次の$[　]$にあてはまる数または式を記入せよ．

$t>0$とする．放物線$y=x^2$上の点$\mathrm{P}(t,\ t^2)$における接線$\ell_1$と$x$軸との交点$\mathrm{A}$の$x$座標は$[　]$である．原点$\mathrm{O}$および$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{A}$を通る放物線の方程式は$y=[　]x^2-[　]x$であり，この放物線の原点における接線$\ell_2$の方程式は$y=-[　]x$である．$2$直線$\ell_1$，$\ell_2$の交点の座標は$([　],\ -[　])$であり，放物線$y=x^2$と$2$直線$\ell_1$，$\ell_2$で囲まれた図形の面積は$[$*$]$である．
点$\mathrm{P}$を通り，$\ell_1$に垂直な直線$\ell_3$の方程式は$y=-[　]x+[　]$であり，$\ell_3$と$y$軸および曲線$y=x^2 (x \geqq 0)$で囲まれた図形の面積は$[$**$]$である．そして，$[$**$]:[$*$]=6:1$となるのは，$t=[　]$のときである．

以下の文中の$[　]$の中にいれるべき数または式を求めて記入せよ．

(1)$\displaystyle S=\sum_{n=1}^{18} (-1)^n \log_{10}(n+1)(n+2)$の値を計算すると$S=[　]$である．
(2)$a>0,\ b>0,\ a+b=1$のとき，$\displaystyle \left( 2+\frac{1}{a} \right) \left( 2+\frac{1}{b} \right)$の最小値は$[　]$である．
(3)$2$次方程式$x^2+ax+a^2-4=0$が正の解と負の解を$1$つずつ持つときの定数$a$の値の範囲は，$[　]<a<[　]$である．
(4)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が$S_n=2a_n+2n-5$で与えられている．このとき，$a_1=[　]$である．また，$a_{n+1}$を$a_n$を用いて表すと$a_{n+1}=[　]$である．

次の文章中の$[　]$に適する式または数値を記入せよ．

(1)条件$\displaystyle a_1=-\frac{5}{6}$，$6a_{n+1}-3a_n+4=0$によって定められる数列$\{a_n\}$について考える．この漸化式は$a_{n+1}+[$*$]=[　](a_n+[$*$])$と変形できる．したがって，一般項は$a_n=[　]$である．
(2)方程式$(x+1)(x-2)(x+3)(x-4)=-24$について，$X=x^2-x$とおくと，$X$の$2$次方程式$[　]=0$を得る．その解は$X=[$**$],\ [$***$]$（ただし，$[$**$]<[$***$]$）である．元の方程式の最大の解は$x=[　]$である．
(3)箱$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$があり，それぞれに$4$個のボールが入っている．各箱のボールには，$1$から$4$までの番号がつけられている．箱$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$からボールを$1$個ずつ取り出し，出た数をそれぞれ$a,\ b,\ c,\ d$とする．$a,\ b,\ c,\ d$の最大の数が$3$以下である場合は$[　]$通りあり，最大の数が$4$である場合は$[　]$通りある．また，$a,\ b,\ c,\ d$について，$a+b+c+d=15$となる場合は$[　]$通りある．

次の文章中の$[　]$に適する式または数値を記入せよ．

(1)$m$を実数とするとき，$2$つの$2$次方程式
$2x^2+8x+2m=0$ $\cdots\cdots①$
$x^2+mx+2m-4=0$ $\cdots\cdots②$
が共通の解をもつのは，$m=[$*$]$または$m=[$**$]$のときである．ただし，$[$*$]>[$**$]$とする．$m=[$*$]$のとき，$①$と$②$の共通の解は$x=[　]$であり，$m=[$**$]$のとき，$①$と$②$の共通の解は$x=[　]$である．
(2)座標平面上に点$\mathrm{P}$がある．サイコロを投げて，偶数の目がでたら$\mathrm{P}$は$x$軸の正の方向に$1$動き，$1$または$5$の目がでたら$y$軸の正の方向に$1$動き，$3$の目がでたときには動かないとする．最初$\mathrm{P}$が原点にあったとする．サイコロを$5$回投げた後，$\mathrm{P}$が座標$(4,\ 1)$にある確率は$[　]$，$(3,\ 1)$にある確率は$[　]$，$(2,\ 1)$にある確率は$[　]$である．また，$n$を$3$以上の自然数とし，サイコロを$n$回投げた後，$\mathrm{P}$が$(n-3,\ 1)$にある確率は$[　]$である．

