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私立 慶應義塾大学 2015年 第3問以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい．
$p,\ q$を正の実数として，曲線$C$を$\displaystyle x^{\frac{1}{p}}+y^{\frac{1}{q}}=1 (0 \leqq x \leqq 1,\ 0 \leqq y \leqq 1)$により定義する．
(1)曲線$C$の方程式を$y$について解いて得られる関数を$y=f(x) (0 \leqq x \leqq 1)$とおく．$y=f(x)$のグラフが$0<x<1$において変曲点をもつためには$p,\ q$が条件$[あ]$を満たすことが必要十分である．
(2)曲線$C$と$x$軸，$y$軸で囲まれた図形の面積を$S(p,\ q)$とすると，$S(1,\ q)=[い]$であり，$p>1$ならば$S(p,\ q)$と$S(p-1,\ q+1)$の間には$S(p,\ q)=[う]S(p-1,\ q+1)$の関係がある．$p,\ q$がともに自然数であるときに$S(p,\ q)$を$p,\ q$の式で表すと$S(p,\ q)=[え]$である．
(3)$p=q=3$のとき，直線$\ell:x+y=\alpha$が曲線$C$と$2$点を共有するための必要十分条件は$[お]<\alpha \leqq 1$である．この条件が成り立つとき，直線$\ell$と曲線$C$の交点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の$x$座標を$x_1,\ x_2$とすると$\displaystyle x_1^{\frac{1}{3}}x_2^{\frac{1}{3}}=[か]$かつ$\displaystyle \left( x_1^{\frac{1}{3}}-x_2^{\frac{1}{3}} \right)^2=[き]$である．さらに$\alpha_0=[お]$とおくとき$\displaystyle \lim_{\alpha \to \alpha_0+0} \frac{\mathrm{PQ}^2}{\alpha-\alpha_0}=[く]$が成り立つ．
$p,\ q$を正の実数として，曲線$C$を$\displaystyle x^{\frac{1}{p}}+y^{\frac{1}{q}}=1 (0 \leqq x \leqq 1,\ 0 \leqq y \leqq 1)$により定義する．
(1)曲線$C$の方程式を$y$について解いて得られる関数を$y=f(x) (0 \leqq x \leqq 1)$とおく．$y=f(x)$のグラフが$0<x<1$において変曲点をもつためには$p,\ q$が条件$[あ]$を満たすことが必要十分である．
(2)曲線$C$と$x$軸，$y$軸で囲まれた図形の面積を$S(p,\ q)$とすると，$S(1,\ q)=[い]$であり，$p>1$ならば$S(p,\ q)$と$S(p-1,\ q+1)$の間には$S(p,\ q)=[う]S(p-1,\ q+1)$の関係がある．$p,\ q$がともに自然数であるときに$S(p,\ q)$を$p,\ q$の式で表すと$S(p,\ q)=[え]$である．
(3)$p=q=3$のとき，直線$\ell:x+y=\alpha$が曲線$C$と$2$点を共有するための必要十分条件は$[お]<\alpha \leqq 1$である．この条件が成り立つとき，直線$\ell$と曲線$C$の交点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の$x$座標を$x_1,\ x_2$とすると$\displaystyle x_1^{\frac{1}{3}}x_2^{\frac{1}{3}}=[か]$かつ$\displaystyle \left( x_1^{\frac{1}{3}}-x_2^{\frac{1}{3}} \right)^2=[き]$である．さらに$\alpha_0=[お]$とおくとき$\displaystyle \lim_{\alpha \to \alpha_0+0} \frac{\mathrm{PQ}^2}{\alpha-\alpha_0}=[く]$が成り立つ．
私立 慶應義塾大学 2015年 第2問次の問いに答えよ．
(1)座標平面上の原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$と点$\mathrm{A}(0,\ 2)$を通る$2$円
\[ C_1:(x+1)^2+(y-1)^2=2,\quad C_2:(x-2)^2+(y-1)^2=5 \]
