「方程式」について
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公立 高崎経済大学 2016年 第4問関数$f(x)=x^3-12x$について，次の各問に答えよ．
(1)$y=f(x)$のグラフをかけ．
(2)$0 \leqq x \leqq 5$の範囲で，$f(x)$の最大値とそのときの$x$の値，および最小値とそのときの$x$の値を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$上の点$(1,\ f(1))$における曲線の接線の方程式を求めよ．
(4)$x \geqq 0$の表す領域において，曲線$y=f(x)$，$y$軸，および$(3)$で求めた接線で囲まれた部分の面積を求めよ．
(1)$y=f(x)$のグラフをかけ．
(2)$0 \leqq x \leqq 5$の範囲で，$f(x)$の最大値とそのときの$x$の値，および最小値とそのときの$x$の値を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$上の点$(1,\ f(1))$における曲線の接線の方程式を求めよ．
(4)$x \geqq 0$の表す領域において，曲線$y=f(x)$，$y$軸，および$(3)$で求めた接線で囲まれた部分の面積を求めよ．
国立 東京大学 2015年 第3問$\ell$を座標平面上の原点を通り傾きが正の直線とする．さらに，以下の$3$条件$(ⅰ)$，$(ⅱ)$，$(ⅲ)$で定まる円$C_1$，$C_2$を考える．
(i) 円$C_1$，$C_2$は$2$つの不等式$x \geqq 0$，$y \geqq 0$で定まる領域に含まれる．
(ii) 円$C_1$，$C_2$は直線$\ell$と同一点で接する．
(iii) 円$C_1$は$x$軸と点$(1,\ 0)$で接し，円$C_2$は$y$軸と接する．
円$C_1$の半径を$r_1$，円$C_2$の半径を$r_2$とする．$8r_1+9r_2$が最小となるような直線$\ell$の方程式と，その最小値を求めよ．
（図は省略）
(i) 円$C_1$，$C_2$は$2$つの不等式$x \geqq 0$，$y \geqq 0$で定まる領域に含まれる．
(ii) 円$C_1$，$C_2$は直線$\ell$と同一点で接する．
(iii) 円$C_1$は$x$軸と点$(1,\ 0)$で接し，円$C_2$は$y$軸と接する．
円$C_1$の半径を$r_1$，円$C_2$の半径を$r_2$とする．$8r_1+9r_2$が最小となるような直線$\ell$の方程式と，その最小値を求めよ．
（図は省略）
国立 北海道大学 2015年 第1問$2$つの放物線
\[ C_1:y=x^2,\quad C_2:y=-(x-1)^2 \]
がある．$a$は$0$でない実数とし，$C_1$上の$2$点$\mathrm{P}(a,\ a^2)$，$\mathrm{Q}(-2a,\ 4a^2)$を通る直線と平行な$C_1$の接線を$\ell$とする．
(1)$\ell$の方程式を$a$で表せ．
(2)$C_2$と$\ell$が異なる$2$つの共有点をもつような$a$の値の範囲を求めよ．
(3)$C_2$と$\ell$が異なる$2$つの共有点$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$をもつとする．線分$\mathrm{PQ}$の長さと線分$\mathrm{RS}$の長さが等しくなるとき，$a$の値を求めよ．
\[ C_1:y=x^2,\quad C_2:y=-(x-1)^2 \]
がある．$a$は$0$でない実数とし，$C_1$上の$2$点$\mathrm{P}(a,\ a^2)$，$\mathrm{Q}(-2a,\ 4a^2)$を通る直線と平行な$C_1$の接線を$\ell$とする．
(1)$\ell$の方程式を$a$で表せ．
(2)$C_2$と$\ell$が異なる$2$つの共有点をもつような$a$の値の範囲を求めよ．
(3)$C_2$と$\ell$が異なる$2$つの共有点$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$をもつとする．線分$\mathrm{PQ}$の長さと線分$\mathrm{RS}$の長さが等しくなるとき，$a$の値を求めよ．
国立 広島大学 2015年 第2問$n$を自然数とし，$p_n,\ q_n$を実数とする．ただし，$p_1,\ q_1$は$p_1^2-4q_1=4$を満たすとする．$2$次方程式$x^2-p_nx+q_n=0$は異なる実数解$\alpha_n,\ \beta_n$をもつとする．ただし，$\alpha_n<\beta_n$とする．$c_n=\beta_n-\alpha_n$とおくとき，数列$\{c_n\}$は
\[ \frac{c_{n+1}}{c_n}=\frac{n+2}{\sqrt{n(n+1)}} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たすとする．次の問いに答えよ．
(1)$r_n=\log_2 (n \sqrt{n}+\sqrt{n})$とするとき，$\displaystyle \frac{n+2}{\sqrt{n(n+1)}}$を$r_n,\ r_{n+1}$を用いて表せ．
(2)$c_n$を$n$の式で表せ．
(3)$p_n=n \sqrt{n}$であるとき，$q_n$を$n$の式で表せ．
\[ \frac{c_{n+1}}{c_n}=\frac{n+2}{\sqrt{n(n+1)}} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たすとする．次の問いに答えよ．
