「方程式」について
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国立 お茶の水女子大学 2014年 第2問座標平面上の点$(x,\ y)$に対し$f(x,\ y)$，$g(x,\ y)$を次で定める．
\[ \begin{array}{l}
f(x,\ y)=(x-3)^2+y^2-4 \\
g(x,\ y)=\sqrt{3}x-4y \phantom{\displaystyle\frac{[ ]}{2}}
\end{array} \]
以下の問いに答えよ．
(1)連立不等式
\[ f(x,\ y) \leqq 0,\quad g(x,\ y) \leqq 0 \]
の表す領域を$D$とする．$D$を図示せよ．
(2)円$f(x,\ y)=0$と直線$g(x,\ y)=0$の交点において，円$f(x,\ y)=0$と接する直線の方程式を求めよ．
(3)$D$を$(1)$で定めた領域とする．点$(x,\ y)$が領域$D$内を動くとき，$ax+y$の最大値，最小値を求めよ．ただし，$a$は正の定数である．
\[ \begin{array}{l}
f(x,\ y)=(x-3)^2+y^2-4 \\
g(x,\ y)=\sqrt{3}x-4y \phantom{\displaystyle\frac{[ ]}{2}}
\end{array} \]
以下の問いに答えよ．
(1)連立不等式
\[ f(x,\ y) \leqq 0,\quad g(x,\ y) \leqq 0 \]
の表す領域を$D$とする．$D$を図示せよ．
(2)円$f(x,\ y)=0$と直線$g(x,\ y)=0$の交点において，円$f(x,\ y)=0$と接する直線の方程式を求めよ．
(3)$D$を$(1)$で定めた領域とする．点$(x,\ y)$が領域$D$内を動くとき，$ax+y$の最大値，最小値を求めよ．ただし，$a$は正の定数である．
国立 お茶の水女子大学 2014年 第2問座標平面上の点$(x,\ y)$に対し$f(x,\ y)$，$g(x,\ y)$を次で定める．
\[ \begin{array}{l}
f(x,\ y)=(x-3)^2+y^2-4 \\
g(x,\ y)=\sqrt{3}x-4y \phantom{\displaystyle\frac{[ ]}{2}}
\end{array} \]
以下の問いに答えよ．
(1)連立不等式
\[ f(x,\ y) \leqq 0,\quad g(x,\ y) \leqq 0 \]
の表す領域を$D$とする．$D$を図示せよ．
(2)円$f(x,\ y)=0$と直線$g(x,\ y)=0$の交点において，円$f(x,\ y)=0$と接する直線の方程式を求めよ．
(3)$D$を$(1)$で定めた領域とする．点$(x,\ y)$が領域$D$内を動くとき，$ax+y$の最大値，最小値を求めよ．ただし，$a$は正の定数である．
\[ \begin{array}{l}
f(x,\ y)=(x-3)^2+y^2-4 \\
g(x,\ y)=\sqrt{3}x-4y \phantom{\displaystyle\frac{[ ]}{2}}
\end{array} \]
以下の問いに答えよ．
(1)連立不等式
\[ f(x,\ y) \leqq 0,\quad g(x,\ y) \leqq 0 \]
の表す領域を$D$とする．$D$を図示せよ．
(2)円$f(x,\ y)=0$と直線$g(x,\ y)=0$の交点において，円$f(x,\ y)=0$と接する直線の方程式を求めよ．
(3)$D$を$(1)$で定めた領域とする．点$(x,\ y)$が領域$D$内を動くとき，$ax+y$の最大値，最小値を求めよ．ただし，$a$は正の定数である．
国立 お茶の水女子大学 2014年 第4問自然数$l,\ m,\ n$に対し，
\[ f(l,\ m,\ n)=\frac{1}{l}+\frac{1}{m}+\frac{1}{n} \]
とする．
(1)$l+m+n=10$のとき，$f(l,\ m,\ n)$の値の最小値と最大値を求めよ．
(2)方程式$f(l,\ m,\ n)=a$の解となる自然数$l,\ m,\ n$の組で$l \leqq m \leqq n$を満たすものが$2$つ以上存在するような$a$の例を挙げ，そのような自然数の組を$2$つ求めよ．
(3)$\displaystyle \frac{11}{12}<f(l,\ m,\ n)<1$を満たす自然数$l,\ m,\ n$の組で$l \leqq m \leqq n$を満たすものをすべて求めよ．