が与えられている．原点$\mathrm{O}$を通る直線$L$と$C_1$，$C_2$との交点（$\neq \mathrm{O}$）をそれぞれ$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$とする．$\mathrm{D} \neq \mathrm{E}$のとき，線分$\mathrm{DE}$の内点$\mathrm{P}$を$\mathrm{DP}:\mathrm{PE}=3:1$となるようにとる．$\mathrm{D}=\mathrm{E}$のとき，$\mathrm{P}=\mathrm{D}$とする．直線$L$を原点を中心に回転させると，点$\mathrm{P}$は
\[ \left( \frac{[$13$][$14$]}{[$15$][$16$]},\ [$17$][$18$] \right) \]
を中心とする円周上にある．
(2)$\displaystyle \frac{\pi}{12}$における$\sin,\ \cos$の値は
\[ \begin{array}{l}
\displaystyle\sin \frac{\pi}{12}=\frac{\sqrt{[$19$][$20$]}-\sqrt{[$21$][$22$]}}{4} \\
\displaystyle\cos \frac{\pi}{12}=\frac{\sqrt{[$19$][$20$]}+\sqrt{[$21$][$22$]}}{4} \phantom{\displaystyle\frac{\frac{[ ]^2}{2}}{2}}
\end{array} \]
である．これを用いて，$0<x<\pi$の範囲で方程式
\[ \frac{\sqrt{3}+1}{\cos x}-\frac{\sqrt{3}-1}{\sin x}-4 \sqrt{2}=0 \]
を解けば
\[ x=\frac{[$23$][$24$]}{[$25$][$26$]}\pi \]
を得る．
(1)座標平面上の原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$と点$\mathrm{A}(0,\ 2)$を通る$2$円
\[ C_1:(x+1)^2+(y-1)^2=2,\quad C_2:(x-2)^2+(y-1)^2=5 \]
が与えられている．原点$\mathrm{O}$を通る直線$L$と$C_1$，$C_2$との交点（$\neq \mathrm{O}$）をそれぞれ$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$とする．$\mathrm{D} \neq \mathrm{E}$のとき，線分$\mathrm{DE}$の内点$\mathrm{P}$を$\mathrm{DP}:\mathrm{PE}=3:1$となるようにとる．$\mathrm{D}=\mathrm{E}$のとき，$\mathrm{P}=\mathrm{D}$とする．直線$L$を原点を中心に回転させると，点$\mathrm{P}$は
\[ \left( \frac{[$13$][$14$]}{[$15$][$16$]},\ [$17$][$18$] \right) \]
を中心とする円周上にある．
(2)$\displaystyle \frac{\pi}{12}$における$\sin,\ \cos$の値は
\[ \begin{array}{l}
\displaystyle\sin \frac{\pi}{12}=\frac{\sqrt{[$19$][$20$]}-\sqrt{[$21$][$22$]}}{4} \\
\displaystyle\cos \frac{\pi}{12}=\frac{\sqrt{[$19$][$20$]}+\sqrt{[$21$][$22$]}}{4} \phantom{\displaystyle\frac{\frac{[ ]^2}{2}}{2}}
\end{array} \]
である．これを用いて，$0<x<\pi$の範囲で方程式
\[ \frac{\sqrt{3}+1}{\cos x}-\frac{\sqrt{3}-1}{\sin x}-4 \sqrt{2}=0 \]
を解けば
\[ x=\frac{[$23$][$24$]}{[$25$][$26$]}\pi \]
を得る．
私立 立教大学 2015年 第1問次の空欄$[ア]$～$[コ]$に当てはまる数または式を記入せよ．
(1)$2$つの自然数$p,\ q$が$p^2+pq+q^2=19$を満たすとき，$p+q=[ア]$である．
(2)$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，$\sin^2 \theta+\cos \theta-1$の最大値は$[イ]$であり，最小値は$[ウ]$である．
