「方程式」について
タグ「方程式」の検索結果
(153ページ目:全1641問中1521問~1530問を表示)![山口大学](./img/univ/yamaguchi.png)
$a,\ b$は$a<b$を満たす実数とする.放物線$y=x^2$上の$2$点$\mathrm{A}(a,\ a^2)$,$\mathrm{B}(b,\ b^2)$においてそれぞれ接線を引く.この$2$つの接線の交点を$\mathrm{P}(p,\ q)$とする.このとき,次の問いに答えなさい.
(1)$p,\ q$を$a,\ b$を用いて表しなさい.
(2)$2$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$が$\displaystyle \angle \mathrm{APB}=\frac{\pi}{4}$を満たしながらこの放物線上を動くとき,点$\mathrm{P}$の軌跡の方程式を求めなさい.
(3)(2)の条件の下で,この放物線と$2$つの接線で囲まれた図形の面積を$q$を用いて表しなさい.
(1)$p,\ q$を$a,\ b$を用いて表しなさい.
(2)$2$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$が$\displaystyle \angle \mathrm{APB}=\frac{\pi}{4}$を満たしながらこの放物線上を動くとき,点$\mathrm{P}$の軌跡の方程式を求めなさい.
(3)(2)の条件の下で,この放物線と$2$つの接線で囲まれた図形の面積を$q$を用いて表しなさい.
![琉球大学](./img/univ/ryukyu.png)
次の問いに答えよ.
(1)$t$を実数とする.放物線$y=x(2-x)$上の点$(t,\ t(2-t))$における接線の方程式を求めよ.
(2)(1)で求めた直線と放物線$y=x(2-x)$および2直線$x=0,\ x=3$とで囲まれた図形の面積を$S(t)$とする.$0 \leqq t \leqq 2$における$S(t)$の最大値,最小値とそのときの$t$の値を求めよ.
(1)$t$を実数とする.放物線$y=x(2-x)$上の点$(t,\ t(2-t))$における接線の方程式を求めよ.
(2)(1)で求めた直線と放物線$y=x(2-x)$および2直線$x=0,\ x=3$とで囲まれた図形の面積を$S(t)$とする.$0 \leqq t \leqq 2$における$S(t)$の最大値,最小値とそのときの$t$の値を求めよ.
![琉球大学](./img/univ/ryukyu.png)
次の問いに答えよ.
(1)$a$を実数とする.$x$に関する方程式$4^x-2^{a+x}+2^a=0$が実数解を持つように$a$の値の範囲を求めよ.
(2)三角形ABCの三辺を$\text{AB}=4,\ \text{AC}=3,\ \text{BC}=\sqrt{13}$とする.$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき,内積$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$の値を求めよ.また,三角形ABCの重心をGとするとき,線分AGの長さを求めよ.
(1)$a$を実数とする.$x$に関する方程式$4^x-2^{a+x}+2^a=0$が実数解を持つように$a$の値の範囲を求めよ.
(2)三角形ABCの三辺を$\text{AB}=4,\ \text{AC}=3,\ \text{BC}=\sqrt{13}$とする.$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき,内積$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$の値を求めよ.また,三角形ABCの重心をGとするとき,線分AGの長さを求めよ.
![鹿児島大学](./img/univ/kagoshima.png)
$a$を0以上の実数とし,$x>-1$で定義された関数
\[ f(x)=2x^2+(1-a^2) \log (x+1) \]
について,次の各問いに答えよ.
(1)方程式$f^\prime(x)=0$が$x>-1$で異なる2つの実数解をもつような定数$a$の値の範囲を求めよ.
(2)$a$が(1)で求めた範囲にあるとき,関数$f(x)$の増減を調べ,極値を求めよ.
(3)$a$が(1)で求めた範囲にあるとき,関数$f(x)$の極小値は$\displaystyle \frac{1-2 \log 2}{2}$より大きいことを証明せよ.
\[ f(x)=2x^2+(1-a^2) \log (x+1) \]
について,次の各問いに答えよ.
(1)方程式$f^\prime(x)=0$が$x>-1$で異なる2つの実数解をもつような定数$a$の値の範囲を求めよ.
(2)$a$が(1)で求めた範囲にあるとき,関数$f(x)$の増減を調べ,極値を求めよ.
(3)$a$が(1)で求めた範囲にあるとき,関数$f(x)$の極小値は$\displaystyle \frac{1-2 \log 2}{2}$より大きいことを証明せよ.
