$t$を任意の実数として，放物線$C_1:y=x^2-2(3t+2)x+4(3t+5)$を考える．

(1)$C_1$の頂点の座標を$t$で表せ．
(2)$t$の値が変化するとき，$C_1$の頂点が描く曲線$C_2$の方程式を求めよ．また，$C_2$の$y$座標が最大となるときの$t$の値を求めよ．
(3)$(2)$で求めた$C_2$と$x$軸との交点を，$x$座標の小さい順に$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．また，$\mathrm{PQ}$と平行な線分$\mathrm{RS}$の長さが$\mathrm{PQ}$より小さくなるように，$C_2$上に$2$点$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$を，$x$座標の小さい順にとる．このとき，四角形$\mathrm{PQSR}$の面積の最大値とそのときの$\mathrm{RS}$の長さを求めよ．

放物線$C:y=x^2$と直線$\ell$があり，これらは$2$点$\mathrm{A}(\alpha,\ \alpha^2)$，$\mathrm{B}(\beta,\ \beta^2)$で交わっている．ただし，$\alpha<\beta$である．

(1)$\ell$の方程式を$\alpha,\ \beta$で表せ．
(2)$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$それぞれで$C$に接する$2$本の直線が交わる点を$\mathrm{T}$とする．$\mathrm{T}$の座標を$\alpha,\ \beta$で表せ．
(3)$\ell$が定点$(-1,\ 0)$を通るとき，$(2)$の$\mathrm{T}$の軌跡を求めよ．

$[　]$の中に答を入れよ．

(1)不等式$\log_2 (x^2-3x+6)>1+\log_2x$を満たす$x$の範囲は$[ア]$と$[イ]$である．
(2)実数係数の$3$次方程式$x^3-4x^2+ax-8=0$が，解$1+bi$（$b$は正の実数）をもつとき，$a=[ウ]$，$b=[エ]$である．
(3)$\angle \mathrm{B}$が直角の直角三角形$\mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}$の大きさを$15^\circ$，$\mathrm{AC}$の長さを$b$とする．この三角形の面積を$b$で表すと$[オ]$であり，$\mathrm{BC}$の長さは$[カ]$である．
(4)円$x^2+y^2=1$の上を動く点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}(0,\ -3)$，点$\mathrm{C}(4,\ 0)$の$3$点を頂点とする三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とする．$\mathrm{G}$の軌跡は方程式$[キ]$で表され，$\mathrm{A}$と$\mathrm{G}$の距離の最大値は$[ク]$である．
(5)整式$f(x)$が，$\displaystyle \int_0^x f(t) \, dt+\int_0^1 xf(t) \, dt=x^2+2x+a$（$a$は実数）を満たすとき，$a=[ケ]$，$f(x)=[コ]$である．

$[　]$の中に答を入れよ．

(1)$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$のとき，関数$y=\cos 2\theta-2 \sin \theta$の最大値とそのときの$\theta$の値を求めると$(y,\ \theta)=[ア]$であり，最小値とそのときの$\theta$の値を求めると$(y,\ \theta)=[イ]$である．
(2)実数$a,\ b$を係数とする方程式$x^3+ax^2+bx-4=0$の解の$1$つが$1-i$であるとき，残りの解のうち実数解を求めると$x=[ウ]$であり，$a,\ b$の値を求めると$(a,\ b)=[エ]$である．ただし，$i$は虚数単位である．
(3)$x$についての方程式$9^x-a \cdot 3^x+a^2-a=0$が$2$つの異なる実数解をもつとき，定数$a$のとりうる値の範囲は$[オ]$である．また，$x \geqq \sqrt{2}$，$y \geqq 1$，$x^2y=4$のとき，$(1+\log_2x)(\log_2y)$が最大値をとる$x,\ y$の値を求めると，$(x,\ y)=[カ]$である．
(4)座標平面上に中心が原点$\mathrm{O}$で半径が$3$の円$C$と，傾きが負で点$\mathrm{A}(5,\ 0)$を通る直線$\ell$を考える．$C$と$\ell$は$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$（$\mathrm{AP}<\mathrm{AQ}$）で交わるとする．$\angle \mathrm{POQ}$を$\theta$とするとき，$\triangle \mathrm{PQO}$の面積$S_1$を$\theta$を用いて表すと$S_1=[キ]$である．また，点$\mathrm{B}$の座標を$(-3,\ 0)$とするとき，$\triangle \mathrm{PQB}$の面積$S_2$の最大値は$[ク]$である．

