関数$f(x)=x^3+ax^2+bx+28$（$a,\ b$は定数）がある．曲線$y=f(x)$上の点$(2,\ f(2))$における接線の方程式が$y=15x$であるとき，次の設問に答えよ．

(1)$a$の値は$[ア]$，$b$の値は$[イウ]$である．
(2)$f(x)$は
$x=[エオ]$のとき，極大値$[カキ]$
$x=[ク]$のとき，極小値$[ケコ]$
をとる．
(3)$0 \leqq x \leqq 2$の範囲では，$f(x)$の最大値は$[サシ]$，最小値は$[スセ]$である．

$2$次方程式$4x^2-4mx-3m^2=0$が$x=-1$を解に持つとき，定数$m$の値は，
\[ m=[$*$],\ [$**$] \]
である．ただし，$[$*$]<[$**$]$とする．

放物線$y=2x^2-8x+9$について，以下の問に答えよ．

(1)この放物線の頂点の座標は$[　]$である．
(2)この放物線と$x$軸に関して対称な放物線の方程式は$[　]$である．

$x$の$2$次方程式$2x^2-2kx+k-3=0$が，$x<0$の範囲と$x>1$の範囲にそれぞれ$1$つずつ解を持つように，定数$k$の値を定めると
\[ [　]<k<[　] \]
となる．

$2$次方程式$3x^2-x-4=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とする．このとき，$2 \alpha+1$と$2 \beta+1$を解とする$2$次方程式を$3x^2+ax+b=0$とすると，$a=[　]$，$b=[　]$である．

$2$つの放物線
\[ C_1:y=x^2-6x+12,\quad C_2:y=x^2+6x+8 \]
の頂点同士を結ぶ直線を$\ell$とする．

(1)$C_1$の頂点の座標は$([ア],\ [イ])$であり，$C_2$の頂点の座標は$(-[ウ],\ -[エ])$である．
(2)$\ell$の方程式は$\displaystyle y=\frac{[オ]}{[カ]}x+[キ]$となる．
(3)$C_1$と$\ell$との交点の$x$座標は$[ク]$，$\displaystyle \frac{[ケコ]}{[サ]}$，$C_2$と$\ell$との交点の$x$座標は$-[シ]$，$\displaystyle -\frac{[ス]}{[セ]}$である．$C_1$と$\ell$とで囲まれた部分の面積と，$C_2$と$\ell$とで囲まれた部分の面積との和は$\displaystyle \frac{[ソ]}{[タチ]}$となる．

曲線$y=x^3-x+3$上の$x=1$の点における接線の方程式を$y=ax+b$とすると，$a=[　]$，$b=[　]$である．

$a$を実数とする．整式$f(x)=x^3+x^2-2x-a(x^2+x-2)$について，次の各問に答えよ．

(1)$f(x)$を因数分解せよ．
(2)方程式$f(x)=0$の$3$つの解をすべて求めよ．
(3)方程式$f(x)=0$の$3$つの解が等差数列をなすとき，$a$の値をすべて求めよ．
(4)方程式$f(x)=0$の$3$つの解が等比数列をなすとき，$a$の値をすべて求めよ．

$2$つの放物線
\[ \begin{array}{l}
C_1:y=ax^2-2bx+c \\
C_2:y=(a+1)x^2-2(b+3)x+c+5
\end{array} \]
がある．そのうち，一方のグラフは下の図の点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$を通り，他方は点$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$を通る．次の問に答えよ．
（図は省略）

(1)点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$を通る放物線は$C_1$，$C_2$のうちどちらか．理由をつけて答えよ．
(2)点$\mathrm{Q}$および$\mathrm{R}$の$x$座標を求めよ．
(3)$\mathrm{PO}=\mathrm{OQ}$，$\mathrm{QR}=\mathrm{RS}$であるとき，$C_1$，$C_2$の方程式を求めよ．

方程式$(\log_3 x)^2+(p-2) \log_3 x+p=0$が，ともに$0$より大きく，かつ，$1$より小さい異なる$2$つの実数解をもつとき，実数$p$がとりうる値の範囲は$[$1$]$である．