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国立 埼玉大学 2015年 第3問$f(x)=x^4-2x^3$とし，曲線$C:y=f(x)$上の点$\mathrm{P}(\alpha,\ f(\alpha))$における接線を$\ell$とする．次の問いに答えよ．
(1)$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$\alpha=1$のとき，$\ell$と$C$との$\mathrm{P}$以外の共有点をすべて求めよ．
(3)$\ell$と$C$が$\mathrm{P}$以外に$2$つの共有点を持つような$\alpha$の範囲を求めよ．
(4)$\ell$と$C$が$\mathrm{P}$以外の共有点$(\beta,\ f(\beta))$，$(\gamma,\ f(\gamma)) (\beta<\gamma)$を持つとする．このとき，$\gamma-\beta$が最大となる$\alpha$の値を求めよ．
(1)$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$\alpha=1$のとき，$\ell$と$C$との$\mathrm{P}$以外の共有点をすべて求めよ．
(3)$\ell$と$C$が$\mathrm{P}$以外に$2$つの共有点を持つような$\alpha$の範囲を求めよ．
(4)$\ell$と$C$が$\mathrm{P}$以外の共有点$(\beta,\ f(\beta))$，$(\gamma,\ f(\gamma)) (\beta<\gamma)$を持つとする．このとき，$\gamma-\beta$が最大となる$\alpha$の値を求めよ．
国立 埼玉大学 2015年 第3問$f(x)=x^4-2x^3$とし，曲線$C:y=f(x)$上の点$\mathrm{P}(\alpha,\ f(\alpha))$における接線を$\ell$とする．次の問いに答えよ．
(1)$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$\alpha=1$のとき，$\ell$と$C$との$\mathrm{P}$以外の共有点をすべて求めよ．
(3)$\ell$と$C$が$\mathrm{P}$以外に$2$つの共有点を持つような$\alpha$の範囲を求めよ．
(4)$\ell$と$C$が$\mathrm{P}$以外の共有点$(\beta,\ f(\beta))$，$(\gamma,\ f(\gamma)) (\beta<\gamma)$を持つとする．このとき，$\gamma-\beta$が最大となる$\alpha$の値を求めよ．
(1)$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$\alpha=1$のとき，$\ell$と$C$との$\mathrm{P}$以外の共有点をすべて求めよ．
(3)$\ell$と$C$が$\mathrm{P}$以外に$2$つの共有点を持つような$\alpha$の範囲を求めよ．
(4)$\ell$と$C$が$\mathrm{P}$以外の共有点$(\beta,\ f(\beta))$，$(\gamma,\ f(\gamma)) (\beta<\gamma)$を持つとする．このとき，$\gamma-\beta$が最大となる$\alpha$の値を求めよ．
国立 新潟大学 2015年 第3問座標平面上の原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円周$C$上の点を$\mathrm{A}(a,\ b)$とし，$f(x)=(x-a)^2+b$とする．点$\mathrm{B}(0,\ -2)$から放物線$y=f(x)$に引いた接線を$\ell_1$，$\ell_2$とし，接点をそれぞれ$\mathrm{P}(p,\ f(p))$，$\mathrm{Q}(q,\ f(q))$とする．ただし$p<q$である．放物線$y=f(x)$と$2$直線$\ell_1$，$\ell_2$とで囲まれた部分の面積を$S$とする．次の問いに答えよ．
(1)接線$\ell_1$の方程式と接点$\mathrm{P}$の座標，および接線$\ell_2$の方程式と接点$\mathrm{Q}$の座標を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)面積$S$を$b$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{A}$が円周$C$上を動くとき，面積$S$の最大値とそのときの点$\mathrm{A}$の座標$(a,\ b)$を求めよ．
(1)接線$\ell_1$の方程式と接点$\mathrm{P}$の座標，および接線$\ell_2$の方程式と接点$\mathrm{Q}$の座標を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)面積$S$を$b$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{A}$が円周$C$上を動くとき，面積$S$の最大値とそのときの点$\mathrm{A}$の座標$(a,\ b)$を求めよ．
国立 熊本大学 2015年 第4問$f(x)$は$x$の$3$次多項式とし，$x^3$の係数は$1$，定数項は$0$とする．$2$つの異なる実数$\alpha,\ \beta$に対して$f^\prime(\alpha)=f^\prime(\beta)=0$が満たされているとする．以下の問いに答えよ．
(1)$f(\alpha),\ f(\beta)$を$\alpha,\ \beta$を用いて表せ．
(2)不等式$\alpha<\beta<3\alpha$が成り立つとき，$3$次方程式$f(x)=-1$の実数解の個数を求めよ．
(1)$f(\alpha),\ f(\beta)$を$\alpha,\ \beta$を用いて表せ．
(2)不等式$\alpha<\beta<3\alpha$が成り立つとき，$3$次方程式$f(x)=-1$の実数解の個数を求めよ．
国立 熊本大学 2015年 第1問$f(x)$は$x$の$3$次多項式とし，$x^3$の係数は$1$，定数項は$0$とする．$2$つの異なる実数$\alpha,\ \beta$に対して$f^\prime(\alpha)=f^\prime(\beta)=0$が満たされているとする．以下の問いに答えよ．
(1)$f(\alpha),\ f(\beta)$を$\alpha,\ \beta$を用いて表せ．
(2)不等式$\alpha<\beta<3\alpha$が成り立つとき，$3$次方程式$f(x)=-1$の実数解の個数を求めよ．
