次の問いに答えよ．

(1)$3$次方程式$x^3+1=0$の$-1$でない解の$1$つを$\alpha$とするとき，
\[ (3+7 \alpha)(7+3 \alpha)-4(1+\alpha^2)=[ア] \alpha \]
となる．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$において，
\[ \mathrm{AB}=2,\quad \angle \mathrm{ACB}=\frac{\pi}{4},\quad \angle \mathrm{BAC}=\frac{\pi}{3} \]
であるとき，$\mathrm{AC}=[イ]$である．
(3)$X=\left( \begin{array}{rr}
2 & 1 \\
-2 & -1
\end{array} \right)$，$Y=\left( \begin{array}{rr}
-3 & 0 \\
0 & -3
\end{array} \right)$および自然数$n$に対し，
\[ 3X^n-5X^3Y+X^2Y^2+XY^3+Y^n=\left( \begin{array}{cc}
[ウ] & [エ] \\
[オ] & [カ]
\end{array} \right) \]
となる．
(4)$a,\ b$を$a>0$，$b>1$となる実数とする．放物線$y=-ax^2+b$と円$x^2+y^2=1$の共有点が$2$個であるための必要十分条件は，$b=[キ]$かつ$a>[ク]$が成り立つことである．ただし，$[キ]$には$a$の式，$[ク]$には数を記入すること．

以下の$[ト]$，$[ナ]$，$[ニ]$には三角関数は$\sin \theta$と$\cos \theta$のみを用いて記入し，$[ヌ]$には$x$の式，$[ネ]$には$y$の式を記入すること．

座標平面上の$2$点$(1,\ 0)$，$(0,\ 1)$を結ぶ曲線$C$が媒介変数$\theta$を用いて
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x=f(\theta) \\
y=g(\theta)
\end{array} \right. \quad \left( 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2} \right) \]
と表されているとする．いま，関数$f(\theta)$，$g(\theta)$は$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$で連続，$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$で微分可能かつ$f^\prime(\theta) \neq 0$であるとする．また$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$のとき，点$(f(\theta),\ g(\theta))$における曲線$C$の接線の傾きが$-\tan \theta$であり，この接線から$x$軸，$y$軸で切り取られる線分の長さがつねに一定で$1$であるとする．
まず，この曲線$C$の方程式を求めたい．$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$のとき，曲線$C$上の点$(f(\theta),\ g(\theta))$における接線を$y=-(\tan \theta)x+h(\theta)$と表すと$h(\theta)=[ト]$となる．この接線の傾きが$\displaystyle \frac{g^\prime(\theta)}{f^\prime(\theta)}$となることより，$f(\theta)=[ナ]$，$g(\theta)=[ニ]$となる．したがって，曲線$C$を$x,\ y$の方程式で表すと
\[ [ヌ]+[ネ]=1 \quad (x \geqq 0,\ y \geqq 0) \]
となる．
次に，点$(f(\theta),\ g(\theta))$における曲線$C$の法線を$\ell(\theta)$とする．$\displaystyle \theta \neq \frac{\pi}{4}$のとき$\ell(\theta)$と$\displaystyle \ell \left( \frac{\pi}{4} \right)$との交点の$x$座標を$X(\theta)$とすると，$\displaystyle \lim_{\theta \to \frac{\pi}{4}} X(\theta)=[ノ]$となる．
また，曲線$C$と$x$軸，$y$軸で囲まれた部分の面積は$[ハ]$である．

$a$を実数とする．$2$次関数
\[ f(x)=x^2-ax+1 \]
の区間$0 \leqq x \leqq 1$における最大値を$M(a)$，最小値を$m(a)$と表す．

(1)$2$つの関数$b=M(a)$と$b=m(a)$のグラフをかけ．
(2)$b$を実数とする．$2$次方程式
\[ x^2-ax+1-b=0 \]
が区間$0 \leqq x \leqq 1$において少なくとも$1$つの解を持つような点$(a,\ b)$全体の集合を，$(1)$を用いて斜線で図示せよ．

方程式$\displaystyle \left( \frac{3}{4} \right)^{2x}=\left( \frac{16}{9} \right)^{x-1}$の解を$a$とするとき，$6a$の値を求めよ．

方程式$\cos 2\theta-3 \sin \theta+1=0 (0 \leqq \theta<2\pi)$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とする．$\displaystyle \frac{\alpha+\beta}{\pi}$の値を求めよ．

