$\sqrt[3]{4}$，$1$，$16^{\frac{1}{5}}$，$\log_43$，$\log_32$を小さいほうから順に並べると
\[ [ク]<[ケ]<[コ]<[サ]<[シ] \]
となる．
(4)方程式$7x+19y=2014$を満たす自然数の組$(x,\ y)$は$[ス]$個ある．

次の$[　]$に当てはまるものを下記の$①$～$④$のうちから一つ選び，その番号をマークせよ．ただし，同じものをくり返し選んでもよい．

$a,\ b,\ c$を定数とし，$a \neq 0$とする．条件$p,\ q,\ r,\ s,\ t$を次のように定める．
$p:$方程式$ax^2+bx+c=0$は異なる$2$つの実数解をもつ．
$q:$座標平面で関数$y=ax^2+bx+c$のグラフは$x$軸と異なる$2$点で交わる．
$r:ac<0$である．
$s:b^2-ac>0$である．
$t:(a+b+c)(a-b+c)<0$である．

このとき，$q$は$p$の$[ケ]$．$r$は$q$の$[コ]$．$s$は$p$の$[サ]$．$t$は$q$の$[シ]$．
\[ \begin{array}{ll}
① \text{必要十分条件である} & ② \text{必要条件であるが，十分条件でない} \\
③ \text{十分条件であるが，必要条件でない} & ④ \text{必要条件でも十分条件でもない}
\end{array} \]

次の問いに答えよ．

(1)$k$を定数とする．整式$3x^3+16x^2+35x+k$を整式$A$で割ると，商が$x+3$で，余りが$5x-7$である．このとき，$k=[アイ]$であり，$A=[ウ]x^2+[エ]x+[オ]$である．
(2)$a,\ b,\ c$を定数とする．方程式$x^3+ax^2+bx+c=0$の解が$-2,\ -1 \pm \sqrt{2}i$であるとき，$a=[カ]$，$b=[キ]$，$c=[ク]$である．