\[ f(l,\ m,\ n)=\frac{1}{l}+\frac{1}{m}+\frac{1}{n} \]
とする．
(1)$l+m+n=10$のとき，$f(l,\ m,\ n)$の値の最小値と最大値を求めよ．
(2)方程式$f(l,\ m,\ n)=a$の解となる自然数$l,\ m,\ n$の組で$l \leqq m \leqq n$を満たすものが$2$つ以上存在するような$a$の例を挙げ，そのような自然数の組を$2$つ求めよ．
(3)$\displaystyle \frac{11}{12}<f(l,\ m,\ n)<1$を満たす自然数$l,\ m,\ n$の組で$l \leqq m \leqq n$を満たすものをすべて求めよ．
国立 和歌山大学 2014年 第2問次の問いに答えよ．
(1)$t$を実数とする．$x$についての方程式${2}^x+{2}^{-x}=t$の実数解の個数を調べよ．
(2)$a$と$b$を実数とし，$x$についての方程式${4}^x+{4}^{-x}+a({2}^x+{2}^{-x})+b=0$が，ちょうど$3$個の実数解をもつとする．このとき，点$(a,\ b)$の存在する範囲を図示せよ．
(1)$t$を実数とする．$x$についての方程式${2}^x+{2}^{-x}=t$の実数解の個数を調べよ．
(2)$a$と$b$を実数とし，$x$についての方程式${4}^x+{4}^{-x}+a({2}^x+{2}^{-x})+b=0$が，ちょうど$3$個の実数解をもつとする．このとき，点$(a,\ b)$の存在する範囲を図示せよ．
国立 鳥取大学 2014年 第1問方程式$2(4^x+4^{-x})-9(2^x+2^{-x})+14=0$について，次の問いに答えよ．
(1)$2^x+2^{-x}=t$とおいて$t$の満たす方程式を求めよ．
(2)$t$の値を求めよ．
(3)$x$の値を求めよ．
(1)$2^x+2^{-x}=t$とおいて$t$の満たす方程式を求めよ．
(2)$t$の値を求めよ．
(3)$x$の値を求めよ．
国立 鳥取大学 2014年 第2問$x$軸の正の部分を動く点$\mathrm{P}(t,\ 0) (t>0)$と$2$点$\mathrm{A}(0,\ 3)$，$\mathrm{B}(0,\ 7)$がある．
(1)$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{P}$を通る円の中心の座標を$t$を用いて表せ．
(2)$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通り，$x$軸の正の部分に接する円の方程式を求めよ．
(3)$\angle \mathrm{APB}$の大きさを最大にする点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(1)$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{P}$を通る円の中心の座標を$t$を用いて表せ．
(2)$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通り，$x$軸の正の部分に接する円の方程式を求めよ．
(3)$\angle \mathrm{APB}$の大きさを最大にする点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
国立 お茶の水女子大学 2014年 第3問放物線$y=x^2$を$C$，$y=-x^2+2x+4$を$D$とする．実数$t$を用いて表される$D$上の点$\mathrm{P}(t,\ -t^2+2t+4)$における$D$の接線を$\ell$とする．
(1)$C$と$D$が異なる$2$点で交わることを示し，その$x$座標を求めよ．
(2)接線$\ell$の方程式を$y=f(x)$とする．$f(x)$を求めよ．
(3)$(1)$で求めた$2$交点の$x$座標を$a,\ b (a<b)$とする．$a<t<b$を満たす$t$に対して，$(2)$で求めた接線$\ell$の方程式を$y=f(x)$とする．次の連立不等式の表す領域の面積を$S(t)$とする．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
y \geqq x^2 \\
y \leqq f(x) \\
