「方程式」について
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国立 横浜国立大学 2010年 第1問実数$a$に対し，関数
\[ f(x) = \cos 2x+4a \cos x+2a+5 \]
を考える．$f(x)$の最小値を$m(a)$とする．次の問いに答えよ．
(1)方程式$f(x) = 0$が解をもたないような$a$の範囲を求めよ．
(2)(1)で求めた範囲の$a$について，$m(a)$を求めよ．
(3)$a$が (1)で求めた範囲を動くとき，$m(a)$の最大値を求めよ．また，そのときの$a$の値を求めよ．
(4)(3)で求めた$a$に対し，$f(x) = m(a)$となる$x$の値を求めよ．
\[ f(x) = \cos 2x+4a \cos x+2a+5 \]
を考える．$f(x)$の最小値を$m(a)$とする．次の問いに答えよ．
(1)方程式$f(x) = 0$が解をもたないような$a$の範囲を求めよ．
(2)(1)で求めた範囲の$a$について，$m(a)$を求めよ．
(3)$a$が (1)で求めた範囲を動くとき，$m(a)$の最大値を求めよ．また，そのときの$a$の値を求めよ．
(4)(3)で求めた$a$に対し，$f(x) = m(a)$となる$x$の値を求めよ．
国立 信州大学 2010年 第1問円$x^2 +y^2 = 1$をある直線$\ell$に関して折り返すと，点$(2,\ 0)$で$x$軸に接する．このとき，直線$\ell$の方程式を求めよ．
国立 信州大学 2010年 第3問方程式$y = (\sqrt{x}-\sqrt{2})^2$が定める曲線を$C$とする．
(1)曲線$C$と$x$軸，$y$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
(2)曲線$C$と直線$y=2$で囲まれた図形を，直線$y=2$のまわりに1回転してできる立体の体積$V$を求めよ．
(1)曲線$C$と$x$軸，$y$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
(2)曲線$C$と直線$y=2$で囲まれた図形を，直線$y=2$のまわりに1回転してできる立体の体積$V$を求めよ．
国立 信州大学 2010年 第4問実数$a,\ b$は等式
\[ x^4+x^3+x^2+x+1=(x^2+ax+1)(x^2+bx+1) \]
を満たすものとする．次の問に答えよ．
(1)$a+b,\ ab$を求めよ．
(2)複素数$\alpha$が2次方程式$x^2+ax+1=0$の解ならば，$\displaystyle \frac{1}{\alpha}$もこの方程式の解であることを示せ．
(3)2次方程式$x^2+bx+1=0$の解は，(2)の$\alpha$を用いて$\displaystyle \alpha^2,\ \frac{1}{\alpha^2}$と表されることを示せ．
\[ x^4+x^3+x^2+x+1=(x^2+ax+1)(x^2+bx+1) \]
を満たすものとする．次の問に答えよ．
(1)$a+b,\ ab$を求めよ．
(2)複素数$\alpha$が2次方程式$x^2+ax+1=0$の解ならば，$\displaystyle \frac{1}{\alpha}$もこの方程式の解であることを示せ．
(3)2次方程式$x^2+bx+1=0$の解は，(2)の$\alpha$を用いて$\displaystyle \alpha^2,\ \frac{1}{\alpha^2}$と表されることを示せ．
国立 岩手大学 2010年 第2問座標平面上に$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(25,\ 0)$，$\mathrm{B}(16,\ 12)$をとる．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$x$軸上に点$\mathrm{C}$をとり，$\triangle \mathrm{OBC}$を$\mathrm{OB}=\mathrm{OC}$であるような二等辺三角形にしたい．そのような$\mathrm{C}$の座標を求めよ．ただし，$\mathrm{C}$の$x$座標は正とする．
(2)$\angle \mathrm{AOB}$の二等分線の方程式を求めよ．
(3)$\angle \mathrm{OBA}$の大きさを求めよ．
(4)座標平面上の点$\mathrm{P}$と$\triangle \mathrm{OAB}$の周との距離を，$\mathrm{P}$に最も近い周上の点と$\mathrm{P}$との距離，と定める．このとき，点$(15,\ 6)$と$\triangle \mathrm{OAB}$の周との距離を求めよ．
(5)$\triangle \mathrm{OAB}$の周との距離が最大となる$\triangle \mathrm{OAB}$の内部の点の座標を求めよ．
(1)$x$軸上に点$\mathrm{C}$をとり，$\triangle \mathrm{OBC}$を$\mathrm{OB}=\mathrm{OC}$であるような二等辺三角形にしたい．そのような$\mathrm{C}$の座標を求めよ．ただし，$\mathrm{C}$の$x$座標は正とする．
(2)$\angle \mathrm{AOB}$の二等分線の方程式を求めよ．
(3)$\angle \mathrm{OBA}$の大きさを求めよ．
(4)座標平面上の点$\mathrm{P}$と$\triangle \mathrm{OAB}$の周との距離を，$\mathrm{P}$に最も近い周上の点と$\mathrm{P}$との距離，と定める．このとき，点$(15,\ 6)$と$\triangle \mathrm{OAB}$の周との距離を求めよ．
(5)$\triangle \mathrm{OAB}$の周との距離が最大となる$\triangle \mathrm{OAB}$の内部の点の座標を求めよ．
国立 富山大学 2010年 第2問$2$次方程式$x^2+2x+3=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$2$つの数
\[ \frac{4\alpha^2+5\alpha+6}{4\beta^2+5\beta+6},\quad \frac{4\beta^2+5\beta+6}{4\alpha^2+5\alpha+6} \]
を解とする$2$次方程式を$1$つ作れ．
