座標平面において，方程式$\displaystyle \frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1$が表す双曲線$C$と点$\mathrm{P}(a,\ 0)$がある．ただし，$a>3$とする．点$\mathrm{P}$を通り$y$軸に平行な直線と双曲線$C$との交点の一つである点$\mathrm{Q}(a,\ b)$をとる．ただし，$b>0$とする．さらに，点$\mathrm{Q}$における双曲線$C$の接線$\ell$と$x$軸との交点を$\mathrm{R}(c,\ 0)$とする．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)$a$を用いて$b$を表しなさい．
(2)$a$を用いて接線$\ell$の方程式を表しなさい．
(3)$a$を用いて$c$を表しなさい．
(4)極限値$\displaystyle \lim_{a \to \infty} \frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{PR}}$を求めなさい．

$k$を正の実数とする．座標平面において，方程式$y=-x^2-2x-1$が表す放物線$C_1$および方程式$y=kx^2$が表す放物線$C_2$がある．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)放物線$C_1$の接線であり，$C_2$の接線でもあるような直線は$2$つある．この$2$つの直線の方程式を求めなさい．
(2)$(1)$で求めた$2$つの直線の交点を$\mathrm{P}$とする．$k$が正の実数の範囲を動くときの$\mathrm{P}$の軌跡を求め，図示しなさい．

座標平面において，点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，点$\mathrm{A}(1,\ 1)$がある．方程式$y=-ax+2a+2$が表す直線を$\ell$とするとき，次の問いに答えなさい．ただし，$a$は正の実数とする．

(1)直線$\ell$に関して点$\mathrm{A}$と対称な点を$\mathrm{A}^\prime$とする．$\mathrm{A}^\prime$の座標を求めなさい．
(2)点$\mathrm{P}$が直線$\ell$上を動くときの$\mathrm{OP}+\mathrm{PA}$の最小値を，$a$を用いて表しなさい．
(3)$(2)$で求めた$\mathrm{OP}+\mathrm{PA}$の最小値を$f(a)$とするとき，$f(a)$を最大にするような$a$の値を求めなさい．

$a,\ b$は$a<b$をみたす実数とする．放物線$C:y=x^2$上の$2$点$\mathrm{A}(a,\ a^2)$，$\mathrm{B}(b,\ b^2)$を考える．このとき，次の問いに答えよ．

(1)直線$\mathrm{AB}$の方程式を$a$と$b$を用いて表せ．
(2)放物線$C$と直線$\mathrm{AB}$で囲まれた図形の面積$S$を$a$と$b$を用いて表せ．
(3)$a<t<b$の範囲で点$\mathrm{P}(t,\ t^2)$が動くとき，放物線$C$と直線$\mathrm{AP}$で囲まれた図形の面積を$S_1(t)$，放物線$C$と$2$直線$\mathrm{AB}$，$\mathrm{AP}$で囲まれた図形の面積を$S_2(t)$とする．このとき，等式$S_2(t)=7S_1(t)$をみたす$t$を$a$と$b$を用いて表せ．

$a$を実数とし，$f(x)=x^2+ax+a+3$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$2$次方程式$x^2+ax+a+3=0$が正の実数解のみをもつような$a$の値の範囲を求めよ．
(2)放物線$y=f(x)$の頂点の$y$座標を$g(a)$とする．このとき，$a$が$(1)$で求めた範囲を動くとき，$g(a)$の最大値を求めよ．

$a,\ b$は$a<b$をみたす実数とする．放物線$C:y=x^2$上の$2$点$\mathrm{A}(a,\ a^2)$，$\mathrm{B}(b,\ b^2)$を考える．このとき，次の問いに答えよ．

(1)直線$\mathrm{AB}$の方程式を$a$と$b$を用いて表せ．
(2)放物線$C$と直線$\mathrm{AB}$で囲まれた図形の面積$S$を$a$と$b$を用いて表せ．
(3)$a<t<b$の範囲で点$\mathrm{P}(t,\ t^2)$が動くとき，放物線$C$と直線$\mathrm{AP}$で囲まれた図形の面積を$S_1(t)$，放物線$C$と$2$直線$\mathrm{AB}$，$\mathrm{AP}$で囲まれた図形の面積を$S_2(t)$とする．このとき，等式$S_2(t)=7S_1(t)$をみたす$t$を$a$と$b$を用いて表せ．

点$(0,\ 5)$を通る直線$\ell$と楕円$\displaystyle C:\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$を考える．このとき，次の問いに答えよ．

(1)楕円$C$と共有点をもつ直線$\ell$の方程式をすべて求めよ．
(2)楕円$C$と直線$\ell$が接するとき，その接点の座標を求めよ．
(3)楕円$C$と直線$\ell$が第一象限で接するとき，$C$と$\ell$および$y$軸で囲まれた図形を$y$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．

放物線$y=x^2$を$C$として，$C$上に点$\mathrm{A}(-1,\ 1)$をとる．正の実数$a$に対して，点$\mathrm{B}(a,\ a^2)$における$C$の接線を$\ell_1$とし，$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る直線を$\ell_2$とする．また，$C$と$\ell_1$および$x$軸とで囲まれた図形の面積を$S_1$とし，$C$と$\ell_2$で囲まれた図形の$x \geqq 0$の部分の面積を$S_2$とする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)接線$\ell_1$の方程式を求めよ．
(2)$\displaystyle 2<\frac{S_2}{S_1}<2.01$を満たすための$a$の条件を求めよ．

区間$0<x<\pi$で関数$y=f(x)=\cos (\sqrt{2}x)$を考え，そのグラフを$C$とする．$C$上の点$\mathrm{P}(\theta,\ \cos (\sqrt{2} \theta))$における$C$の法線を$\ell$，$\ell$と$x$軸との交点を$\mathrm{Q}$，点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$の距離を$g(\theta)$とする．ただし，点$\mathrm{P}$における$C$の法線とは，点$\mathrm{P}$を通りかつ$\mathrm{P}$での$C$の接線に直交する直線のことである．以下の各問に答えよ．

(1)$f(x)$の増減の様子を調べ，$C$の概形をかけ．さらに，$f(x)$の最小値を与える$x$の値，および$C$と$x$軸との交点の$x$座標を求めよ．
(2)$\ell$の方程式を求めよ．
(3)$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(4)$\theta$が$0<\theta<\pi$の範囲を動くとき，$t=\cos^2 (\sqrt{2} \theta)$の動く範囲と$g(\theta)$の最大値を求めよ．
(5)$\theta$が$0<\theta<\pi$の範囲を動くとき，$g(\theta)$の最大値を与える$\theta$の値をすべて求めよ．

サイコロを$2$回続けて振って出た目の数を順に$a,\ b$とする．このとき，$3$次関数$f(x)=x^3-ax+b$について以下の各問に答えよ．

(1)$f(x)$の極大値と極小値を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)$3$次方程式$f(x)=0$が相異なる実数解をちょうど$2$つ持つような$a,\ b$の組を求めよ．
(3)$(2)$で求めた$a,\ b$の組に対して，曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．
(4)$f(x)=0$が相異なる$3$つの実数解を持つ確率を求めよ．