次の設問の空欄を，あてはまる数値や記号，式などで埋めなさい．

(1)$2$次関数$y=x^2-6x+7$のグラフは$y=x^2+2x+2$のグラフを，$x$軸方向に$[$1$]$，$y$軸方向に$[$2$]$だけ平行移動したものである．
(2)次の式の分母を有理化せよ．
\[ (ⅰ) \frac{\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}=[$3$] \qquad (ⅱ) \frac{5 \sqrt{6}+\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}=[$4$] \]
(3)$2$点$\mathrm{A}(-1,\ 2)$，$\mathrm{B}(5,\ 2)$を結ぶ線分$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点$\mathrm{C}([$5$],\ [$6$])$を通り，線分$\mathrm{AB}$に垂直な直線の方程式は$[$7$]$と表される．
(4)数列$\{a_n\}$が$2,\ 3,\ 7,\ 14,\ 24,\ \cdots$のように与えられている．その階差数列を$\{b_n\}$とする．このとき，$b_1=[$8$]$，$b_2=[$9$]$であり，数列$\{b_n\}$の一般項は$b_n=[$10$]$と表される．よって，数列$\{a_n\}$の一般項は$a_n=[$11$]$となる．
(5)$x+y=20$，$x>0$，$y>0$であるとき，$\log_{\frac{1}{10}}x+\log_{\frac{1}{10}}y$の最小値は$[$12$]$である．
(6)各辺の長さが$\mathrm{AB}=1$，$\mathrm{BC}=2$，$\mathrm{CA}=k$である$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は，$k=[$13$]$のとき最大値$[$14$]$をとる．
(7)$2$つのベクトル$\overrightarrow{x}=(a,\ b)$，$\overrightarrow{y}=(1,\ c)$について，$\overrightarrow{x} \perp \overrightarrow{y}$，$|\overrightarrow{x}-\overrightarrow{y}|=2$，$abc=-1$を満たす実数$a,\ b,\ c$の組合せは$[$15$]$通り存在する．また，このうち$a+b+c$の最小値は$[$16$]$となる．
(8)$2$人の男性$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$と$2$人の女性$\mathrm{a}$，$\mathrm{b}$がいる．この$4$人は無作為に異性を$1$人ずつ選ぶ．このとき，男性が選んだ女性がその男性を選べば，その男女をペアとする．たとえば，男性$\mathrm{A}$が女性$\mathrm{a}$を選び，女性$\mathrm{a}$も男性$\mathrm{A}$を選べば，その男女はペアとなる．このとき，ペアが全くできない確率は$[$17$]$，ペアがちょうど$1$組だけできる確率は$[$18$]$，ペアが$2$組できる確率は$[$19$]$である．

曲線$\ell:y=\log x (1 \leqq x \leqq 2)$上の点$(t,\ \log t)$における$\ell$の接線の方程式は
\[ y=\frac{[ハ]}{t}x+\log t-[ヒ] \]
であり，この接線と直線$x=1$，$x=2$および$\ell$で囲まれた図形の面積$S$は，
\[ S=\frac{[フ]}{2t}+\log t-[ヘ] \log 2 \]
である．$\displaystyle t=\frac{[ホ]}{[マ]}$のとき，$S$は最小値$\displaystyle 1+\log \frac{[ミ]}{[ム]}$をとる．

次の問いに答えよ．

(1)$4$次式$x^2+(x^2-1)^2$を複素数の範囲で因数分解すると$[ア]$である．
(2)不等式$x+2 \leqq |x^2-x-6|$を$x$について解くと$[イ]$である．
(3)関数$F(x)$が$F^\prime(x)=(3x+2)^2$，$F(0)=3$を満たすとき$F(x)=[ウ]$である．
(4)$2$次方程式$x^2-4x-2=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とする．$a_n=\alpha^n-\beta^n$（$n$は自然数）とおく．このとき，$\displaystyle \frac{a_{10}-2a_8}{a_9}$の値を求めると$[エ]$である．

円$(x-2)^2+(y-3)^2=9$と放物線$y=x^2-4x+a+4$（$a$は定数）は，$2$つの点で接している．

(1)$a$の値は$\displaystyle \frac{[アイウ]}{[エ]}$である．
(2)接点の座標は$\displaystyle \left( [オ] \pm \frac{\sqrt{[カキ]}}{[ク]},\ \frac{[ケ]}{[コ]} \right)$であり，$2$つの接線の方程式は$y=\pm \sqrt{[サシ]}(x-[ス])+[セソタ]$である（複号同順）．
(3)$(2)$で得られた$2$つの接線の交点の座標は$([チ],\ [ツテト])$である．

次の問いに答えよ．

(1)円$(x-a)^2+(y-b)^2=A$（$a,\ b,\ A$は定数で$A>0$）と直線$y=x$が接するとき，$A$を$a$と$b$で表すと$A=[オ]$である．
(2)円$x^2+y^2=5$に接し，傾きが$-2$である直線の方程式は$[カ]$である．