$2$次方程式$x^2-4x+1=0$の$2$つの解のうち，大きい方は$[　]$であり，その整数部分は$[　]$である．

$2$次方程式$x^2+ax+b=0$の解が$\displaystyle x=\frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$であるとき，$a=[　]$，$b=[　]$である．

$3$次方程式$x^3-4x^2+9x-10=0$の実数解は$x=[　]$，虚数解は$x=[　]$である．

$a$は実数の定数とする．円$x^2+y^2-ax-2y=0$上の点$(4,\ 2)$における接線を$\ell$とする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)$a$の値を求めよ．
(2)この円の中心の座標と半径を求めよ．
(3)接線$\ell$の傾きを求めよ．
(4)接線$\ell$の方程式を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \left( 2^{\frac{3}{2}}-2^{-\frac{1}{2}} \right)^2=\frac{[　]}{2}$
(2)方程式$3^{2x-5}=\sqrt[5]{9}$の解は，$\displaystyle x=\frac{[　]}{10}$である．
(3)方程式$\displaystyle \log_{16}(x+5)=\frac{3}{2}$の解は$x=[　]$である．
(4)不等式$\log_{\frac{1}{2}} (x-3)>-3$の解は，$[　]<x<[　]$である．

関数$f(x)=x^3+3ax^2+3bx+c$を考える．このとき，次の問に答えなさい．

(1)$f(0)=65$，$f(4)=81$であるという．このとき，$b=[アイ]a-[ウ]$，$c=[エオ]$である．
(2)さらに$x<0$となる$x$で極大値$81$をもつという．このとき，$a=[カ]$である．
(3)$f(x)$は$x=[キ]$で極小値$[クケ]$をとる．
(4)方程式$f(x)=0$の解は，$x=[コサ]$，$\displaystyle \frac{[シ] \pm [ス] \sqrt{[セ]} i}{[ソ]}$である．

放物線$y=x^2+1$を$C_1$，放物線$y=-x^2+6x-8$を$C_2$として次の問いに答えよ．

(1)点$\displaystyle \left( \frac{[　]}{[　]},\ [　] \right)$に関して，$C_1$と$C_2$は対称である．
(2)$C_1$と$C_2$の両方に接する$2$つの接線のうち，$x$軸と交わらない方を$\ell_1$，$x$軸と交わる方を$\ell_2$とすると，$\ell_1$の方程式は$y=[　]$，$\ell_2$の方程式は$y=[　] x-[　]$である．
(3)$C_1$と$\ell_1$および$\ell_2$とで囲まれた部分の面積と，$C_2$と$\ell_1$および$\ell_2$とで囲まれた部分の面積の和は$\displaystyle \frac{[　]}{[　]}$である．

次の各問に答えよ．

(1)$3$つの数$a,\ a+6,\ 2a+17$がこの順に等比数列となるような$a$の値をすべて求めよ．
(2)不等式$\displaystyle \left( \frac{1}{2} \right)^{1-x^2}<(2 \sqrt{2})^{x-1}$をみたす$x$の範囲を求めよ．
(3)方程式$\sin^2 x+2 \cos^2 x+3 \cos x+1=0 (0 \leqq x<2\pi)$をみたす$x$を求めよ．
(4)無限級数$\displaystyle \frac{1}{2}+\frac{5}{3}+\frac{1}{2^2}+\frac{5}{3^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{5}{3^3}+\cdots$の和を求めよ．
(5)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} (2x+1) \sin 4x \, dx$を求めよ．

三角形$\mathrm{ABC}$があり，$\angle \mathrm{A}=120^\circ$とする．また，各辺の長さを$a=\mathrm{BC}$，$b=\mathrm{CA}$，$c=\mathrm{AB}$としたとき，$2$次方程式$kx^2-4x+1=0$の解が$b,\ c$であるという．ただし，$k$は正の実数とする．次の問に答えよ．

(1)$a$を$k$で表せ．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の面積を$k$で表せ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$の面積が$1$のとき，$a^2$を求めよ．

次の各問に答えよ．

(1)$3$つの数$a,\ a+6,\ 2a+17$がこの順に等比数列となるような$a$の値をすべて求めよ．
(2)不等式$\displaystyle \left( \frac{1}{2} \right)^{1-x^2}<(2 \sqrt{2})^{x-1}$をみたす$x$の範囲を求めよ．
(3)方程式$\sin^2 x+2 \cos^2 x+3 \cos x+1=0 (0 \leqq x<2\pi)$をみたす$x$を求めよ．
(4)曲線$y=x^3-3x^2+k$が$x$軸と異なる$3$点で交わるような定数$k$の値の範囲を求めよ．
(5)定積分$\displaystyle \int_{-2}^2 |x-1|(3x+1) \, dx$を求めよ．