方程式$3^{2-\log_2 x}+26\cdot 3^{-\log_4 x}-3 = 0$を解くと，$x=$[カ]となる．

係数$a,\ b$が整数である$3$次方程式$x^3+ax^2+bx+1=0$が$2$つの虚数解と$1$つの整数解をもつ．これを満たす整数の組$(a,\ b)$は$[キ]$組あり，そのうち$a$の値が最大となる組は$(a, \ b)=([ク],\ [ケ])$である．

3次方程式$x^3+x^2-4x+6=0$の解を$\alpha,\ \beta,\ \gamma$とするとき，$(\alpha^3+\beta^3+\gamma^3-3\alpha\beta\gamma+20)$の値を求めよ．

方程式$2(3^x+3^{-x})-5(9^x+9^{-x})+6=0$の解を求めよ．

$b,\ c$を実数とし，$2$次方程式$x^2+bx+c=0$の解を$\alpha,\ \beta$とする．次の$[　]$をうめよ．

(1)$\alpha=\cos \theta$，$\beta=\sin \theta$となる$0 \leqq \theta<2\pi$が存在すれば，$b$と$c$は等式$[$1$]$を満たす．
(2)$\alpha=3 \cos \theta$，$\beta=\sin \theta$となる$0 \leqq \theta<2\pi$が存在するという条件のもとで，$b$のとりうる最大の値は$[$2$]$であり，このとき$\alpha=[$3$]$，$\beta=[$4$]$である．また，同じ条件のもとで$c$のとりうる最大の値は$[$5$]$であり，このとき$\theta=[$6$]$，$[$7$]$である．ただし，$[$6$]<[$7$]$とする．

方程式$\displaystyle x^{\log_3 9x}= \left( \frac{x}{3} \right)^8 \ (x>0)$を解け．

方程式$3xy+3x+y = 5$を満たす$2$つの整数$x,\ y$の組をすべて求めよ．

方程式$3xy+3x+y = 5$を満たす$2$つの整数$x,\ y$の組をすべて求めよ．

次の$x$に関する$2$つの$2$次方程式をそれぞれ$①$，$②$とおく．
\[ \begin{array}{ll}
x^2+ax+4=0 & \cdots\cdots① \\
x^2+2ax+4a+5=0 & \cdots\cdots②
\end{array} \]
ただし，$a$は実数とする．

(1)$2$次方程式$①$が実数解を持つような$a$の値の範囲と，$2$次方程式$②$が実数解を持つような$a$の値の範囲をそれぞれ求めよ．
(2)$2$次方程式$①$と$②$が共に実数解を持つような$a$の値の範囲を求めよ．また，$2$次方程式$①$と$②$のいずれか一方だけが実数解を持つような$a$の値の範囲を求めよ．
(3)$2$次方程式$①$が異なる実数解$\alpha_1,\ \alpha_2 (\alpha_1>\alpha_2)$を持ち，かつ$2$次方程式$②$が異なる実数解$\beta_1,\ \beta_2 (\beta_1>\beta_2)$を持つとする．$4<\alpha_1<5$かつ$11<\beta_1<12$となるような$a$の値の範囲を求めよ．

次の各問いに答えよ．

(1)連立不等式$\left\{ \begin{array}{l}
x^2+3x-10<0 \\
2x^2-15x+7 \geqq 0
\end{array} \right.$を解け．

(2)方程式$(\log_2x)^3-3(\log_2x)^2-4 \log_2x=0$を解け．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=3$，$\angle \mathrm{A}=45^\circ$，$\angle \mathrm{B}=75^\circ$とするとき，$\mathrm{BC}$の長さを求めよ．また，$\displaystyle \sin 75^\circ=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$であることを用いて，三角形$\mathrm{ABC}$の面積$S$と，$\tan^2 75^\circ$の値を求めよ．