(3)$\displaystyle S=\frac{1}{1+\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{9}}+\frac{1}{\sqrt{9}+\sqrt{13}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{45}+\sqrt{49}}$とすると，$S$の値は$[エ]$である．
(4)方程式$\log_{\sqrt{2}}(2-x)+\log_2 (x+1)=1$の解をすべて求めると，$x=[オ]$である．
(5)等式$\displaystyle f(x)=x^2+3 \int_0^1 f(t) \, dt$を満たす関数は，$f(x)=[カ]$である．
(6)座標空間における$4$点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 2,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 3)$，$\mathrm{D}(x,\ 4,\ 5)$が同一平面上にあるとき，$x=[キ]$である．
(7)$3$次方程式$x^3-x^2+ax+b=0$の解の$1$つが$1+i$のとき，$a=[ク]$，$b=[ケ]$である．ただし，$a,\ b$は実数とし，$i$は虚数単位とする．
(8)三角形$\mathrm{ABC}$の辺の長さが$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{BC}=5$，$\mathrm{CA}=6$のとき，三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$[コ]$である．
(1)$2$つの自然数$p,\ q$が$p^2+pq+q^2=19$を満たすとき，$p+q=[ア]$である．
(2)$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，$\sin^2 \theta+\cos \theta-1$の最大値は$[イ]$であり，最小値は$[ウ]$である．
(3)$\displaystyle S=\frac{1}{1+\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{9}}+\frac{1}{\sqrt{9}+\sqrt{13}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{45}+\sqrt{49}}$とすると，$S$の値は$[エ]$である．
(4)方程式$\log_{\sqrt{2}}(2-x)+\log_2 (x+1)=1$の解をすべて求めると，$x=[オ]$である．
(5)等式$\displaystyle f(x)=x^2+3 \int_0^1 f(t) \, dt$を満たす関数は，$f(x)=[カ]$である．
(6)座標空間における$4$点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 2,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 3)$，$\mathrm{D}(x,\ 4,\ 5)$が同一平面上にあるとき，$x=[キ]$である．
(7)$3$次方程式$x^3-x^2+ax+b=0$の解の$1$つが$1+i$のとき，$a=[ク]$，$b=[ケ]$である．ただし，$a,\ b$は実数とし，$i$は虚数単位とする．
(8)三角形$\mathrm{ABC}$の辺の長さが$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{BC}=5$，$\mathrm{CA}=6$のとき，三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$[コ]$である．
私立 立教大学 2015年 第1問次の空欄$[ア]$～$[コ]$に当てはまる数または式を記入せよ．
(1)$\displaystyle \int_2^4 (x^2+ax+2) \, dx=\frac{14}{3}$を満たす$a$の値は$[ア]$である．
(2)$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$のとき，$\cos \theta+\sqrt{3} \sin \theta$の最大値は$[イ]$であり，最小値は$[ウ]$である．
(3)実数$x$が$0<x<1$かつ${(\log_2 x)}^2+\log_2 x-6=0$を満たすとき，$x$の値は$[エ]$である．
(4)$3$次方程式$(x-1)(x^2+ax+a+2)=0$が$2$重解をもつとき，$a$の値をすべて求めると，$[オ]$である．
(5)実数$a,\ b$を用いて$\displaystyle \frac{1}{2+i}+\frac{1}{3+4i}=a+bi$と表すとき，$a=[カ]$であり，$b=[キ]$である．ただし，$i$は虚数単位とする．