(1)$r_n=\log_2 (n \sqrt{n}+\sqrt{n})$とするとき，$\displaystyle \frac{n+2}{\sqrt{n(n+1)}}$を$r_n,\ r_{n+1}$を用いて表せ．
(2)$c_n$を$n$の式で表せ．
(3)$p_n=n \sqrt{n}$であるとき，$q_n$を$n$の式で表せ．
国立 金沢大学 2015年 第2問$a,\ b$は定数で，$ab>0$とする．放物線$C_1:y=ax^2+b$上の点$\mathrm{P}(t,\ at^2+b)$における接線を$\ell$とし，放物線$C_2:y=ax^2$と$\ell$で囲まれた図形の面積を$S$とする．次の問いに答えよ．
(1)$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$\ell$と$C_2$のすべての交点の$x$座標を求めよ．
(3)点$\mathrm{P}$が$C_1$上を動くとき，$S$は点$\mathrm{P}$の位置によらず一定であることを示せ．
(1)$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$\ell$と$C_2$のすべての交点の$x$座標を求めよ．
(3)点$\mathrm{P}$が$C_1$上を動くとき，$S$は点$\mathrm{P}$の位置によらず一定であることを示せ．
国立 東北大学 2015年 第3問サイコロを$3$回投げて出た目の数を順に$p_1$，$p_2$，$p_3$とし，$x$の$2$次方程式
\[ 2p_1x^2+p_2x+2p_3=0 \cdots\cdots (*) \]
を考える．
(1)方程式$(*)$が実数解をもつ確率を求めよ．
(2)方程式$(*)$が実数でない$2$つの複素数解$\alpha,\ \beta$をもち，かつ$\alpha\beta=1$が成り立つ確率を求めよ．
(3)方程式$(*)$が実数でない$2$つの複素数解$\alpha,\ \beta$をもち，かつ$\alpha\beta<1$が成り立つ確率を求めよ．
\[ 2p_1x^2+p_2x+2p_3=0 \cdots\cdots (*) \]
を考える．
(1)方程式$(*)$が実数解をもつ確率を求めよ．
(2)方程式$(*)$が実数でない$2$つの複素数解$\alpha,\ \beta$をもち，かつ$\alpha\beta=1$が成り立つ確率を求めよ．
(3)方程式$(*)$が実数でない$2$つの複素数解$\alpha,\ \beta$をもち，かつ$\alpha\beta<1$が成り立つ確率を求めよ．
国立 東北大学 2015年 第3問サイコロを$3$回投げて出た目の数を順に$p_1$，$p_2$，$p_3$とし，$x$の$2$次方程式
\[ 2p_1x^2+p_2x+2p_3=0 \cdots\cdots (*) \]
を考える．
(1)方程式$(*)$が実数解をもつ確率を求めよ．
(2)方程式$(*)$が実数でない$2$つの複素数解$\alpha,\ \beta$をもち，かつ$\alpha\beta=1$が成り立つ確率を求めよ．
\[ 2p_1x^2+p_2x+2p_3=0 \cdots\cdots (*) \]
を考える．
(1)方程式$(*)$が実数解をもつ確率を求めよ．
(2)方程式$(*)$が実数でない$2$つの複素数解$\alpha,\ \beta$をもち，かつ$\alpha\beta=1$が成り立つ確率を求めよ．
国立 新潟大学 2015年 第1問整数$a$に対して$P(x)=x^3-ax^2+ax-1$とおく．次の問いに答えよ．
(1)$P(x)$を$x-1$で割ったときの商を求めよ．
(2)$3$次方程式$P(x)=0$が虚数解をもつような整数$a$の値をすべて求めよ．
(3)$3$次方程式$P(x)=0$のすべての解が整数となるような整数$a$の値をすべて求めよ．
(1)$P(x)$を$x-1$で割ったときの商を求めよ．
(2)$3$次方程式$P(x)=0$が虚数解をもつような整数$a$の値をすべて求めよ．
(3)$3$次方程式$P(x)=0$のすべての解が整数となるような整数$a$の値をすべて求めよ．
国立 新潟大学 2015年 第3問$f(x)=x^2-2x+2$とする．放物線$y=f(x)$上の点$\mathrm{P}(p,\ f(p))$における接線を$\ell_1$とし，放物線$y=f(x)$上の点$\mathrm{Q}(p+1,\ f(p+1))$における接線を$\ell_2$とする．$2$直線$\ell_1$，$\ell_2$の交点を$\mathrm{R}$とする．ただし$p$は定数である．次の問いに答えよ．
(1)直線$\ell_1,\ \ell_2$の方程式をそれぞれ$p$を用いて表せ．
(2)交点$\mathrm{R}$の座標を$p$を用いて表せ．
(3)放物線$y=f(x)$と$2$直線$\ell_1,\ \ell_2$とで囲まれた部分の面積を求めよ．
(1)直線$\ell_1,\ \ell_2$の方程式をそれぞれ$p$を用いて表せ．
(2)交点$\mathrm{R}$の座標を$p$を用いて表せ．
(3)放物線$y=f(x)$と$2$直線$\ell_1,\ \ell_2$とで囲まれた部分の面積を求めよ．
国立 新潟大学 2015年 第1問整数$a$に対して$P(x)=x^3-ax^2+ax-1$とおく．次の問いに答えよ．
(1)$P(x)$を$x-1$で割ったときの商を求めよ．
(2)$3$次方程式$P(x)=0$が虚数解をもつような整数$a$の値をすべて求めよ．
(3)$3$次方程式$P(x)=0$のすべての解が整数となるような整数$a$の値をすべて求めよ．
(1)$P(x)$を$x-1$で割ったときの商を求めよ．
(2)$3$次方程式$P(x)=0$が虚数解をもつような整数$a$の値をすべて求めよ．
(3)$3$次方程式$P(x)=0$のすべての解が整数となるような整数$a$の値をすべて求めよ．