$a>0$とする．放物線$\displaystyle C : y = \frac{a}{2}x^2$上の点P$\displaystyle \left(1,\ \frac{a}{2} \right)$を通り，Pを通る接線に直交する直線を$\ell$，$y$軸と$\ell$との交点をQとするとき，次の問いに答えよ．

(1)直線$\ell$の方程式を$a$を用いて表せ．
(2)線分PQ，$y$軸および放物線$C$で囲まれる図形の面積を$S_1$とする．$S_1$の値を最小にする$a$の値を求めよ．
(3)直線$\ell$，$y$軸，直線$x = -1$および放物線$C$で囲まれる図形の面積を$S_2$とする．$S_2 = 2S_1$となる$a$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$x>0,\ x \neq 1$とする．方程式$\log_2 x+2\log_x 2=3$を解け．
(2)$x>0,\ x \neq 2,\ y>0$とする．次の連立方程式を解け．
\[ \left\{
\begin{array}{l}
\log_{\frac{x}{2}}y=2 \\
xy=16
\end{array}
\right. \]
(3)$x>0,\ x \neq 2,\ y>0$とする．次の連立方程式の表す領域を図示せよ．
\[ \left\{
\begin{array}{l}
\log_{\frac{x}{2}}y<2 \\
xy<16
\end{array}
\right. \]

$a$を正の定数とする．2つの放物線$C_1:y=x^2$と$C_2:y=(x-2)^2+4a$の交点をPとする．次の問いに答えよ．

(1)放物線$C_1$上の点Q$(t,\ t^2)$における接線の方程式を求めよ．さらに，その接線のうち$C_2$に接するものを$\ell$とする．$\ell$の方程式を求めよ．
(2)点Pを通り$y$軸に平行な直線を$m$とする．$\ell$と$m$の交点をRとするとき，線分PRの長さを求めよ．
(3)直線$\ell,\ m$と放物線$C_1$で囲まれた図形の面積を求めよ．

平面上を運動する点Pの時刻$t$における座標$(x,\ y)$が
\[ x=2t-t^2,\quad y=1-t^2 \quad (0 \leqq t \leqq 1) \]
で与えられている．このとき，点Pの描く曲線を$C$とおく．

(1)$0<t<1$の範囲で，点Pの速さ(速度の大きさ)が最小になる時刻$t$を求めよ．
(2)(1)で求めた時刻$t$に対応する$C$上の点における接線$\ell$の方程式を求めよ．
(3)接線$\ell$と曲線$C$は，接点以外に共有点を持たないことを示せ．
(4)曲線$C$，接線$\ell$および$y$軸で囲まれる図形の面積を求めよ．

$p,\ a$を実数の定数とする．多項式$P(x) = x^3-(2p+a)x^2 + (2ap+1)x-a$を$x-3$で割った余りが$10-6p$であり，3次方程式$P(x) = 0$の実数解は$a$のみとする．次の問いに答えよ．

(1)実数の範囲で$P(x)$を因数分解せよ．
(2)$a$の値を求めよ．
(3)関数$y = P(x)$が極値をもたないときの$p$の値を求めよ．

$p,\ a$を実数の定数とする．多項式$P(x) = x^3-(2p+a)x^2 + (2ap+1)x-a$を$x-3$で割った余りが$10-6p$であり，3次方程式$P(x) = 0$の実数解は$a$のみとする．次の問いに答えよ．

(1)実数の範囲で$P(x)$を因数分解せよ．
(2)$a$の値を求めよ．
(3)関数$y = P(x)$が極値をもたないときの$p$の値を求めよ．

$t>1$を満たす実数$t$に対して，$\displaystyle S(t)=\int_0^1 |xe^x - tx|\, dx$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)$0 \leqq x \leqq 1$の範囲で，方程式$xe^x=tx$を満たす$x$をすべて求めよ．
(2)$S(t)$を求めよ．
(3)$S(t)$を最小にする$t$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\theta$が$0 \leqq \theta \leqq \pi$をみたすとき，方程式
\[ -\sin 2\theta \cos \theta +2 \cos 2\theta + \sin \theta = 0 \]
を解け．
(2)関数
\[ y = \log_2 (2-x) + \log_{\sqrt{2}} (x+1) \]
の最大値を求めよ．

実数を成分とする$2$次正方行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$を考える．平面上の点$\mathrm{P}(x,\ y)$に対し，点$\mathrm{Q}(X,\ Y)$を
\[ \left( \begin{array}{c}
X \\
Y
\end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right) \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right) \]
により定める．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{P}$が放物線$y = x^2$全体の上を動くとき，$\mathrm{Q}$が放物線$9X = 2Y^2$全体の上を動くという．このとき，行列$A$を求めよ．
(2)$\mathrm{P}$が放物線$y = x^2$全体の上を動くとき，$\mathrm{Q}$は常に円$X^2+(Y-1)^2=1$の上にあるという．このとき，行列$A$を求めよ．
(3)$\mathrm{P}$が放物線$y = x^2$全体の上を動くとき，$\mathrm{Q}$がある直線$L$全体の上を動くための$a,\ b,\ c,\ d$についての条件を求めよ．また，その条件が成り立っているとき，直線$L$の方程式を求めよ．

$a$を正の整数とする．正の実数$x$についての方程式
\[ (*) \quad x = \left[ \frac{1}{2} \left( x+ \frac{a}{x} \right) \right] \]
が解を持たないような$a$を小さい順に並べたものを$a_1,\ a_2,\ a_3,\ \cdots$とする．ここに$[ \quad ]$はガウス記号で，実数$u$に対し，$[ \; u \; ]$は$u$以下の最大の整数を表す．

(1)$a = 7,\ 8,\ 9$の各々について，$(*)$の解があるかどうかを判定し，ある場合は解$x$を求めよ．
(2)$a_1,\ a_2$を求めよ．
(3)$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_n}$を求めよ．