(6)$3$つのさいころを同時に投げるとき，ちょうど$2$つのさいころが同じ目になる確率は$[ク]$である．
(7)ベクトル$(2,\ a,\ b)$が$2$つのベクトル$(1,\ -1,\ 3)$，$(-2,\ 1,\ 1)$に垂直であるとき，$(a,\ b)=[ケ]$である．
(8)底辺の長さが$a$，高さが$b$の三角形が$2a+b=6$を満たすとき，三角形の面積の最大値は$[コ]$である．
(1)$\displaystyle \int_2^4 (x^2+ax+2) \, dx=\frac{14}{3}$を満たす$a$の値は$[ア]$である．
(2)$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$のとき，$\cos \theta+\sqrt{3} \sin \theta$の最大値は$[イ]$であり，最小値は$[ウ]$である．
(3)実数$x$が$0<x<1$かつ${(\log_2 x)}^2+\log_2 x-6=0$を満たすとき，$x$の値は$[エ]$である．
(4)$3$次方程式$(x-1)(x^2+ax+a+2)=0$が$2$重解をもつとき，$a$の値をすべて求めると，$[オ]$である．
(5)実数$a,\ b$を用いて$\displaystyle \frac{1}{2+i}+\frac{1}{3+4i}=a+bi$と表すとき，$a=[カ]$であり，$b=[キ]$である．ただし，$i$は虚数単位とする．
(6)$3$つのさいころを同時に投げるとき，ちょうど$2$つのさいころが同じ目になる確率は$[ク]$である．
(7)ベクトル$(2,\ a,\ b)$が$2$つのベクトル$(1,\ -1,\ 3)$，$(-2,\ 1,\ 1)$に垂直であるとき，$(a,\ b)=[ケ]$である．
(8)底辺の長さが$a$，高さが$b$の三角形が$2a+b=6$を満たすとき，三角形の面積の最大値は$[コ]$である．
私立 上智大学 2015年 第2問次の問いに答えよ．
(1)不定方程式$41x+355y=1$について，$x$が$0<x<100$を満たす整数解は，$x=[ス]$，$y=[セ]$である．
(2)$25 \, \mathrm{g}$までの普通郵便と，簡易書留をそれぞれ何通かずつ出したところ，料金の合計はちょうど$5000$円となった．なお，$1$通あたりの郵便料金は，普通郵便が$82$円，簡易書留が$710$円である．このとき，普通郵便は$[ソ]$通，簡易書留は$[タ]$通である．
(3)$82$円および$205$円の$2$種類の切手を組み合わせて支払える$6100$円以上$6110$円未満の金額の一の位の数は，$[チ]$であり，そのような組合せは$[ツ]$通りある．
この組合せのうち，$2$種類の切手の合計枚数が最小になるのは$82$円切手が$[テ]$枚，$205$円切手が$[ト]$枚のときである．また，$2$種類の切手の枚数の差が最小になるのは$82$円切手が$[ナ]$枚，$205$円切手が$[ニ]$枚のときである．
(1)不定方程式$41x+355y=1$について，$x$が$0<x<100$を満たす整数解は，$x=[ス]$，$y=[セ]$である．
(2)$25 \, \mathrm{g}$までの普通郵便と，簡易書留をそれぞれ何通かずつ出したところ，料金の合計はちょうど$5000$円となった．なお，$1$通あたりの郵便料金は，普通郵便が$82$円，簡易書留が$710$円である．このとき，普通郵便は$[ソ]$通，簡易書留は$[タ]$通である．
(3)$82$円および$205$円の$2$種類の切手を組み合わせて支払える$6100$円以上$6110$円未満の金額の一の位の数は，$[チ]$であり，そのような組合せは$[ツ]$通りある．
この組合せのうち，$2$種類の切手の合計枚数が最小になるのは$82$円切手が$[テ]$枚，$205$円切手が$[ト]$枚のときである．また，$2$種類の切手の枚数の差が最小になるのは$82$円切手が$[ナ]$枚，$205$円切手が$[ニ]$枚のときである．
私立 上智大学 2015年 第2問座標平面上の点$(\alpha,\ 1) (\alpha>0)$を中心とする円$C$と放物線$\displaystyle y=\frac{1}{2}x^2$が共に点$\displaystyle \mathrm{P} \left( t,\ \frac{1}{2}t^2 \right)$で直線$\ell$と接している．
(1)$\alpha$を$t$の式で表すと
\[ \alpha=\frac{[ク]}{[ケ]}t^3 \]
である．
以下では，$C$が$x$軸と接する場合を考える．$C$と$x$軸の接点を$\mathrm{H}$とする．
(2)$\displaystyle \alpha=\frac{[コ]}{[サ]} \sqrt{[シ]}$である．
(3)$\ell$の方程式は
