$\displaystyle f(x)=x^3-3ax^2-3bx+c,\ H(x)=\int f(x) \, dx$とおく．また，方程式$f^\prime(x)=0$は異なる解を持ち，$x=-1$はその$1$つの解とする．次の問に答えなさい．

(1)$f^\prime(x)=0$を満たすもう$1$つの解を$a$を用いて表しなさい．
(2)$\displaystyle a \leqq -\frac{1}{2}$のとき，$H(x)$の値が$x>0$でつねに増加するための$c$の値の範囲を求めなさい．
(3)$\displaystyle a>-\frac{1}{2}$のとき，$H(x)$の値が$x>0$でつねに増加するための$c$の値の範囲を求めなさい．

$xy$平面において原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$を中心とする半径$1$の円を$S$とし，円$S$の任意の点$\mathrm{P}$に対して，点$\mathrm{P}$における円$S$の接線を$L(\mathrm{P})$とおく．
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right) \]
を全ての成分が実数からなる$2$行$2$列の行列とし，$A$によって定まる$xy$平面の一次変換
\[ \left( \begin{array}{c}
x^\prime \\
y^\prime
\end{array} \right)=A \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right) \]
を$\varphi$とおく．このとき，円$S$の任意の点$\mathrm{P}$に対して円$S$の点$\mathrm{Q}$が存在し，接線$L(\mathrm{P})$のいかなる点も$\varphi$によって接線$L(\mathrm{Q})$の点に移されると仮定する．

(1)円$S$の点$\mathrm{P}$の座標を$(s,\ t)$として，接線$L(\mathrm{P})$の方程式を求めよ．
(2)行列$A$は逆行列を持つことを証明せよ．
(3)円$S$の点$\mathrm{Q}$は円$S$の点$\mathrm{P}$により一意的に定まることを示し，点$\mathrm{Q}$の座標$(u,\ v)$を点$\mathrm{P}$の座標$(s,\ t)$及び行列$A$の成分$a,\ b,\ c,\ d$を用いて表示せよ．
(4)$xy$平面の一次変換$\varphi$は，原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$を中心とする回転か，または原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$を通るある直線$\ell$を対称軸とする対称変換のいずれかであることを証明せよ．

$a$を実数とする．傾きが$m$である2つの直線が，曲線$y=x^3-3ax^2$とそれぞれ点A，点Bで接している．

(1)線分ABの中点をCとすると，Cは曲線$y=x^3-3ax^2$上にあることを示せ．
(2)直線ABの方程式が$y=-x-1$であるとき，$a,\ m$の値を求めよ．

実数$p,\ q,\ r$に対して，3次多項式$f(x)$を$f(x)=x^3+px^2+qx+r$と定める．実数$a,\ c,\ $および0でない実数$b$に対して，$a+bi$と$c$はいずれも方程式$f(x)=0$の解であるとする．ただし，$i$は虚数単位を表す．

(1)$y=f(x)$のグラフにおいて，点$(a,\ f(a))$における接線の傾きを$s(a)$とし，点$(c,\ f(c))$における接線の傾きを$s(c)$とする．$a \neq c $のとき，$s(a)$と$s(c)$の大小を比較せよ．
(2)さらに，$a,\ c$は整数であり，$b$は0でない整数であるとする．次を証明せよ．

(3)$p,\ q,\ r$はすべて整数である．
(4)$p$が2の倍数であり，$q$が4の倍数であるならば，$a,\ b,\ c$はすべて2の倍数である．

$3$次方程式$x^3-2x^2+3x-7=0$の$3$つの解を$\alpha,\ \beta,\ \gamma$とするとき，次の式の値を求めよ．

(1)$\alpha^2+\beta^2+\gamma^2$
(2)$\alpha^2\beta^2+\beta^2\gamma^2+\gamma^2\alpha^2$
(3)$\alpha^3+\beta^3+\gamma^3$

$\log x$は$x$の自然対数であり，自然対数の底$e$の値は$2.718\cdots\cdots$である．$f_0(x)=1$とし，自然数$n$に対して$f_n(x)=(\log x)^n$とする．次の問いに答えよ．

(1)方程式$f_n(x)=x$が異なる3つの実数解をもつときの$n$をすべて求めよ．必要ならば，すべての自然数$n$に対して$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{(\log x)^n}{x}=0$であることを用いてもよい．
(2)$\displaystyle a_0=\int_1^e f_0(x) \, dx$とし，$\displaystyle a_n=\frac{1}{n!}\int_1^e f_n(x) \, dx$とする．自然数$n$に対して$a_{n-1}$と$a_n$の関係式を求めよ．
(3)(2)の関係式を用いて，極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^n \frac{(-1)^k}{k!}$を求めよ．

放物線$C : y = x^2$に対して，以下の問いに答えよ．

(1)$C$上の点P$(a,\ a^2)$を通り，Pにおける$C$の接線に直交する直線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$\ell$を(1)で求めた直線とする．$a \neq 0$のとき，直線$x = a$を$\ell$に関して対称に折り返して得られる直線$m$の方程式を求めよ．
(3)(2)で求めた直線$m$は$a$の値によらず定点Fを通ることを示し，Fの座標を求めよ．

$a$を正の実数とし，$2$つの放物線

$C_1:y=x^2$
$C_2:y=x^2-4ax+4a$

を考える．

(1)$C_1$と$C_2$の両方に接する直線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$2$つの放物線$C_1,\ C_2$と直線$\ell$で囲まれた図形の面積を求めよ．

$a$を正の実数とし，$2$つの放物線

$C_1:y=x^2$
$C_2:y=x^2-4ax+4a$

を考える．

(1)$C_1$と$C_2$の両方に接する直線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$2$つの放物線$C_1,\ C_2$と直線$\ell$で囲まれた図形の面積を求めよ．

$a,\ b$を実数とし，$a \neq 0$とする．$x$についての$3$次方程式
\[ ax^3+ (a+1)x^2+(b+1)x+b=0 \cdots\cdots① \]
を考える．

(1)$a = b = 1$のとき，$①$の実数解を求めよ．
(2)$\maru{1}$がちょうど2つの相異なる実数解を持つ条件を$a,\ b$を用いて表せ．