点$\mathrm{P}_0$を$xy$平面の原点とし，点$\mathrm{P}_1$の座標を$(1,\ 0)$とする．点$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_3$，$\mathrm{P}_4$，$\cdots$を次のように定める．$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して，点$\mathrm{P}_{n-1}$を中心として点$\mathrm{P}_n$を反時計回りに$\theta (0<\theta<\pi)$だけ回転させた点を$\mathrm{Q}_n$とし，点$\mathrm{P}_{n+1}$を$\overrightarrow{\mathrm{P}_{n-1} \mathrm{Q}_n}=\overrightarrow{\mathrm{P}_n \mathrm{P}_{n+1}}$となるようにとる．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$k=0,\ 1,\ 2,\ \cdots$に対して，

$\displaystyle \sin \frac{\theta}{2} \cos k \theta=\frac{1}{2} \left\{ -\sin \left( \frac{2k-1}{2} \theta \right)+\sin \left( \frac{2k+1}{2} \theta \right) \right\}$

$\displaystyle \sin \frac{\theta}{2} \sin k \theta=\frac{1}{2} \left\{ \cos \left( \frac{2k-1}{2} \theta \right)-\cos \left( \frac{2k+1}{2} \theta \right) \right\}$

が成り立つことを示せ．
(2)$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して，

$\displaystyle 1+\cos \theta+\cdots +\cos n\theta=\frac{1}{2 \sin \displaystyle\frac{\theta}{2}} \left\{ \sin \left( \displaystyle\frac{2n+1}{2} \theta \right)+\sin \frac{\theta}{2} \right\}$

$\displaystyle \sin \theta+\cdots +\sin n\theta=\frac{1}{2 \sin \displaystyle\frac{\theta}{2}} \left\{ -\cos \left( \displaystyle\frac{2n+1}{2} \theta \right)+\cos \frac{\theta}{2} \right\}$

が成り立つことを示せ．
(3)点$\mathrm{P}_n$の座標を$(x_n,\ y_n)$とおくとき，$x_n$および$y_n$を求めよ．
(4)すべての点$\mathrm{P}_n (n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots)$を通る円の方程式を求めよ．

サイコロを$3$回振り，出た目を順に$a,\ b,\ c$とする．関数$f(x)$を
\[ f(x)=3ax^2-2bx+3c \]
と定める．以下の問に答えよ．

(1)方程式$f(x)=0$が$x=1$を解にもつ確率を求めよ．
(2)方程式$f(x)=0$が異なる$2$つの実数解をもつ確率を求めよ．
(3)方程式$f(x)=0$が異なる$2$つの実数解をもつような$(a,\ b,\ c)$の組について考える．このとき，$x$軸と曲線$y=f(x)$で囲まれる図形の面積$S$を$a,\ b,\ c$を用いて表せ．また，$S$の最大値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$0 \leqq x \leqq \pi$の範囲で方程式$\cos 2x-\cos x=0$の解を求めよ．
(2)$0 \leqq x \leqq \pi$の範囲で$2$つの曲線$y=\cos 2x$と$y=\cos x$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
(3)$(2)$の図形を$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$2$つの実数$a,\ b$がともに$2$より大きいための必要十分条件は，$ab-2(a+b)+4>0$かつ$a+b>4$であることを示せ．
(2)定数$k$に対して，方程式
\[ (\log_2x)^2-(k+2) \log_2x-k+17=0 \]
を考える．

(i) 方程式が実数解$\alpha,\ \beta$をもつとき，$\log_2(\alpha\beta)$と$(\log_2 \alpha)(\log_2 \beta)$を$k$を用いて表せ．
(ii) 方程式が$4$より大きい異なる$2$つの実数解をもつような$k$の値の範囲を求めよ．

