曲線$y=-x^2+kx+1$と$y=x^3$は点$\mathrm{P}$で接し，かつ点$\mathrm{P}$における接線が一致する．このとき，点$\mathrm{P}$の座標は$(-[ソ],\ -[タ])$，$k=[チ]$であり，その接線の方程式は$y=[ツ]x+[テ]$である．

次の空所を埋めよ．

(1)$2$次方程式$x^2-x+k=0$が異なる$2$つの正の実数$m$と$m^2$を解にもつとき，実数$m,\ k$の値は，$m=[ア]$，$k=[イ]$である．
(2)$f(x)=2 \sin x \cos x+\sqrt{3} \cos 2x$とする．このとき，$\displaystyle f(x)=2 \sin \left( 2x+[ウ] \right)$である．ただし，$0 \leqq [ウ]<2\pi$とする．また，$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$のとき，$f(x)$の最小値$m$は，$m=[エ]$である．
(3)$3^a=2,\ 8^b=9$のとき，$a=[オ]$であり，積$ab$の値を対数を用いずに表すと，$ab=[カ]$である．
(4)$\fbox{$1$}$，$\fbox{$1$}$，$\fbox{$2$}$，$\fbox{$3$}$の$4$枚のカードのうち，$3$枚を並べて$3$桁の整数をつくるとき，つくられる整数は全部で$[キ]$個ある．また，$\fbox{$0$}$，$\fbox{$1$}$，$\fbox{$1$}$，$\fbox{$2$}$，$\fbox{$3$}$の$5$枚のカードのうち，$4$枚を並べて$4$桁の整数をつくるとき，つくられる整数は全部で$[ク]$個ある．

次の$[ア]$から$[ス]$にあてはまる数字または符号を入れよ．

(1)$2$次関数$y=x^2-4x+3$のグラフは，$y=x^2+2x+5$のグラフを$x$軸方向に$[ア]$，$y$軸方向に$[イ][ウ]$平行移動したものである．
(2)$1$から$8$までの自然数の中から異なる$4$個の数を選ぶとき，最大数が$7$以下となるような選び方は$[エ][オ]$通りあり，最大数が$7$となるような選び方は$[カ][キ]$通りある．
(3)方程式$(\log_3 2)(\log_4 \sqrt{x})=\log_x 3$の解は，$\displaystyle x=\frac{[ク]}{[ケ]},\ [コ]$である．
(4)実数$x,\ y$が$3x^2+2y^2=6x$を満たすとき，$x^2+2y^2$の最大値は$\displaystyle \frac{[サ]}{[シ]}$であり，最小値は$[ス]$である．

以下の$[　]$にあてはまる式または数値を記入せよ．

(1)$\displaystyle x=\frac{2}{\sqrt{6}+\sqrt{2}},\ y=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$のとき，$x^3y+xy^3$の値は$[　]$である．
(2)不等式$-3<x^2-4x<45$を満たす$x$の値の範囲は$[　]$である．
(3)$3$次方程式$x^3-3x^2+4x-2=0$の$3$つの解を$\alpha,\ \beta,\ \gamma$とするとき$\displaystyle \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}+\frac{1}{\gamma}=[　]$である．
(4)座標平面上の$4$点$\mathrm{A}(2,\ -2)$，$\mathrm{B}(5,\ 1)$，$\mathrm{C}(6,\ -2)$，$\mathrm{D}(3,\ a)$に対し，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{CD}}$が垂直になるのは$a=[　]$のときである．
(5)$xy$平面上の$2$点$(0,\ 1)$，$(0,\ -1)$からの距離の和が$4$である曲線を
\[ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \quad (a>0,\ b>0) \]
の形で表すと$(a,\ b)=[　]$である．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle x=\frac{1+\sqrt{3}i}{2}$のとき


$x^3-2x^2+4x+2=[ア]+\sqrt{[イ]}i$

$\displaystyle x^4-2x^3+3x^2-7x=\frac{[ウ][エ]-[オ] \sqrt{[カ]}i}{[キ]}$


である．ただし，$i$は虚数単位とする．
(2)$2$次方程式$x^2-4x-3=0$の正の解の整数部分を$a$，小数部分を$b$とすると


$a=[ク]$

$b=\sqrt{[ケ]}-[コ]$

$\displaystyle \frac{a-b}{a+b}=\frac{[サ] \sqrt{[シ]}-[ス][セ]}{[ソ]}$


である．
(3)不等式$\log_9 (2-x)^2-\log_{\frac{1}{3}} (x-1)>\log_3 (3-2x)$の解は
\[ \frac{[タ]-\sqrt{[チ]}}{[ツ]}<x<\frac{[テ]}{[ト]} \]
である．

$2$次方程式$x^2-6x+7=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とする．このとき，$\alpha-5$，$\beta-5$を解とする$2$次方程式は$x^2+[エ]x+[オ]=0$となる．

頂点が点$(-2,\ 1)$で点$(-1,\ 3)$を通る放物線の方程式は
\[ y=[カ]x^2+[キ]x+[ク] \]
で与えられる．

$a,\ b$が実数であるとする．次の$2$つの$2$次方程式
\[ x^2+ax+b=0,\quad ax^2+bx+1=0 \]
が，共通の虚数解をもつとき，その解は
\[ \frac{-[ネ] \pm \sqrt{[ノ]}i}{2} \]
となる．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{6} \int_0^3 x^2f(t) \, dt-\frac{1}{12} \int_{-3}^0 xf(t) \, dt-2$に対して，$2$つの曲線$C_1:y=x^2+1$，$C_2:y=f(x)$を考える．

(1)$f(x)=px^2+qx-2$とすると，$p=[ナ][ニ]$，$q=[ヌ]$である．
(2)点$(a,\ f(a))$（ただし，$a>1$とする）における曲線$C_2$の接線$\ell$と曲線$C_1$との異なる$2$つの交点を結ぶ線分の中点が$(-1,\ b)$のとき，$b=[ネ]$であり，$\ell$の方程式は$y=[ノ][ハ]x+[ヒ]$である．
(3)$(2)$で求めた接線$\ell$と曲線$C_2$および$y$軸で囲まれた図形の面積は$\displaystyle \frac{[フ]}{[ヘ]}$である．

次の問いに答えよ．

(1)関数$y=ax+b (-1 \leqq x \leqq 2)$の値域が$1 \leqq y \leqq 7$となるような定数$a,\ b$の値を求めよ．ただし，$a>0$とする．
(2)次の$2$次関数の頂点の座標を求めよ．

\mon[$①$] $y=2x^2+12x+16$
\mon[$②$] $y=-2x^2+4x+3$

(3)$2$次方程式$x^2-2mx+4m-3=0$が異なる$2$つの実数解を持たない定数$m$の範囲を求めよ．