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南山大学 私立 南山大学 2010年 第2問
$t$を任意の実数として,放物線$C_1:y=x^2-2(3t+2)x+4(3t+5)$を考える.

(1)$C_1$の頂点の座標を$t$で表せ.
(2)$t$の値が変化するとき,$C_1$の頂点が描く曲線$C_2$の方程式を求めよ.また,$C_2$の$y$座標が最大となるときの$t$の値を求めよ.
(3)$(2)$で求めた$C_2$と$x$軸との交点を,$x$座標の小さい順に$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$とする.また,$\mathrm{PQ}$と平行な線分$\mathrm{RS}$の長さが$\mathrm{PQ}$より小さくなるように,$C_2$上に$2$点$\mathrm{R}$,$\mathrm{S}$を,$x$座標の小さい順にとる.このとき,四角形$\mathrm{PQSR}$の面積の最大値とそのときの$\mathrm{RS}$の長さを求めよ.
南山大学 私立 南山大学 2010年 第2問
放物線$C:y=x^2$と直線$\ell$があり,これらは$2$点$\mathrm{A}(\alpha,\ \alpha^2)$,$\mathrm{B}(\beta,\ \beta^2)$で交わっている.ただし,$\alpha<\beta$である.

(1)$\ell$の方程式を$\alpha,\ \beta$で表せ.
(2)$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$それぞれで$C$に接する$2$本の直線が交わる点を$\mathrm{T}$とする.$\mathrm{T}$の座標を$\alpha,\ \beta$で表せ.
(3)$\ell$が定点$(-1,\ 0)$を通るとき,$(2)$の$\mathrm{T}$の軌跡を求めよ.
南山大学 私立 南山大学 2010年 第1問
$[ ]$の中に答を入れよ.

(1)不等式$\log_2 (x^2-3x+6)>1+\log_2x$を満たす$x$の範囲は$[ア]$と$[イ]$である.
(2)実数係数の$3$次方程式$x^3-4x^2+ax-8=0$が,解$1+bi$($b$は正の実数)をもつとき,$a=[ウ]$,$b=[エ]$である.
(3)$\angle \mathrm{B}$が直角の直角三角形$\mathrm{ABC}$において,$\angle \mathrm{A}$の大きさを$15^\circ$,$\mathrm{AC}$の長さを$b$とする.この三角形の面積を$b$で表すと$[オ]$であり,$\mathrm{BC}$の長さは$[カ]$である.
(4)円$x^2+y^2=1$の上を動く点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}(0,\ -3)$,点$\mathrm{C}(4,\ 0)$の$3$点を頂点とする三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とする.$\mathrm{G}$の軌跡は方程式$[キ]$で表され,$\mathrm{A}$と$\mathrm{G}$の距離の最大値は$[ク]$である.
(5)整式$f(x)$が,$\displaystyle \int_0^x f(t) \, dt+\int_0^1 xf(t) \, dt=x^2+2x+a$($a$は実数)を満たすとき,$a=[ケ]$,$f(x)=[コ]$である.
南山大学 私立 南山大学 2010年 第1問
$[ ]$の中に答を入れよ.

(1)$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$のとき,関数$y=\cos 2\theta-2 \sin \theta$の最大値とそのときの$\theta$の値を求めると$(y,\ \theta)=[ア]$であり,最小値とそのときの$\theta$の値を求めると$(y,\ \theta)=[イ]$である.
(2)実数$a,\ b$を係数とする方程式$x^3+ax^2+bx-4=0$の解の$1$つが$1-i$であるとき,残りの解のうち実数解を求めると$x=[ウ]$であり,$a,\ b$の値を求めると$(a,\ b)=[エ]$である.ただし,$i$は虚数単位である.
(3)$x$についての方程式$9^x-a \cdot 3^x+a^2-a=0$が$2$つの異なる実数解をもつとき,定数$a$のとりうる値の範囲は$[オ]$である.また,$x \geqq \sqrt{2}$,$y \geqq 1$,$x^2y=4$のとき,$(1+\log_2x)(\log_2y)$が最大値をとる$x,\ y$の値を求めると,$(x,\ y)=[カ]$である.
(4)座標平面上に中心が原点$\mathrm{O}$で半径が$3$の円$C$と,傾きが負で点$\mathrm{A}(5,\ 0)$を通る直線$\ell$を考える.$C$と$\ell$は$2$点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$($\mathrm{AP}<\mathrm{AQ}$)で交わるとする.$\angle \mathrm{POQ}$を$\theta$とするとき,$\triangle \mathrm{PQO}$の面積$S_1$を$\theta$を用いて表すと$S_1=[キ]$である.また,点$\mathrm{B}$の座標を$(-3,\ 0)$とするとき,$\triangle \mathrm{PQB}$の面積$S_2$の最大値は$[ク]$である.
南山大学 私立 南山大学 2010年 第2問
座標平面上に曲線$C:y=e^{-x}$があり,$C$上に点$\mathrm{P}(a,\ e^{-a})$がある.ただし$a \geqq 0$とする.

