$a$を$0$でない実数とする．
\begin{align}
& C_1 : y = x^2+(a+1)x-a(2a+1) \nonumber \\
& C_2 : y = -x^2+(3a+1)x+a(2a-1) \nonumber
\end{align}
で表される曲線$C_1$と曲線$C_2$について，以下の各問に答えよ．

(1)$C_1$と$C_2$が異なる$2$交点をもつことを示せ．
(2)$C_1$と$C_2$の$2$交点を通る直線$\ell(a)$の方程式を求めよ．また，$\ell(a)$が$a$の値に関係なく必ず通る定点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(3)(2)で求めた定点$\mathrm{P}$が$C_1$と$C_2$の$2$交点を結んだ線分上にあるような$a$の値の範囲を求めよ．

曲線$C:y =(x-3)\sqrt{x} (x>0)$の法線を考える．ただし，曲線$C$上の点$\mathrm{P}$における法線とは，点$\mathrm{P}$を通り，この曲線上の点$\mathrm{P}$における接線に垂直に交わる直線のことである．このとき，以下の各問に答えよ．

(1)関数$y=(x-3)\sqrt{x} (x>0)$の増減，極値を調べて，そのグラフをかけ．
(2)曲線$C$上の点$(t,\ (t-3)\sqrt{t})$における法線の方程式を求めよ．
(3)$a$を正の定数とするとき，点$(a,\ 0)$を通る法線の本数を調べよ．

$xy$平面上の放物線$C:y=x^2-3x$と，点P$(1,\ -6)$に対して，次の問いに答えよ．

(1)Pを通って放物線$C$に接する直線の方程式を求めよ．
(2)放物線$C$と(1)の直線との接点のうち$x$座標が負のものをQ，正のものをRとする．Sは直線QR上にありQと異なる点とする．Sの$x$座標を$t$とし，P，Q，Sの3点を通る円の方程式を$x^2+y^2+lx+my+n=0$とするとき，$l,\ m,\ n$をそれぞれ$t$の式で表せ．
(3)(2)の円の中心の軌跡を求めよ．さらに，(2)の円の半径が最小となる$t$の値を求めよ．

関数$f(x)$は，すべての実数$x$に対して$f(x+2\pi)=f(x)$を満たす連続な関数とし，$\displaystyle \int_0^{2\pi} f(t) \, dt>0$とする．さらに
\[ g(x)=x^3+(3x^2-1) \int_0^\pi f(2t+x) \, dt \]
とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)すべての実数$a$に対して$\displaystyle \int_0^a f(t) \, dt=\int_{2 \pi}^{a+2\pi}f(t) \, dt$が成り立つことを示せ．
(2)すべての実数$a$に対して$\displaystyle \int_a^{a+2\pi} f(t) \, dt=\int_0^{2\pi}f(t) \, dt$が成り立つことを示せ．
(3)関数$g(x)$は3次関数であることを示せ．
(4)関数$g(x)$の極大値と極小値を$\displaystyle c=\int_0^{2\pi}f(t) \, dt$を用いて表せ．
(5)方程式$g(x)=0$の異なる実数解がちょうど2個のとき，$c$の値を求めよ．

座標平面上に，点$\mathrm{P}(p,\ q)$を中心とする楕円がある．長軸，短軸がそれぞれ$x$軸，$y$軸に平行であり，それぞれの長さは$4,\ 2$である．このとき，以下の問に答えよ．

(1)この楕円の方程式を求めよ．
(2)原点から，この楕円に異なる$2$本の接線が引けるような，点$\mathrm{P}(p,\ q)$の存在範囲を求めて，図示せよ．
(3)さらに，原点から，この楕円に$2$本の直交する接線が引けるような，点$\mathrm{P}(p,\ q)$の存在範囲を求めて，図示せよ．

$p$を$0<p<1$を満たす有理数の定数とし，関数$f(x)$を$f(x)=|x|^p$と定める．以下の各問に答えよ．

(1)曲線$y=f(x)$の概形を描け．
(2)$a$を$0$でない実数の定数とするとき，点$(a,\ f(a))$における曲線$y=f(x)$の接線の方程式を求めよ．また，接線と$x$軸の交点の$x$座標を求めよ．
(3)数列$\{a_n\}$を次のように定める：$a_1=1$とし，$n \geqq 2$のとき$a_n$を点$(a_{n-1},\ f(a_{n-1}))$における曲線$y=f(x)$の接線と$x$軸との交点の$x$座標とする．このとき一般項$a_n$を$n$と$p$を用いて表せ．
(4)(3)で求めた数列$\{a_n\}$について，点$(a_n,\ f(a_n))$における曲線$y=f(x)$の接線と，$x$軸，および直線$x=a_n$とで囲まれた部分の面積を$T_n$とする．$T_n$を$n$と$p$を用いて表せ．
(5)(4)の$T_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$について，無限級数$T_1+T_2+T_3+\cdots$が収束する$p$の範囲を求めよ．また，収束するときの無限級数の値を求めよ．