![鹿児島大学](./img/univ/kagoshima.png)
$x^2-y^2=2$で表される曲線を$C$とし,P$(x_0,\ y_0)$を$C$上の点とする.次の各問いに答えよ.
(1)曲線$C$の点Pにおける接線$\ell$の方程式は
\[ x_0x-y_0y=2 \]
となることを証明せよ.
(2)原点Oから$\ell$に下ろした垂線をOHとする.Hの座標を$(x_1,\ y_1)$とするとき,$x_1,\ y_1$を$x_0$と$y_0$で表せ.
(3)F$(1,\ 0)$,F$^\prime(-1,\ 0)$とする.$\text{FH} \cdot \text{F}^\prime \text{H}$は点Pの取り方によらず一定であることを証明せよ.また,その値を求めよ.
(1)曲線$C$の点Pにおける接線$\ell$の方程式は
\[ x_0x-y_0y=2 \]
となることを証明せよ.
(2)原点Oから$\ell$に下ろした垂線をOHとする.Hの座標を$(x_1,\ y_1)$とするとき,$x_1,\ y_1$を$x_0$と$y_0$で表せ.
(3)F$(1,\ 0)$,F$^\prime(-1,\ 0)$とする.$\text{FH} \cdot \text{F}^\prime \text{H}$は点Pの取り方によらず一定であることを証明せよ.また,その値を求めよ.
![旭川医科大学](./img/univ/asahikawaika.png)
次の問いに答えよ.
(1)整数を係数とする$n$次方程式
\[ f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+\cdots +a_{n-1}x+a_n=0 \]
が有理数の解$\displaystyle \frac{\beta}{\alpha}$($\alpha$と$\beta$は互いに素な整数とする)をもつとき,$\alpha$は$a_0$の約数であり$\beta$は$a_n$の約数であることを示せ.
(2)素数$p$に対して,
\[ x+y+z=\frac{p}{3},\quad xy+yz+zx=\frac{1}{p},\quad xyz=\frac{1}{p^3} \]
を満たす$x,\ y,\ z$がすべて正の有理数であるとき,$p$および$x,\ y,\ z$を求めよ.
(1)整数を係数とする$n$次方程式
\[ f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+\cdots +a_{n-1}x+a_n=0 \]
が有理数の解$\displaystyle \frac{\beta}{\alpha}$($\alpha$と$\beta$は互いに素な整数とする)をもつとき,$\alpha$は$a_0$の約数であり$\beta$は$a_n$の約数であることを示せ.
(2)素数$p$に対して,
\[ x+y+z=\frac{p}{3},\quad xy+yz+zx=\frac{1}{p},\quad xyz=\frac{1}{p^3} \]
を満たす$x,\ y,\ z$がすべて正の有理数であるとき,$p$および$x,\ y,\ z$を求めよ.
![旭川医科大学](./img/univ/asahikawaika.png)
$\alpha>1$とする.$\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{\alpha-1}$となる$t$に対して,$xy$平面上の点P$(\cos t,\ \sin t)$と点Q$(\cos \alpha t,\ \sin \alpha t)$を通る直線を$\ell_t$とする.次の問いに答えよ.
(1)直線$\ell_t$の方程式を
\[ f(t)x+g(t)y=h(t) \]
とする.$h(t)=-\sin (\alpha-1)t$のとき,$f(t),\ g(t)$を求めよ.
(2)行列$\left( \begin{array}{cc}
f(t) & g(t) \\
f^\prime(t) & g^\prime(t)
\end{array} \right)$は逆行列をもつことを示せ.
(3)$x(t),\ y(t)$を
\[ \left( \begin{array}{cc}
f(t) & g(t) \\
f^\prime(t) & g^\prime(t)
\end{array} \right) \left( \begin{array}{c}
x(t) \\
y(t)
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
h(t) \\
h^\prime(t)
\end{array} \right) \]
を満たすものとし,点R$(x(t),\ y(t))$が描く曲線を$C$とする.このとき,点Rは直線$\ell_t$上にあり,曲線$C$の点Rにおける接線は$\ell_t$と一致することを示せ.
(1)直線$\ell_t$の方程式を
\[ f(t)x+g(t)y=h(t) \]
とする.$h(t)=-\sin (\alpha-1)t$のとき,$f(t),\ g(t)$を求めよ.
(2)行列$\left( \begin{array}{cc}
f(t) & g(t) \\
f^\prime(t) & g^\prime(t)
\end{array} \right)$は逆行列をもつことを示せ.