$xy$平面において，$2$つの放物線$y=x^2$と$y=2x^2-3x+2$の$2$つの共有点のうち$x$座標が小さい方を$\mathrm{A}$，大きい方を$\mathrm{B}$とする．次の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{A}$，点$\mathrm{B}$の座標を求めよ．
(2)$2$つの放物線と直線$x=\sqrt{3}$で囲まれ，$x \leqq \sqrt{3}$の範囲にある部分の面積を求めよ．
(3)放物線$y=x^2$上の点$(p,\ p^2)$における放物線$y=x^2$の接線の方程式と，放物線$y=2x^2-3x+2$上の点$(q,\ 2q^2-3q+2)$における放物線$y=2x^2-3x+2$の接線の方程式を求めよ．
(4)$(3)$において，$2$つの接線が一致し，$p$が点$\mathrm{A}$の$x$座標より小さいとする．$p$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)中心の$x$座標が$a$で，$2$点$(4,\ 0)$，$(0,\ 2)$を通る円の方程式を求めよ．
(2)$x \geqq 0$，$y \geqq 0$のとき，$(x+y)^3 \leqq 4(x^3+y^3)$が成り立つことを示せ．

$0 \leqq \theta \leqq 2\pi$とする．

(1)方程式$\sin 8 \theta=0$の解の個数は$[　]$である．
(2)方程式$\cos 6 \theta=0$の解の個数は$[　]$である．
(3)方程式$\sin 14 \theta+\sin 2\theta=0$の解の個数は$[　]$である．

実数$t$は$t>1$を満たすとする．点$\displaystyle \left( \frac{1}{2},\ t \right)$から，円$x^2+y^2=1$に相異なる$2$本の接線を引き，$2$つの接点を通る直線を$\ell$とする．

(1)直線$\ell$の方程式を$t$を用いて表せ．
(2)$t$を$t>1$の範囲で動かすとき，$t$によらず$\ell$が通る点がある．この点の座標を求めよ．

以下の問に答えよ．

(1)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とする．$\log_{10}(S_n+1)=n$が成り立っているとき，一般項は$a_n=[ア]\cdot[イ]^{n-[ウ]}$となる．
(2)方程式$\log_{x-3}(x^3-8x^2+20x-17)=3$の解は$x=[エ]$である．

次の$[　]$を埋めよ．

(1)$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の中から異なる$3$つの数字を使って作られる$3$桁の整数の中で，$345$より大きなものは$[　]$個である．また，$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の中から異なる$4$つの数字を使って作られる$4$桁の整数は，全部で$[　]$個である．
(2)$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=(1,\ 2)$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=(-1,\ 5)$のなす角を$\theta (0 \leqq \theta \leqq \pi)$とすると，$\displaystyle \cos \theta=\frac{[　]}{\sqrt{[　]}}$である．また，$\displaystyle \sin \theta=\frac{[　]}{\sqrt{[　]}}$である．したがって，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$で作られる平行四辺形の面積は$[　]$である．
(3)$n \leqq \log_{10}2^{40}<n+1$を満たす整数は$n=[　]$であるから，$2^{40}$は$[　]$桁の整数である．$\log_{10}2$の値として$0.3010$を用いてよい．
(4)方程式$x^2=3+\sqrt{3+x}$の解は$x=[　]$，$\displaystyle \frac{[　]+\sqrt{[　]}}{[　]}$である．