次の各問いに答えよ．

(1)$\log_2(x^2-2)-\log_2(2x+1) \leqq 0$を満たす実数$x$の値の範囲を求めよ．
(2)円$(x-2)^2+(y-3)^2=25$上に中心を持ち，$x$軸と$y$軸のいずれにも接する円の方程式をすべて求めよ．
(3)整式$P(x)$は$(x-1)^2$で割ると$5x-7$余り，$x-2$で割ると$10$余る．$P(x)$を$(x-1)^2(x-2)$で割ったときの余りを求めよ．

$y=x^2$を平行移動してできる放物線$C$は点$\mathrm{Q}(1,\ 1)$を通り，その軸の方程式は$x=p$で，$p<1$であるとする．点$\mathrm{Q}$における放物線$C$の接線を$\ell_1$，点$\mathrm{Q}$において$\ell_1$に直交する直線を$\ell_2$とし，$\ell_1$と$x$軸との交点を$\mathrm{A}$，$\ell_2$と$x$軸との交点を$\mathrm{B}$とする．また，点$\mathrm{Q}$の位置ベクトルを$\overrightarrow{q}=(1,\ 1)$で表し，直線$\ell_1,\ \ell_2$の方向ベクトルをそれぞれ$\overrightarrow{a}=(1,\ m),\ \overrightarrow{b}=(1,\ n)$とする．

(1)放物線$C$の方程式を$p$を使って表せ．
(2)$m$および$n$をそれぞれ$p$で表せ．
(3)$\triangle \mathrm{QAB}$の内部および周上の点を表す位置ベクトルを，実数$s,\ t$を用いて$\overrightarrow{v}=\overrightarrow{q}+s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}$と表すとき，点$(s,\ t)$の存在する領域を図示せよ．

$n$を自然数とし，集合$A,\ B$を
\begin{align}
A= \{ \ a \;|\; a & \text{\ は条件(★)をみたす自然数} \} \nonumber \\
B= \{ \ a \;|\; a & \text{\ は条件(☆)をみたす自然数} \} \nonumber
\end{align}
で定める．ただし，条件(★)，(☆)は次で与えられるとする．

\mon[(★)] $2$次方程式$x^2-ax+2^n=0$は異なる$2$つの実数解$\alpha,\ \beta$をもち，$\alpha-\beta$は整数である．
\mon[(☆)] $2$次方程式$x^2-ax+2^n=0$は異なる$2$つの整数解$\alpha,\ \beta$をもつ．


(1)$2$つの集合$A,\ B$について，$A=B$が成り立つことを証明せよ．
(2)次の問いに答えよ．

(i) $n=1,\ 2$のそれぞれの場合について，集合$A$を，要素を書き並べて表せ．
(ii) 集合$A$の要素のうち，最大の数を求めよ．
(iii) 集合$A$のすべての要素の和を求めよ．

次に答えよ．ただし，対数は自然対数とする．必要ならば，$1.09<\log 3<1.10$を用いてよい．

(1)すべての$x>0$に対して，不等式
\[ x-\frac{x^2}{2} < \log (1+x) \]
が成り立つことを示せ．
(2)関数$\displaystyle f(x)=x-\frac{x^2}{3}-\log (1+x)$の$0 \leqq x \leqq 2$における最大値，および最小値を求めよ．
(3)方程式$\displaystyle x-\frac{x^2}{3}=\log (1+x)$は$0<x<2$の範囲に解を1つだけもつことを示せ．
(4)(3)における解を$\alpha \ (0<\alpha<2)$とする．曲線$\displaystyle y=x-\frac{x^2}{3}$と曲線$y=\log (1+x)$で囲まれた図形($0 \leqq x \leqq \alpha$の部分)の面積を$S$とする．また，曲線$\displaystyle y=x-\frac{x^2}{3}$，$y=\log (1+x)$と直線$x=2$で囲まれた図形($\alpha \leqq x \leqq 2$の部分)の面積を$T$とする．$S$と$T$の大小を比較せよ．