y \geqq -x^2+2x+4
\end{array} \right. \]
$t$が$a<t<b$の範囲を動くとき，$S(t)$が最小となる$t$の値と，そのときの$S(t)$の値を求めよ．
(1)$C$と$D$が異なる$2$点で交わることを示し，その$x$座標を求めよ．
(2)接線$\ell$の方程式を$y=f(x)$とする．$f(x)$を求めよ．
(3)$(1)$で求めた$2$交点の$x$座標を$a,\ b (a<b)$とする．$a<t<b$を満たす$t$に対して，$(2)$で求めた接線$\ell$の方程式を$y=f(x)$とする．次の連立不等式の表す領域の面積を$S(t)$とする．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
y \geqq x^2 \\
y \leqq f(x) \\
y \geqq -x^2+2x+4
\end{array} \right. \]
$t$が$a<t<b$の範囲を動くとき，$S(t)$が最小となる$t$の値と，そのときの$S(t)$の値を求めよ．
国立 京都工芸繊維大学 2014年 第4問$x$の$2$次方程式$(*) x^2-2ax+2ab-b^2=0$について，以下の問いに答えよ．ただし，$a,\ b$は実数とする．
(1)$(*)$は実数解のみをもつことを証明せよ．
(2)$1$個のさいころを$2$回投げて出た目の数を順に$a,\ b$とする．この$a,\ b$に対して$(*)$を考え，
「$(*)$は符号の異なる$2$つの解をもつ」という事象を$A$，
「$(*)$の$2$つの解の差の絶対値は$6$以下である」という事象を$B$
とする．ただし，$(*)$が重解をもつときは$(*)$の$2$つの解の差は$0$と考える．このとき，事象$A,\ B$および和事象$A \cup B$の確率$P(A)$，$P(B)$および$P(A \cup B)$をそれぞれ求めよ．
(1)$(*)$は実数解のみをもつことを証明せよ．
(2)$1$個のさいころを$2$回投げて出た目の数を順に$a,\ b$とする．この$a,\ b$に対して$(*)$を考え，
「$(*)$は符号の異なる$2$つの解をもつ」という事象を$A$，
「$(*)$の$2$つの解の差の絶対値は$6$以下である」という事象を$B$
とする．ただし，$(*)$が重解をもつときは$(*)$の$2$つの解の差は$0$と考える．このとき，事象$A,\ B$および和事象$A \cup B$の確率$P(A)$，$P(B)$および$P(A \cup B)$をそれぞれ求めよ．
国立 鳥取大学 2014年 第1問方程式$2(4^x+4^{-x})-9(2^x+2^{-x})+14=0$について，次の問いに答えよ．
(1)$2^x+2^{-x}=t$とおいて$t$の満たす方程式を求めよ．
(2)$t$の値を求めよ．
(3)$x$の値を求めよ．
(1)$2^x+2^{-x}=t$とおいて$t$の満たす方程式を求めよ．
(2)$t$の値を求めよ．
(3)$x$の値を求めよ．
国立 鳥取大学 2014年 第4問$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$を満たす実数$\theta$に対して，関係式
\[ \frac{x^2}{(\cos \theta+2)^2}+\frac{y^2}{(\sin \theta+3)^2}=1 \]
を満たす第$1$象限内の点で，積$xy$の値を最大にする点を$\mathrm{P}(\theta)$とする．
(1)$\mathrm{P}(0)$の座標を求めよ．
(2)$\displaystyle \mathrm{P}(\theta) \left( 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$の軌跡の方程式を求めよ．
\[ \frac{x^2}{(\cos \theta+2)^2}+\frac{y^2}{(\sin \theta+3)^2}=1 \]
を満たす第$1$象限内の点で，積$xy$の値を最大にする点を$\mathrm{P}(\theta)$とする．
(1)$\mathrm{P}(0)$の座標を求めよ．
(2)$\displaystyle \mathrm{P}(\theta) \left( 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$の軌跡の方程式を求めよ．