方程式$2x \sin x-3=0 \ (-\pi \leqq x \leqq \pi)$の解の個数を求めよ．

方程式$x^2+px+p+1=0$の解を$\alpha,\ \beta$とする．この時，方程式$x^2+qx+q-1=0$の解が$\displaystyle \frac{2}{\alpha},\ \frac{2}{\beta}$となった．$p$の値を求めなさい．ただし，$p$と$q$は正整数とする．

\fbox{この問題は$q$が正整数にならないため，受験者全員正解とした．}

次の問いに答えよ．

(1)方程式$2^x=3^{1-x}$を解け．
(2)$\cos 2\theta-3\cos \theta+2=0$を満たす$\theta$の値を求めよ．ただし，$0 \leqq \theta < 2\pi$である．
(3)$x^2-xy+y^2=1$のとき，$x+y$のとり得る値の範囲を求めよ．

$3$次方程式$3x^3+8x^2+6x+1=0$の解を$\alpha,\ \beta,\ \gamma$とする．このとき$\alpha^2+\beta^2+\gamma^2$の値を求めよ．

$\displaystyle f(x)=\frac{4}{3+4x^2}$とする．次の問いに答えよ．

(1)直線$y=1$と曲線$y=f(x)$の交点のうち，$x$座標が正であるものをPとする．点Pにおける$y=f(x)$の接線の方程式を求めよ．
(2)直線$y=1$と曲線$y=f(x)$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(3)直線$y=1$と曲線$y=f(x)$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに1回転させてできる回転体の体積を求めよ．

大小二つのサイコロを同時に振り，大きいサイコロの出た目を$a$，小さいサイコロの出た目を$b$とする．次の確率を求めよ．

(1)$a<5,\ b<5,\ a+b>5$を満たす確率
(2)$a,\ b,\ 5$を$3$辺とする三角形が鈍角三角形になる確率
(3)二つの$2$次方程式
\[ x^2+ax+b=0,\quad x^2+2abx+16=0 \]
のうち，少なくとも一方が実数解をもつ確率

放物線$\displaystyle y=\frac{1}{2}x^2$について，次の問いに答えよ．

(1)点P$\displaystyle \left(1,\ \frac{1}{2} \right)$における接線$\ell_1$の方程式を求めよ．
(2)点Pを通り直線$\ell_1$に直交する直線を$\ell_2$とする．直線$\ell_2$と$x$軸との交点Aの座標を求めよ．
(3)点Aを中心とし，直線$\ell_1$に接する円の方程式を求めよ．
(4)(3)の円と$x$軸との交点のうち原点に近い方の点Bの座標を求めよ．
(5)放物線，円弧BPおよび$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)方程式$x^2-xy-4x+2y+3=0$が表す曲線の概形を描け．その曲線が$x$軸および$y$軸と交差する場合にはその交点の座標を明記すること．また，漸近線が存在する場合には，その漸近線も描き，その式を明記すること．
(2)(1)で描かれた曲線と$x$軸および$y$軸で囲まれる図形をA，また(1)で描かれた曲線が$x$軸と$y$軸で交わる点を結んでできる図形をBとする．領域$A \cap B$の面積を求めよ．

曲線$y=f(x)=x^3-x$上の点A$(a,\ f(a))$での接線を$\ell$とする．ただし$a>0$とする．次の問いに答えよ．

(1)接線$\ell$の方程式$y=g(x)$を求めよ．
(2)$y=f(x)$と$\ell$の接点以外の交点Bの座標$(b,\ f(b))$を求めよ．
(3)$x \leqq 2a$において，$f(x)-g(x)$の最大値とそのときの$x$の値を求めよ．

以下の問いに答えよ．

(1)$\sqrt{5}$が無理数であることを証明せよ．
(2)$\alpha$を$2$次方程式$x^2-4x-1=0$の解とするとき，$(\alpha-a)(\alpha-b)=1+c$を満たす自然数の組$(a,\ b,\ c)$をすべて求めよ．
(3)座標平面上の点$(s,\ t)$で$s$と$t$のどちらも整数となるものを格子点と呼ぶ．連立不等式
\[ \left\{
\begin{array}{l}
y \geqq 3x^2-12x-3 \\
y \leqq 0
\end{array}
\right. \]
の表す領域を$D$とする．$k^2-4k-1<0$を満たす整数$k$に対して，直線$\ell:x=k$上にあり，かつ，$D$に含まれる格子点の個数を$N_k$とする．

(i) $N_k$を$k$を用いて多項式で表せ．
(ii) $D$に含まれる格子点の総数を求めよ．