\[ y=\sqrt{[ス]}x+\frac{[セ]}{[ソ]} \]
である．
(4)$C$の弧$\mathrm{PH}$のうちの短い方と放物線$\displaystyle y=\frac{1}{2}x^2$および$x$軸とで囲まれる図形の面積は
\[ \frac{[タ]}{[チ]} \sqrt{[ツ]}+\frac{[テ]}{[ト]}\pi \]
である．
(1)$\alpha$を$t$の式で表すと
\[ \alpha=\frac{[ク]}{[ケ]}t^3 \]
である．
以下では，$C$が$x$軸と接する場合を考える．$C$と$x$軸の接点を$\mathrm{H}$とする．
(2)$\displaystyle \alpha=\frac{[コ]}{[サ]} \sqrt{[シ]}$である．
(3)$\ell$の方程式は
\[ y=\sqrt{[ス]}x+\frac{[セ]}{[ソ]} \]
である．
(4)$C$の弧$\mathrm{PH}$のうちの短い方と放物線$\displaystyle y=\frac{1}{2}x^2$および$x$軸とで囲まれる図形の面積は
\[ \frac{[タ]}{[チ]} \sqrt{[ツ]}+\frac{[テ]}{[ト]}\pi \]
である．
私立 上智大学 2015年 第1問次の問いに答えよ．
(1)座標平面において，$1$次関数$y=4x+2$が表す直線を$\ell$とし，$\ell$上に点$\mathrm{P}(1,\ 6)$をとる．また，$2$次関数$y=f(x)$が表す放物線を$C$とする．
(i) $C$が点$\mathrm{P}$で$\ell$と接し，かつ$C$が点$(0,\ 1)$を通るとき，
\[ f(x)=[ア]x^2+[イ]x+[ウ] \]
である．
(ii) $C$が点$\mathrm{P}$で$\ell$と接するとき，$C$の頂点は直線
\[ y=[エ]x+[オ] \]
上に存在する。
(2)複素数$z$の虚部を$\mathrm{Im}(z)$で表すことにする．
$2$次方程式$x^2-4x+9=0$の異なる$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とし，$x^2-2x+2=0$の異なる$2$つの解を$\alpha^\prime,\ \beta^\prime$とする．ただし，$\mathrm{Im}(\alpha)>\mathrm{Im}(\beta)$および$\mathrm{Im}(\alpha^\prime)>\mathrm{Im}(\beta^\prime)$とする．このとき，$2$数$\displaystyle \frac{\alpha}{\alpha^\prime},\ \frac{\beta}{\beta^\prime}$を解とする$2$次方程式の$1$つは，
\[ x^2+\left( [カ]+[キ] \sqrt{[ク]} \right)x+\frac{[ケ]}{[コ]}=0 \]
である．
(1)座標平面において，$1$次関数$y=4x+2$が表す直線を$\ell$とし，$\ell$上に点$\mathrm{P}(1,\ 6)$をとる．また，$2$次関数$y=f(x)$が表す放物線を$C$とする．
(i) $C$が点$\mathrm{P}$で$\ell$と接し，かつ$C$が点$(0,\ 1)$を通るとき，
\[ f(x)=[ア]x^2+[イ]x+[ウ] \]
である．
(ii) $C$が点$\mathrm{P}$で$\ell$と接するとき，$C$の頂点は直線
\[ y=[エ]x+[オ] \]
上に存在する。
(2)複素数$z$の虚部を$\mathrm{Im}(z)$で表すことにする．
$2$次方程式$x^2-4x+9=0$の異なる$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とし，$x^2-2x+2=0$の異なる$2$つの解を$\alpha^\prime,\ \beta^\prime$とする．ただし，$\mathrm{Im}(\alpha)>\mathrm{Im}(\beta)$および$\mathrm{Im}(\alpha^\prime)>\mathrm{Im}(\beta^\prime)$とする．このとき，$2$数$\displaystyle \frac{\alpha}{\alpha^\prime},\ \frac{\beta}{\beta^\prime}$を解とする$2$次方程式の$1$つは，
\[ x^2+\left( [カ]+[キ] \sqrt{[ク]} \right)x+\frac{[ケ]}{[コ]}=0 \]
である．
私立 慶應義塾大学 2015年 第5問方程式$y=|x|$を満たす座標平面上の点$(x,\ y)$全体の集合$B$を
$B=\{(x,\ y) \;\bigl| \;$点$(x,\ y)$は方程式$y=|x|$を満たす$\}$
と表す．同様に，集合$C_r(a,\ b)$，$D$をそれぞれ
