$a$を定数とし，$2$次関数$y=x^2-2(a+1)x+10a-15$のグラフを$C$とする．次の各問いに答えなさい．

(1)グラフ$C$が$x$軸に接するとき，$a$の値を求めなさい．
(2)$(1)$で求めた関数の頂点の座標を求めなさい．
(3)$(1)$で求めた$2$次関数のグラフ$C$を点$\mathrm{A}(1,\ 2)$に関して対称移動したグラフの方程式を求めなさい．

$x$の方程式$x^4+x^2-2Ax-A-1=0$を考える．ただし$A$は正の定数である．次の問いに答えなさい．

(1)この方程式の解$x$は，$(x^2+1)^2=x^2+\mkakko{$\mathrm{a}$}Ax+\mkakko{$\mathrm{b}$}A+\mkakko{$\mathrm{c}$}$を満たす．
(2)方程式$x^2+\mkakko{$\mathrm{a}$}Ax+\mkakko{$\mathrm{b}$}A+\mkakko{$\mathrm{c}$}=0$が重解をもつのは，$A=\mkakko{$\mathrm{d}$}$のときである．
(3)$A=\mkakko{$\mathrm{d}$}$のとき，方程式$x^4+x^2-2Ax-A-1=0$を満たす実数$x$を求めなさい．


$\displaystyle x=\frac{\mkakko{$\mathrm{e}$} \pm \sqrt{\mkakko{$\mathrm{f}$}}}{\mkakko{$\mathrm{g}$}}$

放物線$y=4x^2+x$を$C$とし，$a$を正の実数とする．

(1)$C$上の点$(1,\ 5)$における接線の方程式を求めよ．
(2)点$(0,\ -a)$から$C$へ引いた$2$つの接線を$\ell_1,\ \ell_2$とする．ただし$\ell_1$の傾きは$\ell_2$の傾きより大きいとする．また，$\ell_1,\ \ell_2$と$C$との接点をそれぞれ$\mathrm{A}_1,\ \mathrm{A}_2$とする．$\ell_1,\ \ell_2$の方程式と$\mathrm{A}_1,\ \mathrm{A}_2$の座標を求めよ．
(3)$2$点$\mathrm{A}_1,\ \mathrm{A}_2$を通る直線および$C$で囲まれた図形の面積$S_1$を求めよ．
(4)$\ell_1,\ \ell_2$と$C$で囲まれた図形の面積を$S_2$とする．$\displaystyle \frac{S_1}{S_2}$を求めよ．

次の各問に答えよ．

(1)$3x^2+5xy+2y^2-11x-7y-4$を因数分解せよ．
(2)袋の中に赤玉$6$個，白玉$4$個が入っている．この袋から玉を同時に$5$個取り出す．このとき，次の確率を求めよ．

(i) 赤玉が$3$個，白玉が$2$個出る確率
(ii) $2$個が同じ色で，残りの$3$個が別の色である確率

(3)方程式$21x+17y=1$の整数解をすべて求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)方程式$x^3-3x^2-9x-k=0$が異なる$3$個の実数解を持つように，定数$k$の範囲を定めよ．
(2)辺の長さが$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{BC}=6$，$\mathrm{AC}=5$の三角形$\mathrm{ABC}$がある．$\cos A$の値を求めよ．$\angle \mathrm{A}$の$2$等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とすると，三角形$\mathrm{ABD}$の外接円の直径を求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$がある．辺$\mathrm{AC}$の中点を$\mathrm{P}$，線分$\mathrm{BP}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{Q}$，直線$\mathrm{CQ}$と辺$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{R}$とする．$\displaystyle \frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{CR}}$を$t$の式で表せ．また三角形$\mathrm{BQR}$と三角形$\mathrm{CQP}$の面積が等しくなるように$t$の値を定めよ．

