放物線$y=-(x-2)^2+1$上に点Pがある．点Pの$x$座標を$a$とし，$\displaystyle \frac{1}{2} \leqq a \leqq \frac{3}{2}$とする．以下の問に答えよ．

(1)放物線上の点Pにおける接線の方程式を求めよ．
(2)点Pから$y$軸に下ろした垂線の足を点Qとする．また，(1)で求めた接線と$y$軸の交点を点Rとする．$\triangle$PQRの面積$S$を$a$で表せ．点Pから$y$軸に下ろした垂線と$y$軸との交点のことである．
(3)(2)で求めた面積$S$が最大になるときの$a$の値とその面積を求めよ．

以下の各問いに答えよ．

(1)次の方程式を解け．
\[ |x+3| = 2x \]
(2)$a$を素数とする．$2$次方程式$x^2 -ax+66 = 0$の$2$つの解のうち，ただ$1$つのみが素数であるとき，$a$の値を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$A = 60^\circ$，外接円の半径$R$が$7$のとき，$\mathrm{BC}$の長さを求めよ．
(4)$\log_{10} 2 = 0.3010,\ \log_{10} 3 = 0.4771$とする．$12^{20}$は何桁の整数か．
(5)$15$本のくじの中に当たりくじが$3$本ある．この中から$2$本のくじを同時に引くとき，少なくとも$1$本が当たる確率を求めよ．
(6)次の$3$点が同一直線上にあるように，$m,\ n$の値を定めよ．
\[ \mathrm{A}(2,\ -1,\ -2),\ \mathrm{B}(4,\ 2,\ 5),\ \mathrm{C}(m,\ -4,\ n) \]
(7)次の定積分を求めよ．
\[ \int_{-2}^2 |x-1|(x-1) \, dx \]
(8)四角形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AB} = 5,\ \mathrm{BC} = 3,\ \mathrm{CD} = 7,\ B = 120^\circ,\ D = 60^\circ$とするとき，四角形$\mathrm{ABCD}$の面積$S$を求めよ．

$a$を実数とする．曲線$\displaystyle y=\frac{1}{4}(x-a)^2$と曲線$y=e^x$の共有点$\mathrm{P}(s,\ t)$において$2$曲線の接線が一致するとき，以下の問いに答えよ．

(1)$a$の値を求めよ．また，そのときの点$\mathrm{P}$における接線の方程式を求めよ．
(2)$x \geqq a$のとき$\displaystyle \frac{(x-a)^2}{e^x}$の最大値を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{2(\log x)^2-3\log x}{x} \ (x>0)$について，次の各問に答えよ．ただし$\log x$は自然対数である．

(1)方程式$f(x)=0$を解け．
(2)関数$f(x)$の極大値と極小値を求めよ．また，そのときの$x$の値をそれぞれ求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$3$次式$x^3+ax^2+bx+c$を$x-1$で割ったときの商と余りを求めよ．
(2)$3$次方程式$x^3+ax^2+bx+c=0$の解が$1,\ \cos \theta,\ \sin \theta$であるとき，$a,\ b,\ c$を$\theta$を用いて表せ．
(3)(2)において，$\theta$が区間$[0,\ 2\pi]$を動くとき，点$(a,\ b)$が描く曲線を図示せよ．

平面上の三角形ABCの頂点A，B，Cの位置ベクトルをそれぞれ$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)線分ABの垂直二等分線を$\ell$とする．$\ell$上の点Pの位置ベクトルを$\overrightarrow{p}$とするとき，直線$\ell$のベクトル方程式は$\displaystyle \overrightarrow{p} \cdot (\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a})=\frac{1}{2}(|\overrightarrow{b}|^2-|\overrightarrow{a}|^2)$で与えられることを示せ．
(2)(1)の結果を用いて，三角形ABCの3つの辺の垂直二等分線が1点Dで交わることを示せ．
(3)(2)で定まる点Dの位置ベクトル$\overrightarrow{d}$が，$\displaystyle \overrightarrow{d}=\frac{4}{7}\overrightarrow{a}+\frac{4}{7}\overrightarrow{b}-\frac{1}{7}\overrightarrow{c}$を満たすものとする．

(4)辺ABの中点をMとするとき，3点C，M，Dは一直線上にあることを示し，$\text{CM}:\text{MD}$を求めよ．
(5)三角形ABCの三辺の長さの比$\text{BC}:\text{CA}:\text{AB}$を求めよ．

方程式$y=-x^2+2x+8$で表される放物線を$C_1$とする．放物線$C_1$と$x$軸とで囲まれた図形の内部にある円で，放物線$C_1$と$x$軸に$3$点で接するものを$C_2$とする．放物線$C_1$と$x$軸との$2$つの交点，および放物線$C_1$の頂点を通る円を$C_3$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)円$C_2$の方程式を求めよ．
(2)円$C_3$の面積が円$C_2$の面積の何倍になるか求めよ．
(3)放物線$C_1$の頂点を通り，円$C_2$に接する$2$つの接線の方程式を求めよ．

以下の問いに答えよ．

(1)$3$次方程式$4x^3-3x+1=0$を解け．
(2)$\displaystyle \log_2 \cos \theta+\log_2 \left( \sin^2 \theta-\frac{1}{4} \right)+2=0$を満たす$\theta$で，$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲にあるものを求めよ．

座標平面において，原点を通り傾きが$\tan 2\theta$の直線を$\ell$で表す．ただし，$\theta$は$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{4}$を満たすとする．中心が第1象限に属し，直線$\ell$と$x$軸に接する半径1の円$C$を考える．さらに，円$C$と直線$\ell$および$x$軸に接し，中心が第1象限に属する2つの円のうち，面積が大きいものを$C^\prime$で表す．以下の問いに答えよ．

(1)円$C$の方程式を求めよ．
(2)円$C^\prime$の半径を，$\theta$の関数として表せ．
(3)円$C^\prime$の円周の長さが，円$C$の円周の長さの3倍になるように$\theta$の値を定めよ．

関数$\displaystyle y=\frac{\log x}{x^2}$のグラフを$C$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)関数$\displaystyle y=\frac{\log x}{x^2}$の増減，極値，$C$の凹凸，変曲点を調べて，増減表をつくり，$C$を座標平面上に描け．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to \infty}\frac{\log x}{x^2}=0$を用いてもよい．
(2)$a$を定数とする．方程式$\log x=ax^2$の異なる実数解の個数を調べよ．