$k>0$とし，$f(x)=x(x+k)(x+2k)$とおく．曲線$y=f(x)$を$C$とする．

(1)関数$f(x)$は異なる$2$つの極値をもつことを示しなさい．
(2)曲線$C$上の極値をとる点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．線分$\mathrm{PQ}$の中点$\mathrm{R}$の座標を求めなさい．
(3)点$\mathrm{R}$が曲線$C$上にあることを示し，点$\mathrm{R}$における曲線$C$の接線の方程式を求めなさい．

次の問いに答えよ．

(1)$2$次方程式$x^2-3x+4=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\displaystyle \frac{\beta}{\alpha-1}+\frac{\alpha}{\beta-1}$の値を求めよ．
(2)$x$が自然数のとき，不等式$(\sqrt{x}-\sqrt{2})^2<1$を満たす$x$の値をすべて求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の内部の点$\mathrm{P}$について，$4 \overrightarrow{\mathrm{PA}}+3 \overrightarrow{\mathrm{PB}}+5 \overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$が成り立っている．$\triangle \mathrm{ABC}$の面積が$1$であるとき，$\triangle \mathrm{PAB}$の面積を求めよ．

$xy$平面上の曲線$C:y=\sqrt{x}$がある．曲線$C$上の点$\mathrm{P}(t,\ \sqrt{t}) (t>0)$における接線を$\ell$とする．さらに，直線$\ell$と$x$軸の交点を$\mathrm{Q}$とする．次の問いに答えよ．

(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)点$\mathrm{Q}$の座標を$t$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{P}$から$x$軸に下ろした垂線を$\mathrm{PR}$とするとき，$\triangle \mathrm{PQR}$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を$t$を用いて表せ．
(4)曲線$C$，直線$\ell$および$x$軸で囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を$t$を用いて表せ．

関数$f(x)=e^{\sqrt{2} \sin x}$を考える．次の問いに答えよ．

(1)$0 \leqq x \leqq 2\pi$において，関数$f(x)$の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べ，グラフの概形をかけ．
(2)$a$を実数とする．関数$f(x)$の導関数を$f^\prime(x)$とするとき，$x$の方程式$f^\prime(x)=a$の$0 \leqq x \leqq 2\pi$における実数解の個数を求めよ．

曲線$C_1:y=x^3-2x^2$，$C_2:y=x^2+ax+1$について，次の問に答えよ．

(1)曲線$C_1$の概形をかけ．
(2)曲線$C_1$と$x$軸の共有点で原点と異なるものを$\mathrm{P}$とする．点$\mathrm{P}$における$C_1$の接線$\ell$の方程式を求めよ．
(3)$(2)$で求めた直線$\ell$が曲線$C_2$の接線となるような$a$の値をすべて求めよ．
(4)$a$が$(3)$で求めた値のうち最小の値をとるとき，曲線$C_2$と直線$\ell$および$y$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

曲線$C_1:y=x^3-2x^2$，$C_2:y=x^2+ax+1$について，次の問に答えよ．

(1)曲線$C_1$の概形をかけ．
(2)曲線$C_1$と$x$軸の共有点で原点と異なるものを$\mathrm{P}$とする．点$\mathrm{P}$における$C_1$の接線$\ell$の方程式を求めよ．
(3)$(2)$で求めた直線$\ell$が曲線$C_2$の接線となるような$a$の値をすべて求めよ．
(4)$a$が$(3)$で求めた値のうち最小の値をとるとき，曲線$C_2$と直線$\ell$および$y$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

関数$f(x)=xe^{2-x}$について，次の問に答えよ．

(1)曲線$C:y=f(x)$の概形をかけ．
(2)曲線$C$の接線のうち傾きが最小のものを$\ell$とするとき，$\ell$の方程式を求めよ．
(3)曲線$C$と直線$\ell$および$y$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

関数$f(x)=xe^{2-x}$について，次の問に答えよ．

(1)曲線$C:y=f(x)$の概形をかけ．
(2)曲線$C$の接線のうち傾きが最小のものを$\ell$とするとき，$\ell$の方程式を求めよ．
(3)曲線$C$と直線$\ell$および$y$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

$0 \leqq \theta \leqq \pi$とする．関数$f(x)=(x-\cos \theta+\sin \theta)^2+2 \sin^2 \theta-1$について，次の問いに答えよ．

(1)方程式$f(x)=0$が実数解を持つような$\theta$の範囲を求めよ．
(2)方程式$f(x)=0$が実数解を持つとき，その二つの解を$\alpha,\ \beta$とする．このとき，$\alpha+\beta$の最大値および最小値を求めよ．
(3)関数$y=f(x)$のグラフと$x$軸で囲まれる部分の面積が$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{3}$となるときの$\theta$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$3$次方程式$x^3-3x+1=0$は相異なる$3$つの実数解をもつことを示せ．
(2)$x^3-3x+1=0$の解で最小のものを$\alpha$，最大のものを$\beta$とする．このとき，次の定積分の値を求めよ．
\[ \int_\alpha^\beta |x^2-1| \, dx \]