$i$を虚数単位とする．異なる$3$つの複素数$\alpha,\ \beta,\ \gamma$の間に等式$\gamma-i \beta=(1-i) \alpha$が成り立つものとする．さらに，$\alpha$は方程式$|\alpha-2|=|\alpha-2 \sqrt{3|i}$を満たすとする．複素数平面において$3$点$\mathrm{A}(\alpha)$，$\mathrm{B}(\beta)$，$\mathrm{C}(\gamma)$を頂点とする$\triangle \mathrm{ABC}$を考える．

(1)$\angle \mathrm{BAC}={[アイ]}^\circ$，$\angle \mathrm{ABC}={[ウエ]}^\circ$，$\angle \mathrm{ACB}={[オカ]}^\circ$である．

(2)点$\mathrm{A}$が虚軸上にあるとき，$\displaystyle \alpha=\frac{[キ] \sqrt{[ク]}}{[ケ]}i$である．さらに点$\mathrm{B}$が実軸上にあるとすると，点$\mathrm{C}$は方程式
\[ |\gamma|=|\gamma-\delta| \quad \text{（ただし$\delta$は$0$と異なる定数）} \]
を満たす．このとき$\displaystyle \delta=\frac{[コ] \sqrt{[サ]}}{[シ]}$である．

(3)点$\mathrm{B}$および点$\mathrm{C}$がそれぞれ，実軸上，虚軸上にあるとき
\[ \alpha=[ス]-\sqrt{[セ]}+\left( [ソタ]+\sqrt{[チ]} \right) i \]
である．さらに，$\gamma$が方程式$|\gamma-2|=|\gamma-2 \sqrt{3|i}$を満たすとき
\[ \beta=\frac{[ツ]-[テ] \sqrt{[ト]}}{[ナ]} \]
である．

座標平面において，次の式で与えられる$2$つの円$C$，$C^\prime$を考える．

$C:x^2+y^2=13$
$C^\prime:x^2+y^2-8x+14y+13=0$

$2$つの円の$2$つの共通接線は，点$([アイ],\ [ウ])$で交わり，共通接線$\ell_1,\ \ell_2$の方程式は，それぞれ

$\ell_1:[エ]x+[オ]y=13$
$\ell_2:[カキ]x+y=[クケコ]$

である．

(1)円$C^\prime$と直線$\ell_1$の共有点の座標は$([サ],\ [シス])$である．
(2)$2$つの円の異なる$2$つの交点と$\ell_1$上の点$\mathrm{P}$が同一直線上にあるとき，点$\mathrm{P}$の座標は$([セ],\ [ソ])$である．
(3)円$C$，$C^\prime$の中心をそれぞれ$\mathrm{O}$，$\mathrm{O}^\prime$とする．$\ell_1$上の点$\mathrm{Q}$に対し，$\mathrm{OQ}+\mathrm{O}^\prime \mathrm{Q}$が最小となるとき，$\mathrm{Q}$の座標は
\[ \left( [タ],\ \displaystyle\frac{[チ]}{[ツ]} \right) \]
である．

$2$次方程式$x^2+(2a-2)x+2a+6=0$が次の条件をみたすとき，それぞれ定数$a$の値の範囲を求めよ．

(1)異なる$2$つの実数解が$x>0$の範囲にある．
(2)$-6<x<0$の範囲に少なくとも$1$つの実数解がある．

関数$f(x)=x^3-3x+2$について，次の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)$の極大値と極小値を求めよ．
(2)関数$f(x)$のグラフに点$(2,\ -4)$から引いた$2$本の接線の方程式をそれぞれ求めよ．
(3)関数$f(x)$のグラフのうち$f(x) \geqq 0$の部分と，$(2)$の$2$本の接線で囲まれた部分の面積を求めよ．

$2$つの$2$次方程式$x^2+ax-(b+1)=0$と$bx^2+2bx-(a+2)=0$がともに実数解をもたないような実数の組$(a,\ b)$の存在する領域を，$ab$平面上に図示せよ．