座標平面上に曲線$C:y=e^{-x}$があり，$C$上に点$\mathrm{P}(a,\ e^{-a})$がある．ただし$a \geqq 0$とする．

(1)$\mathrm{P}$における$C$の接線の方程式を求めよ．
(2)$(1)$の接線と$x$軸，$y$軸で囲まれた図形の面積$S$を$a$を用いて表せ．
(3)$a \geqq 0$における$(2)$の$S$の最大値と，そのときの$a$の値を求めよ．

次の問に答えよ．

(1)方程式
\[ \frac{x+4}{x+6}+\frac{x+6}{x+8}=\frac{x+2}{x+4}+\frac{x+8}{x+10} \]
が成立するとき，$x$の値は，$[アイ]$である．
(2)$2$次関数$y=ax^2+bx+c$のグラフが$y=x^2-8x+9$のグラフと点$(1,\ -5)$に関して対称であるとき，$a,\ b,\ c$の値は，それぞれ，$[ウエ]$，$[オカ]$，$[キク]$である．

次の問いに答えよ．

(1)$p$を実数の定数とする．$x$に関する次の$2$つの方程式
\[ \begin{array}{l}
x^2+px+3p+9=0 \\
x^2-7x-p^2-7p-12=0
\end{array} \]
が$1$つ以上の共通解をもつとき，その共通解は，$\displaystyle \frac{[ア] \pm \sqrt{[イウ]}}{2}$あるいは，$[エ]$である．
(2)$a,\ b$を正の定数（ただし，$a>b$）とし，$ab=7$とする．方程式$\displaystyle \frac{b}{2x-a}-\frac{a}{2x-b}=0$の解が$x=3$ならば，$a=[オ]+\sqrt{[カ]}$，$b=[キ]-\sqrt{[ク]}$である．

$a$を正の実数とする．$y$軸上に点$\mathrm{P}(0,\ a)$があり，点$\mathrm{Q}$は放物線$C:y=x^2$上を動く．

(1)$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$の距離の最小値を$a$で表せ．また，その最小値を与える点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(2)$a=5$の時，$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$の距離を最小にする点$\mathrm{Q}$は$2$つある．これらの点を$\mathrm{Q}_1$，$\mathrm{Q}_2$とする．$\mathrm{Q}_1$，$\mathrm{Q}_2$における$C$の接線をそれぞれ$\ell_1$，$\ell_2$とし，その交点を$\mathrm{R}$とする．$\ell_1$，$\ell_2$の方程式と$\mathrm{R}$の座標を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2-2x$について次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$の極大値，極小値とそれらを与える$x$の値を求めよ．
(2)方程式$f(x)=0$の解を求め，関数$y=|f(x)|$のグラフの概形をかけ．

次の問いに答えなさい．

(1)次の式を因数分解しなさい．
\[ 4x^2+8x-21 \]
(2)次の$2$次方程式を解きなさい．
\[ x^2+5x+3=0 \]
(3)次の連立不等式を解きなさい．
\[ 2-4x \geqq -2x>3x-2 \]
(4)$x=\sqrt{7+2 \sqrt{10}},\ y=\sqrt{7-2 \sqrt{10}}$のとき，次の式の値を求めなさい．

(i) $x+y,\ xy$
(ii) $x^3+y^3$

(5)男子$4$人，女子$3$人が$1$列に並ぶとき，次のような並び方は何通りありますか．

(i) 女子$3$人が隣り合う
(ii) 女子どうしが隣り合わない

(6)$1$個のさいころを繰り返し$3$回投げるとき，目の最小値が$2$以下である確率を求めなさい．