(3)$x(t),\ y(t)$を
\[ \left( \begin{array}{cc}
f(t) & g(t) \\
f^\prime(t) & g^\prime(t)
\end{array} \right) \left( \begin{array}{c}
x(t) \\
y(t)
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
h(t) \\
h^\prime(t)
\end{array} \right) \]
を満たすものとし,点R$(x(t),\ y(t))$が描く曲線を$C$とする.このとき,点Rは直線$\ell_t$上にあり,曲線$C$の点Rにおける接線は$\ell_t$と一致することを示せ.
![長岡技術科学大学](./img/univ/nagaoka.png)
平面上の点P$_n$,Q$_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を次のように定める. \\
P$_1(0,\ 0)$,Q$_1(0,\ 1)$とする. P$_n$,Q$_n$が定められているとして,Q$_n$を中心にP$_n$を時計回りに$\displaystyle \frac{\pi}{2}$回転させた点をP$_{n+1}$とする.さらに,P$_{n+1}$を中心にQ$_n$を反時計回りに$\displaystyle \frac{\pi}{2}$回転させた点とP$_{n+1}$の中点をQ$_{n+1}$とする.このとき,以下の問いに答えなさい.
(1)P$_2$,P$_3$の座標を求めなさい.
(2)すべてのP$_n$を通る直線の方程式を求めなさい.
(3)線分P$_n$Q$_n$の長さを$n$の式で表しなさい.
(4)P$_n$の$x$座標を$x_n$とおく.$x_n$を$n$の式で表しなさい.
(5)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n$を求めなさい.
P$_1(0,\ 0)$,Q$_1(0,\ 1)$とする. P$_n$,Q$_n$が定められているとして,Q$_n$を中心にP$_n$を時計回りに$\displaystyle \frac{\pi}{2}$回転させた点をP$_{n+1}$とする.さらに,P$_{n+1}$を中心にQ$_n$を反時計回りに$\displaystyle \frac{\pi}{2}$回転させた点とP$_{n+1}$の中点をQ$_{n+1}$とする.このとき,以下の問いに答えなさい.
(1)P$_2$,P$_3$の座標を求めなさい.
(2)すべてのP$_n$を通る直線の方程式を求めなさい.
(3)線分P$_n$Q$_n$の長さを$n$の式で表しなさい.
(4)P$_n$の$x$座標を$x_n$とおく.$x_n$を$n$の式で表しなさい.
(5)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n$を求めなさい.
![長岡技術科学大学](./img/univ/nagaoka.png)
曲線$C:y=e^{-\frac{1}{2}x^2}$について以下の問いに答えなさい.
(1)曲線$C$上の点P$(t,\ e^{-\frac{1}{2}t^2})$における接線の方程式を求めなさい.
(2)(1)の接線と$x$軸,$y$軸および直線$x=t$で囲まれる台形の面積を$S(t)$とする.$t>0$の範囲で$t$が動くとき,$S(t)$の最大値を与える$t$とその最大値を求めなさい.
(1)曲線$C$上の点P$(t,\ e^{-\frac{1}{2}t^2})$における接線の方程式を求めなさい.
(2)(1)の接線と$x$軸,$y$軸および直線$x=t$で囲まれる台形の面積を$S(t)$とする.$t>0$の範囲で$t$が動くとき,$S(t)$の最大値を与える$t$とその最大値を求めなさい.
![滋賀医科大学](./img/univ/shigaika.png)
次の問いに答えよ.
(1)$y=|x^2-1|$のグラフを描け.
(2)$a,\ b$を実数とする.$x$についての方程式
\[ |x^2-1|-ax-b=0 \]
が異なる4つの実数解を持つような点$(a,\ b)$の範囲を図示せよ.
(3)(2)の方程式の解を$\alpha,\ \beta,\ \gamma,\ \delta$とするとき,$\delta-\gamma=\gamma-\beta=\beta-\alpha$が成り立つときの$a,\ b$を求めよ.
(1)$y=|x^2-1|$のグラフを描け.
(2)$a,\ b$を実数とする.$x$についての方程式
\[ |x^2-1|-ax-b=0 \]
が異なる4つの実数解を持つような点$(a,\ b)$の範囲を図示せよ.
(3)(2)の方程式の解を$\alpha,\ \beta,\ \gamma,\ \delta$とするとき,$\delta-\gamma=\gamma-\beta=\beta-\alpha$が成り立つときの$a,\ b$を求めよ.