\[ \frac{4\alpha^2+5\alpha+6}{4\beta^2+5\beta+6},\quad \frac{4\beta^2+5\beta+6}{4\alpha^2+5\alpha+6} \]
を解とする$2$次方程式を$1$つ作れ．
国立 岩手大学 2010年 第5問関数$f(x)$が次の式で与えられている．
\[ f(x)=x^2-f^{\, \prime}(a)x+\int_{-b}^0f^{\, \prime}(t)\, dt \]
ここで，$a$と$b$は定数である．方程式$f(x)=0$が2つの異なる実数解$\alpha$と$\beta$をもつとき，次の問いに答えよ．
(1)$f^{\,\prime}(a)$を$\alpha$と$\beta$で表せ．
(2)$a$と$b$を，それぞれ$\alpha$と$\beta$で表せ．
\[ f(x)=x^2-f^{\, \prime}(a)x+\int_{-b}^0f^{\, \prime}(t)\, dt \]
ここで，$a$と$b$は定数である．方程式$f(x)=0$が2つの異なる実数解$\alpha$と$\beta$をもつとき，次の問いに答えよ．
(1)$f^{\,\prime}(a)$を$\alpha$と$\beta$で表せ．
(2)$a$と$b$を，それぞれ$\alpha$と$\beta$で表せ．
国立 岩手大学 2010年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$\sqrt{2}=1.41421,\ \sqrt{3}=1.73205,\ \sqrt{6}=2.44949$として$\displaystyle \frac{1}{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}$の値を，小数第$5$位以下を切り捨てて，小数第$4$位まで求めよ．
(2)$2$次方程式$x^2-4mx+m+3=0$が重解をもつとき，$m$の値を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=5,\ \mathrm{BC}=7,\ \mathrm{CA}=8$であるとき，$\angle \mathrm{BAC}$の大きさを求めよ．
(1)$\sqrt{2}=1.41421,\ \sqrt{3}=1.73205,\ \sqrt{6}=2.44949$として$\displaystyle \frac{1}{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}$の値を，小数第$5$位以下を切り捨てて，小数第$4$位まで求めよ．
(2)$2$次方程式$x^2-4mx+m+3=0$が重解をもつとき，$m$の値を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=5,\ \mathrm{BC}=7,\ \mathrm{CA}=8$であるとき，$\angle \mathrm{BAC}$の大きさを求めよ．
国立 岩手大学 2010年 第5問関数$f(x)$が次の式で与えられている．
\[ f(x)=x^2-f^{\, \prime}(a)x+\int_{-b}^0f^{\, \prime}(t)\, dt \]
ここで，$a$と$b$は定数である．方程式$f(x)=0$が$2$つの異なる実数解$\alpha$と$\beta$をもつとき，次の問いに答えよ．
(1)$f^{\,\prime}(a)$を$\alpha$と$\beta$で表せ．
(2)$a$と$b$を，それぞれ$\alpha$と$\beta$で表せ．
\[ f(x)=x^2-f^{\, \prime}(a)x+\int_{-b}^0f^{\, \prime}(t)\, dt \]
ここで，$a$と$b$は定数である．方程式$f(x)=0$が$2$つの異なる実数解$\alpha$と$\beta$をもつとき，次の問いに答えよ．
(1)$f^{\,\prime}(a)$を$\alpha$と$\beta$で表せ．
(2)$a$と$b$を，それぞれ$\alpha$と$\beta$で表せ．
国立 愛媛大学 2010年 第1問次の問いに答えよ．
(1)次の連立不等式を解け．
\[ \left\{
\begin{array}{l}
4x^2-4x-15<0 \\
x^2-2x \geqq 0
\end{array}
\right. \]
(2)鈍角三角形ABCにおいて，$\text{BC}=1,\ \text{CA}=\sqrt{3},\ \angle \text{A}=30^\circ$であるとき，ABの長さを求めよ．
(3)原点O，および3点A$(1,\ 0,\ 0)$，B$(0,\ 1,\ 0)$，C$(0,\ 0,\ 1)$がある．$0<s<1$に対して，線分AB，線分CAを$s:(1-s)$に内分する点を，それぞれP，Qとするとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$s$を用いて表せ．
(4)方程式$\displaystyle \left( \log_2\sqrt{x}+\log_2x^2+\log_2\frac{1}{x} \right)^2=9$を解け．
(5)数列$1,\ a,\ b,\ c$はこの順に等差数列であり，数列$a,\ b,\ 1,\ c$はこの順に等比数列であるとする．このとき，$c=1$であることを示せ．
(1)次の連立不等式を解け．
\[ \left\{
\begin{array}{l}
4x^2-4x-15<0 \\
x^2-2x \geqq 0
\end{array}
\right. \]
(2)鈍角三角形ABCにおいて，$\text{BC}=1,\ \text{CA}=\sqrt{3},\ \angle \text{A}=30^\circ$であるとき，ABの長さを求めよ．
(3)原点O，および3点A$(1,\ 0,\ 0)$，B$(0,\ 1,\ 0)$，C$(0,\ 0,\ 1)$がある．$0<s<1$に対して，線分AB，線分CAを$s:(1-s)$に内分する点を，それぞれP，Qとするとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$s$を用いて表せ．
(4)方程式$\displaystyle \left( \log_2\sqrt{x}+\log_2x^2+\log_2\frac{1}{x} \right)^2=9$を解け．
(5)数列$1,\ a,\ b,\ c$はこの順に等差数列であり，数列$a,\ b,\ 1,\ c$はこの順に等比数列であるとする．このとき，$c=1$であることを示せ．