方程式$(m+1)x^2+2(m-1)x+2m-5=0$がただ$1$つの実数解をもつとき，定数$m$の値を求めなさい．

$2$次方程式$x^2+2ax+a+2=0$が実数解を持つような，定数$a$の値の範囲を求めなさい．

$2$点$(1,\ 2)$，$(3,\ -1)$を通る直線について，次の問いに答えなさい．

(1)この直線の傾きを求めなさい．
(2)この直線の方程式を求めなさい．
(3)この直線に垂直で，原点を通る直線の方程式を求めなさい．
(4)この直線に垂直に，$x$軸上で交わる直線の方程式を求めなさい．

関数$f(x)=x^3-ax^2-a^2x+b$の極大値と極小値の差が$4$であるとき，次の設問に答えよ．

(1)定数$a$の値を求めよ．
(2)方程式$f(x)=0$が異なる$2$つの正の解と$1$つの負の解をもつような定数$b$の値の範囲を求めよ．

次の各設問に答えよ．

(1)方程式$3y-10x=48$と不等式$x^2<y<4x+15$を同時に満たす整数は$x=[　]$，$y=[　]$である．
(2)$n$本の当たりくじを含む$10$本のくじから，$2$本を同時にひく．少なくとも$1$本が当たりくじである確率が$\displaystyle \frac{8}{15}$であるとすると，$2$本ともはずれる確率は$\displaystyle \frac{[　]}{[　]}$となるから，$n$について
\[ n^2-[　] n+[　]=0 \]
が成り立つ．したがって，条件を満たす$n$の値は$[　]$である．

$x^2+y^2-6ax+4ay+19a^2-a-1=0$（$a$は定数）は円を表すものとする．

(1)$a$の値の範囲は$\displaystyle \frac{[　]}{[　]}<a<\frac{[　]}{[　]}$である．

(2)この円の面積が最大となるとき，円の中心座標は$\displaystyle \left( \frac{[　]}{[　]},\ \frac{[　]}{[　]} \right)$であり，最大面積は$\displaystyle \frac{[　]}{[　]} \pi$となる．
このとき，座標$\displaystyle \left( -\frac{1}{3},\ 1 \right)$を通り，円の面積を二等分する直線の方程式は
\[ y=-[　] x+\frac{[　]}{[　]} \]
である．

次の問いに答えなさい．

(1)次の式を因数分解しなさい．
\[ 6x^2-xy-12y^2 \]
(2)次の$2$次方程式を解きなさい．
\[ x^2-x-1=0 \]
(3)次の連立不等式を解きなさい．
\[ 3x-1 \leqq x \leqq 2x+1 \]
(4)$\displaystyle x=\frac{1-\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}},\ y=\frac{1+\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}}$のとき，次の式の値を求めなさい．

(i) $x+y,\ xy$
(ii) $3x^2-5xy+3y^2$

(5)男子$6$人，女子$4$人から$4$人の代表を選ぶとき，次のような選び方は何通りありますか．

(i) 男子$2$人，女子$2$人を選ぶ
(ii) 特定の$2$人$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$が必ず選ばれる

(6)袋の中に白球$5$個，赤球$3$個が入っている．この袋から同時に$3$個の球を取り出すとき，白球が$2$個，赤球が$1$個出る確率を求めなさい．

次の$[　]$を適当に補え．

(1)$x^2-2y^2+xy+5x+y+6$を因数分解すると$[　]$となる．
(2)連立不等式$\left\{ \begin{array}{l}
x^2-2x-3<0 \\
x^2+3x+1>0
\end{array} \right.$をみたす$x$の範囲は$[　]$である．
(3)$x$の$2$次方程式$x^2-2ax-a^2+1=0$が実数解をもたないような実数$a$の範囲は$[　]$である．
(4)初速$v \; \mathrm{m} \, / \, \text{秒}$で地上から真上に投げたボールの$x$秒後の高さ$y \; \mathrm{m}$は，$y=vx-5x^2$で表されるものとする．地上から真上に投げたボールが$3$秒後に最高点に達したとすると，ボールの初速は$[　] \; \mathrm{m} \, / \, \text{秒}$であり，最高点の高さは$[　] \; \mathrm{m}$である．
(5)$4$桁の自然数で各位の数字がすべて異なるものは全部で$[　]$個あり，そのうち，$1234$より大きいものは全部で$[　]$個である．
(6)平面上に半径$1$と半径$2$の円がある．共通接線がちょうど$3$本引けるとき，この$3$本の接線によって囲まれる三角形の面積は$[　]$である．
(7)$\mathrm{A}$君は$3$校の大学を受験し，合格する確率はすべて等しく$\displaystyle \frac{1}{2}$であるという．$\mathrm{A}$君が少なくとも$1$校に合格する確率は$[　]$である．また，合格した大学には$1$校につき$30$万円の入学金を支払うとすると，支払う入学金の期待値は$[　]$円である．

放物線$y=3x^2-30x+48$の$y$軸交点と頂点と原点を通る円の方程式は
\[ x^2+y^2-[　] x-[　] y=[　] \]
である．

$2$つの$2$次方程式$x^2+2x+a=0$と$x^2-4ax-3a+1=0$がともに実数の解をもつような$a$の値の範囲を求めなさい．