曲線$\displaystyle C:y=\frac{4}{x}$上に$2$点$\mathrm{P}(1,\ 4)$，$\mathrm{Q}(4,\ 1)$をとる．直線$\ell:y=kx (k<0)$に垂直な直線で$\mathrm{P}$を通るものを$\ell_{\mathrm{P}}$とし，$\mathrm{Q}$を通るものを$\ell_{\mathrm{Q}}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\ell_{\mathrm{P}}$，$\ell_{\mathrm{Q}}$の方程式を求めよ．
(2)$\ell_{\mathrm{P}}$と$\ell$の交点$\mathrm{R}$の$x$座標を求めよ．また，$\ell_{\mathrm{Q}}$と$\ell$の交点$\mathrm{S}$の$x$座標を求めよ．
(3)$C,\ \ell,\ \ell_{\mathrm{P}},\ \ell_{\mathrm{Q}}$で囲まれた図形の面積$M$を求めよ．
(4)$k$を動かすとき，$M$の最大値を求めよ．

関数$f(x)$と$g(x)$を
\[ f(x)=\left\{ \begin{array}{ll}
|x \log \abs{x|} & (x \neq 0) \phantom{\frac{[　]}{2}} \\
0 \phantom{\frac{[　]}{2}} & (x=0)
\end{array} \right. \]
\[ g(x)=-x^2+1 \]
により定める．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$x>0$のとき，不等式$\displaystyle \log x>-\frac{1}{\sqrt{x}}$が成り立つことを示し，これを用いて$f(x)$は$x=0$で連続であることを示せ．
(2)$f(x)$の極値を求め，$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．
(3)方程式$f(x)=g(x)$の解は$x=-1,\ 1$のみであることを示せ．
(4)$0<r<1$とする．曲線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$によって囲まれた図形のうち，$x \geqq r$の範囲の部分の面積を$S(r)$とおく．このとき，$\displaystyle \lim_{r \to +0} S(r)$を求めよ．

曲線$y=f(x)=x^3-3x^2+x+6$を$C_1$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)曲線$C_1$の接線で点$(-1,\ f(-1))$を通るもののうち，傾きの小さいものを$\ell_1$，傾きの大きいものを$\ell_2$とする．$\ell_1,\ \ell_2$の方程式を求めよ．
(2)$g(x)$を$x$の$2$次式とし，曲線$y=g(x)$を$C_2$とする．曲線$C_2$が，曲線$C_1$と直線$\ell_1$の共有点および曲線$C_1$と直線$\ell_2$の共有点を通るとき，$g(x)$を求めよ．
(3)曲線$C_2$と直線$\ell_1,\ \ell_2$によって囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

$k>0$とし，$f(x)=x(x+k)(x+2k)$とおく．曲線$y=f(x)$を$C$とする．

(1)関数$f(x)$は異なる$2$つの極値をもつことを示しなさい．
(2)曲線$C$上の極値をとる点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．線分$\mathrm{PQ}$の中点$\mathrm{R}$の座標を求めなさい．
(3)点$\mathrm{R}$が曲線$C$上にあることを示し，点$\mathrm{R}$における曲線$C$の接線の方程式を求めなさい．

$a,\ b$を実数とし，$f(x)={2}^{2x-1}-a \cdot {2}^x+b$とおく．

(1)$a=3,\ b=4$のとき，方程式$f(x)=0$の解を求めなさい．
(2)$a>0,\ b=0$のとき，方程式$f(x)=0$の解を求めなさい．
(3)方程式$f(x)=0$が異なる$2$つの実数解をもつとき，点$(a,\ b)$の表す領域を図示しなさい．

$k>0$とし，$f(x)=x(x+k)(x+2k)$とおく．曲線$y=f(x)$を$C$とする．

(1)関数$f(x)$は異なる$2$つの極値をもつことを示しなさい．
(2)曲線$C$上の極値をとる点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．線分$\mathrm{PQ}$の中点$\mathrm{R}$の座標を求めなさい．
(3)点$\mathrm{R}$が曲線$C$上にあることを示し，点$\mathrm{R}$における曲線$C$の接線の方程式を求めなさい．