(1)$\mathrm{P}$における$C$の接線の方程式を求めよ.
(2)$(1)$の接線と$x$軸,$y$軸で囲まれた図形の面積$S$を$a$を用いて表せ.
(3)$a \geqq 0$における$(2)$の$S$の最大値と,そのときの$a$の値を求めよ.
西南学院大学 私立 西南学院大学 2010年 第1問
次の問に答えよ.

(1)方程式
\[ \frac{x+4}{x+6}+\frac{x+6}{x+8}=\frac{x+2}{x+4}+\frac{x+8}{x+10} \]
が成立するとき,$x$の値は,$[アイ]$である.
(2)$2$次関数$y=ax^2+bx+c$のグラフが$y=x^2-8x+9$のグラフと点$(1,\ -5)$に関して対称であるとき,$a,\ b,\ c$の値は,それぞれ,$[ウエ]$,$[オカ]$,$[キク]$である.
西南学院大学 私立 西南学院大学 2010年 第1問
次の問いに答えよ.

(1)$p$を実数の定数とする.$x$に関する次の$2$つの方程式
\[ \begin{array}{l}
x^2+px+3p+9=0 \\
x^2-7x-p^2-7p-12=0
\end{array} \]
が$1$つ以上の共通解をもつとき,その共通解は,$\displaystyle \frac{[ア] \pm \sqrt{[イウ]}}{2}$あるいは,$[エ]$である.
(2)$a,\ b$を正の定数(ただし,$a>b$)とし,$ab=7$とする.方程式$\displaystyle \frac{b}{2x-a}-\frac{a}{2x-b}=0$の解が$x=3$ならば,$a=[オ]+\sqrt{[カ]}$,$b=[キ]-\sqrt{[ク]}$である.
学習院大学 私立 学習院大学 2010年 第4問
$a$を正の実数とする.$y$軸上に点$\mathrm{P}(0,\ a)$があり,点$\mathrm{Q}$は放物線$C:y=x^2$上を動く.

(1)$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$の距離の最小値を$a$で表せ.また,その最小値を与える点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ.
(2)$a=5$の時,$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$の距離を最小にする点$\mathrm{Q}$は$2$つある.これらの点を$\mathrm{Q}_1$,$\mathrm{Q}_2$とする.$\mathrm{Q}_1$,$\mathrm{Q}_2$における$C$の接線をそれぞれ$\ell_1$,$\ell_2$とし,その交点を$\mathrm{R}$とする.$\ell_1$,$\ell_2$の方程式と$\mathrm{R}$の座標を求めよ.
学習院大学 私立 学習院大学 2010年 第1問
関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2-2x$について次の問いに答えよ.

(1)$f(x)$の極大値,極小値とそれらを与える$x$の値を求めよ.
(2)方程式$f(x)=0$の解を求め,関数$y=|f(x)|$のグラフの概形をかけ.
北海道文教大学 私立 北海道文教大学 2010年 第1問
次の問いに答えなさい.

(1)次の式を因数分解しなさい.
\[ 4x^2+8x-21 \]
(2)次の$2$次方程式を解きなさい.
\[ x^2+5x+3=0 \]
(3)次の連立不等式を解きなさい.
\[ 2-4x \geqq -2x>3x-2 \]
(4)$x=\sqrt{7+2 \sqrt{10}},\ y=\sqrt{7-2 \sqrt{10}}$のとき,次の式の値を求めなさい.

(i) $x+y,\ xy$
(ii) $x^3+y^3$

(5)男子$4$人,女子$3$人が$1$列に並ぶとき,次のような並び方は何通りありますか.

(i) 女子$3$人が隣り合う
(ii) 女子どうしが隣り合わない

(6)$1$個のさいころを繰り返し$3$回投げるとき,目の最小値が$2$以下である確率を求めなさい.
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