曲線$\displaystyle C_1:y=\cos x \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$上の点$\displaystyle (t,\ \cos t) \left( 0<t<\frac{\pi}{2} \right)$における曲線$C_1$の接線を$\ell$とする．また，$2$直線$x=0$，$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$と接線$\ell$との交点をそれぞれ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とし，放物線$\displaystyle C_2:y=-\frac{x^2}{2}+ax+c$が$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通るものとする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$2$曲線$C_1$，$C_2$と$2$直線$x=0$，$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$で囲まれる部分の面積を$S$とする．$S$を，$a$と$c$を用いて表せ．
(3)$(2)$の$S$が最小となる$t$の値を求めよ．

$a>0$，$a \neq 1$，$b>0$とする．このとき，変数$x$の関数
\[ f(x)=4x^2+4x \log_ab+1 \]
について，次の各問に答えよ．

(1)$2$次方程式$f(x)=0$が重解を持つようなすべての$a,\ b$を，座標平面上の点$(a,\ b)$として図示せよ．
(2)$2$次方程式$f(x)=0$が$\displaystyle 0<x<\frac{1}{2}$の範囲内にただ$1$つの解を持つようなすべての$a,\ b$を，座標平面上の点$(a,\ b)$として図示せよ．
(3)放物線$y=f(x)$の頂点の座標を$(X,\ Y)$とする．点$(a,\ b)$が$(2)$の条件を満たしながら動くとき，点$(X,\ Y)$の軌跡を座標平面上に図示せよ．

放物線$C:y=ax^2+bx+c (a>0)$を考える．$2$本の直線
\[ \ell_1:y=\frac{5}{2}x \quad \text{および} \quad \ell_2:y=-\frac{1}{2}x \]
は$C$に接するものとする．$C$と$\ell_1$の接点を$\mathrm{P}$，$C$と$\ell_2$の接点を$\mathrm{Q}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$\alpha,\ \beta,\ \gamma (\alpha \neq 0)$を定数とするとき，$2$次方程式$\alpha x^2+\beta x+\gamma=0$が重解を持つための条件を求めよ．
(2)$b$の値を求めよ．また，$c$を$a$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の$x$座標を$a$を用いて表せ．
(4)$a$の値にかかわらず$C$の頂点は直線$m$上にある．$m$の方程式を求めよ．
(5)$C$と$\ell_1$，$\ell_2$で囲まれた部分の面積を$a$を用いて表せ．

実数$a,\ b,\ c (b \neq 0)$に対して，次の問いに答えよ．

(1)$2$次方程式$x^2-(a+c)x+ac-b^2=0$は異なる$2$つの実数解をもつことを示せ．
(2)$(1)$の$2$つの実数解を$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$とする．$x$についての恒等式
\[ (x+p)(x-\alpha)-(x+q)(x-\beta)=1 \]
が成り立つとき，定数$p,\ q$を$\alpha,\ \beta$を用いて表せ．
(3)$2$次の正方行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
b & c
\end{array} \right)$と$(2)$の$\alpha,\ p$に対して，$B=(A+pE)(A-\alpha E)$とおく．このとき，$B^2=B$であることを示せ．ただし，$E$は$2$次の単位行列である．

すべての実数$m$に対して，次の$x$についての$2$次方程式が実数解をもつときの，$a$の値の範囲を求めよ．
\[ x^2-4x+3+m(x-a)=0 \]

次の問いに答えよ．

(1)曲線$y=-x^2-2x$と$x$軸とで囲まれた部分の面積$S$を求めよ．
(2)曲線$y=-x^2-2x$を$y$軸方向に平行移動した曲線を$y=f(x)$とする．その曲線$y=f(x)$と$x$軸とで囲まれた部分の面積が$8S$となった．曲線$y=f(x)$の方程式を求めよ．

$p$を正の実数として，放物線$C:y^2=4px$を定める．$C$の頂点を$\mathrm{O}$，焦点を$\mathrm{F}$，準線を$\ell:x=-p$とする．$C$上の$2$点$\mathrm{A}(a,\ 2 \sqrt{pa}) (a>0)$と$\mathrm{B}(b,\ -2 \sqrt{pb}) (b>0)$を考えるとき，以下の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{A}$における$C$の接線を$\ell (\mathrm{A})$とし，$\ell(\mathrm{A})$と準線$\ell$との交点を$\mathrm{P}$とする．$\ell(\mathrm{A})$の方程式をかいて，$\mathrm{P}$の座標を求めよ．また，線分$\mathrm{AP}$の長さは線分$\mathrm{AF}$の長さより大きいことを示せ．
(2)接線$\ell(\mathrm{A})$が直線$\mathrm{AB}$と$\mathrm{A}$において直交するとき，$b$を$a,\ p$を用いて表せ．また$a$が$0<a<\infty$の範囲内を動くとき，$b$の最小値を求めよ．

以下$(2)$の最小値を実現する$C$上の$2$点を$\mathrm{A}_0$，$\mathrm{B}_0$とし，接線$\ell(\mathrm{A}_0)$と準線$\ell$の交点を$\mathrm{P}_0$とする．

(3)直線$\mathrm{OA}_0$と直線$\mathrm{P}_0 \mathrm{B}_0$は$\mathrm{O}$において直交することを示せ．
(4)$\triangle \mathrm{A}_0 \mathrm{OB}_0$の面積を$S$，線分$\mathrm{A}_0 \mathrm{B}_0$と$C$で囲まれた図形の面積を$T$とするとき，比$S:T$を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{3 \sqrt{3}}{\sin x}-\frac{1}{\cos x} \left( 0<|x|<\frac{\pi}{2} \right)$を考える．以下の問いに答えよ．

(1)$y=f(x)$の増減表を作成し，極値を求めよ．
(2)$f(x)$の第$2$次導関数$f^{\prime\prime}(x)$は，$3$次式$P(t)=t(2t^2-1)$を用いて，
\[ f^{\prime\prime}(x)=3 \sqrt{3} P \left( \frac{1}{\sin x} \right)-P \left( \frac{1}{\cos x} \right) \]
と表されることを示せ．また，$\displaystyle 0<x_1<x_2<\frac{\pi}{2}$のとき$f^{\prime\prime}(x_1)>f^{\prime\prime}(x_2)$となることを示せ．
(3)$k$を定数とするとき，方程式$f(x)=k$の異なる実数解は何個あるか．$k$の値によって分類せよ．
(4)$y=f(x)$の変曲点はただ$1$つ存在することを示せ．また，この変曲点が第何象限にあるか，調べよ．

次の問いに答えよ．

(1)$t$を実数とする．$x$についての方程式${2}^x+{2}^{-x}=t$の実数解の個数を調べよ．
(2)$a$と$b$を実数とし，$x$についての方程式${4}^x+{4}^{-x}+a({2}^x+{2}^{-x})+b=0$が，ちょうど$3$個の実数解をもつとする．このとき，点$(a,\ b)$の存在する範囲を図示せよ．

箱の中に，$1$から$4$までの整数が$1$つずつ重複せずに書かれた$4$枚のカードが入っている．この箱から$2$枚のカードを同時に取り出し，書かれた整数のうち，小さい方を$a$，大きい方を$b$とする．また，放物線$C:y=x^2$上の点$(a,\ a^2)$における接線を$\ell$とし，$\ell$に平行で点$(b,\ b^2)$を通る直線を$m$とする．さらに，放物線$C$と直線$m$で囲まれた部分の面積を$S$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)直線$m$の方程式を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)$S$を$a,\ b$を用いて表せ．
(3)$S$の期待値を求めよ．