(1)$f(\alpha),\ f(\beta)$を$\alpha,\ \beta$を用いて表せ．
(2)不等式$\alpha<\beta<3\alpha$が成り立つとき，$3$次方程式$f(x)=-1$の実数解の個数を求めよ．
国立 琉球大学 2015年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$3$次方程式$x^3-ax-6=0$が$x=-1$を解にもつとき，定数$a$の値と他の解を求めよ．
(2)$\displaystyle \log_2 \frac{1}{6}+\log_2 \frac{3}{4}$の値を求めよ．
(3)平面上に$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(1,\ \sqrt{3})$，$\mathrm{P}(\cos \theta,\ \sin \theta)$をとる．$0 \leqq \theta <2\pi$のとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}$の最大値と，そのときの$\theta$の値を求めよ．
(1)$3$次方程式$x^3-ax-6=0$が$x=-1$を解にもつとき，定数$a$の値と他の解を求めよ．
(2)$\displaystyle \log_2 \frac{1}{6}+\log_2 \frac{3}{4}$の値を求めよ．
(3)平面上に$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(1,\ \sqrt{3})$，$\mathrm{P}(\cos \theta,\ \sin \theta)$をとる．$0 \leqq \theta <2\pi$のとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}$の最大値と，そのときの$\theta$の値を求めよ．
国立 香川大学 2015年 第4問$b$を$b>2 \sqrt{2}$を満たす実数とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)$f(x)=x+(e^x-b)e^x$とするとき，方程式$f(x)-a=0$が異なる$3$個の実数解をもつような実数$a$の範囲を求めよ．
(2)実数$a$が$(1)$で求めた範囲にあるとする．このとき，点$(a,\ b)$を中心とする円で，曲線$y=e^x$と異なる$4$点で交わるものが存在することを示せ．
(1)$f(x)=x+(e^x-b)e^x$とするとき，方程式$f(x)-a=0$が異なる$3$個の実数解をもつような実数$a$の範囲を求めよ．
(2)実数$a$が$(1)$で求めた範囲にあるとする．このとき，点$(a,\ b)$を中心とする円で，曲線$y=e^x$と異なる$4$点で交わるものが存在することを示せ．
国立 佐賀大学 2015年 第4問$p$を素数とするとき，次の問に答えよ．
(1)$2$つの自然数$m,\ n$の最大公約数は$1$であるとし，$\displaystyle x=\frac{n}{m}$とおく．$p^x$が有理数であるならば，$m=1$であることを示せ．
(2)方程式
\[ p^x=-x^2+9x-5 \]
が有理数の解$x$をもつような組$(p,\ x)$をすべて求めよ．
(1)$2$つの自然数$m,\ n$の最大公約数は$1$であるとし，$\displaystyle x=\frac{n}{m}$とおく．$p^x$が有理数であるならば，$m=1$であることを示せ．
(2)方程式
\[ p^x=-x^2+9x-5 \]
が有理数の解$x$をもつような組$(p,\ x)$をすべて求めよ．
国立 鳥取大学 2015年 第3問$xy$平面上の第$1$象限内の$2$つの曲線$C_1:y=\sqrt{x} (x>0)$と$\displaystyle C_2:y=\frac{1}{x} (x>0)$を考える．次の問いに答えよ．ただし，$a$は正の実数とする．
(1)$x=a$における$C_1$の接線$L_1$の方程式を求めよ．
(2)$C_2$の接線$L_2$が$(1)$で求めた$L_1$と直交するとき，接線$L_2$の方程式を求めよ．
(3)$(2)$で求めた$L_2$が$x$軸，$y$軸と交わる点をそれぞれ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とする．折れ線$\mathrm{AOB}$の長さ$l$を$a$の関数として求め，$l$の最小値を求めよ．ここで，$\mathrm{O}$は原点である．
(1)$x=a$における$C_1$の接線$L_1$の方程式を求めよ．
(2)$C_2$の接線$L_2$が$(1)$で求めた$L_1$と直交するとき，接線$L_2$の方程式を求めよ．
(3)$(2)$で求めた$L_2$が$x$軸，$y$軸と交わる点をそれぞれ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とする．折れ線$\mathrm{AOB}$の長さ$l$を$a$の関数として求め，$l$の最小値を求めよ．ここで，$\mathrm{O}$は原点である．
国立 鳥取大学 2015年 第3問$xy$平面上の第$1$象限内の$2$つの曲線$C_1:y=\sqrt{x} (x>0)$と$\displaystyle C_2:y=\frac{1}{x} (x>0)$を考える．次の問いに答えよ．ただし，$a$は正の実数とする．
(1)$x=a$における$C_1$の接線$L_1$の方程式を求めよ．
(2)$C_2$の接線$L_2$が$(1)$で求めた$L_1$と直交するとき，接線$L_2$の方程式を求めよ．
(3)$(2)$で求めた$L_2$が$x$軸，$y$軸と交わる点をそれぞれ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とする．折れ線$\mathrm{AOB}$の長さ$l$を$a$の関数として求め，$l$の最小値を求めよ．ここで，$\mathrm{O}$は原点である．
(1)$x=a$における$C_1$の接線$L_1$の方程式を求めよ．
(2)$C_2$の接線$L_2$が$(1)$で求めた$L_1$と直交するとき，接線$L_2$の方程式を求めよ．
(3)$(2)$で求めた$L_2$が$x$軸，$y$軸と交わる点をそれぞれ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とする．折れ線$\mathrm{AOB}$の長さ$l$を$a$の関数として求め，$l$の最小値を求めよ．ここで，$\mathrm{O}$は原点である．