$C_r(a,\ b)=\{(x,\ y) \;\bigl| \;$点$(x,\ y)$は方程式$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$を満たす$\}$，
\qquad\quad\;\! $D=\{(x,\ y) \;\bigl| \;$点$(x,\ y)$は不等式$y \leqq |x|$を満たす$\}$
で定める．ただし，$a,\ b$は実数，$r$は正の実数とする．
(1)集合$B \cap C_r(1,\ 2)$が$2$個の要素からなるように，$r$の値の範囲を定めよ．
(2)$C_{2 \sqrt{2}}(a,\ b) \subset D$が成り立つような点$(a,\ b)$全体の集合を斜線で図示せよ．
$B=\{(x,\ y) \;\bigl| \;$点$(x,\ y)$は方程式$y=|x|$を満たす$\}$
と表す．同様に，集合$C_r(a,\ b)$，$D$をそれぞれ
$C_r(a,\ b)=\{(x,\ y) \;\bigl| \;$点$(x,\ y)$は方程式$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$を満たす$\}$，
\qquad\quad\;\! $D=\{(x,\ y) \;\bigl| \;$点$(x,\ y)$は不等式$y \leqq |x|$を満たす$\}$
で定める．ただし，$a,\ b$は実数，$r$は正の実数とする．
(1)集合$B \cap C_r(1,\ 2)$が$2$個の要素からなるように，$r$の値の範囲を定めよ．
(2)$C_{2 \sqrt{2}}(a,\ b) \subset D$が成り立つような点$(a,\ b)$全体の集合を斜線で図示せよ．
私立 東京理科大学 2015年 第1問$a,\ b$を実数として，$3$次関数$f(x)=x^3-ax^2+3bx-10$は$x=1$で極値をとるとする．
(1)$\displaystyle a=\frac{[ア]}{[イ]}b+\frac{[ウ]}{[エ]}$であり，$b \neq [オ]$である．
(2)$3$次方程式$x^3-ax^2+3bx-10=0$が異なる$3$つの実数解をもつのは
\[ b<-[カ],\quad [キ]<b \]
のとき，すなわち
\[ a<-\frac{[ク]}{[ケ]},\quad [コ][サ]<a \]
のときである．
(1)$\displaystyle a=\frac{[ア]}{[イ]}b+\frac{[ウ]}{[エ]}$であり，$b \neq [オ]$である．
(2)$3$次方程式$x^3-ax^2+3bx-10=0$が異なる$3$つの実数解をもつのは
\[ b<-[カ],\quad [キ]<b \]
のとき，すなわち
\[ a<-\frac{[ク]}{[ケ]},\quad [コ][サ]<a \]
のときである．
私立 東京理科大学 2015年 第5問$x$を$2$より小さい実数として，関数$f(x)$を
\[ f(x)=\frac{4x-7}{x-2} \quad (x<2) \]
と定め，座標平面上で曲線$y=f(x)$を考える．
(1)曲線$y=f(x)$のグラフの概形を座標平面上に描け．
(2)点$\displaystyle \left( \frac{5}{4},\ f \left( \frac{5}{4} \right) \right)$における曲線$y=f(x)$の接線の方程式を求めよ．
(3)直線$5x-2y=a$が曲線$y=f(x)$の法線となるときの実数$a$の値を求めよ．
(4)曲線$y=f(x)$と$x$軸，$y$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
(5)曲線$y=f(x)$と$x$軸，$y$軸で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．
\[ f(x)=\frac{4x-7}{x-2} \quad (x<2) \]
と定め，座標平面上で曲線$y=f(x)$を考える．
(1)曲線$y=f(x)$のグラフの概形を座標平面上に描け．
(2)点$\displaystyle \left( \frac{5}{4},\ f \left( \frac{5}{4} \right) \right)$における曲線$y=f(x)$の接線の方程式を求めよ．
(3)直線$5x-2y=a$が曲線$y=f(x)$の法線となるときの実数$a$の値を求めよ．
(4)曲線$y=f(x)$と$x$軸，$y$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
(5)曲線$y=f(x)$と$x$軸，$y$軸で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．