座標平面上に

円$C:x^2+y^2=10$
直線$\ell:y=-x+4$

があり，円$C$と直線$\ell$の交点を$\mathrm{P}(x_1,\ y_1)$，$\mathrm{Q}(x_2,\ y_2)$とする．ただし，$x_1>x_2$とする．

(1)$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$の座標をそれぞれ求めよ．また，線分$\mathrm{PQ}$の長さを求めよ．
(2)$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$における円$C$の接線をそれぞれ$\ell_1$，$\ell_2$とおく．$\ell_1$と$\ell_2$の方程式を求めよ．また，$\ell_1$，$\ell_2$の交点$\mathrm{R}$の座標と線分$\mathrm{PR}$の長さを求めよ．
(3)原点$\mathrm{O}$と直線$\ell$の距離$d$を求めよ．また，三角形$\mathrm{OPQ}$の面積$S$を求めよ．

$xy$平面上に直線
\[ (5k+3)x-(3k+5)y-10k+10=0 \]
がある．ただし，$k$は実数とする．

(1)$k=1$と$k=2$のときの直線の方程式をそれぞれ求め，さらに，これら$2$直線の交点$\mathrm{A}$の座標を求めよ．
(2)$k=0$のときの直線に垂直で，かつ点$\mathrm{A}$を通る直線$\ell_1$の方程式を求めよ．
(3)原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{A}$を結ぶ線分$\mathrm{OA}$を$2:3$に内分する点$\mathrm{B}$の座標を求めよ．また，点$\mathrm{B}$を通り，直線$\ell_1$に平行な直線$\ell_2$の方程式を求めよ．

曲線$C:y=e^{ax} (a \neq 0)$について次の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．

(1)$C$上の点$(t,\ e^{at})$における接線の方程式を求めよ．さらに，この接線が原点$\mathrm{O}$を通るとき，この接線を$\ell$と表す．接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)接線$\ell$，曲線$C$および$y$軸で囲まれた図形$D$の面積が$1$となるような$a$の値を求めよ．
(3)図形$D$を$x$軸のまわりに回転してできる立体の体積が$\pi$となるような$a$の値を求めよ．

$xy$平面上に直線
\[ (5k+3)x-(3k+5)y-10k+10=0 \]
がある．ただし，$k$は実数とする．

(1)$k=1$と$k=2$のときの直線の方程式をそれぞれ求め，さらに，これら$2$直線の交点$\mathrm{A}$の座標を求めよ．
(2)$k=0$のときの直線に垂直で，かつ点$\mathrm{A}$を通る直線$\ell_1$の方程式を求めよ．
(3)原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{A}$を結ぶ線分$\mathrm{OA}$を$2:3$に内分する点$\mathrm{B}$の座標を求めよ．また，点$\mathrm{B}$を通り，直線$\ell_1$に平行な直線$\ell_2$の方程式を求めよ．

曲線$C:y=e^{ax} (a \neq 0)$について次の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．

(1)$C$上の点$(t,\ e^{at})$における接線の方程式を求めよ．さらに，この接線が原点$\mathrm{O}$を通るとき，この接線を$\ell$と表す．接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)接線$\ell$，曲線$C$および$y$軸で囲まれた図形$D$の面積が$1$となるような$a$の値を求めよ．
(3)図形$D$を$x$軸のまわりに回転してできる立体の体積が$\pi$となるような$a$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$3\theta=2\theta+\theta$であることを用いて，$\cos 3\theta$を$\cos \theta$で表せ．
(2)方程式$\cos \theta+\cos 2\theta+\cos 3\theta=-1$を解け．ただし，$0 \leqq \theta<2\pi$とする．

$1$辺の長さが$1$（メートル）の正三角形の紙がある．この三角形の$3$頂点を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$とする．辺$\mathrm{BC}$上の点$\mathrm{P}$と辺$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{Q}$を次のようにとる．

点$\mathrm{Q}$を通るある直線を折り目としてこの紙を折り曲げるときに点$\mathrm{A}$は点$\mathrm{P}$に重なる．

ここで，$\mathrm{BP}=x$（メートル），$\mathrm{PQ}=y$（メートル）とおくとき，
\[ x^2-([テ]-y)x+[ト]-[ナ]y=0 \]
が成り立つ．これを$x$についての方程式とみると，$0 \leqq x \leqq 1$であるから
\[ [ニ]+[ヌ] \sqrt{[ネ]} \leqq y \leqq 1 \]
となる．したがって，$\mathrm{AQ}$が最小となるのは，$y=[ニ]+[ヌ] \sqrt{[ネ]}$のときであり，このとき，$\angle \mathrm{BAP}=[ノ]^\circ$である．ただし，$[ネ]$はできる限り小さい自然数で答えること．

$3$次方程式$x^3+x^2-4x+6=0$の解を$\alpha,\ \beta,\ \gamma$とするとき，$(\alpha^3+\beta^3+\gamma^3-3\alpha\beta\gamma+20)$の値を求めよ．

方程式$2(3^x+3^{-x})-5(9^x+9^{-x})+6=0$の解を求めよ．

$3$次方程式$x^3+ax^2+bx-8=0$（$a,\ b$は実数）の$1$つの解が$\displaystyle \frac{3-\sqrt{7}i}{2} (i^2=-1)$であるとき，$(a+b)$の値を求めよ．