$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，方程式$\cos 2\theta-(2+\sqrt{3}) \cos \theta+(1+\sqrt{3})=0$を解きなさい．

$2$次方程式$x^2+(a-1)x+(a+2)=0$が相異なる$2$つの実数解もつとする．

(1)$a$の値の範囲を求めなさい．
(2)相異なる$2$つの実数解がどちらも正であるとき，$a$の値の範囲を求めなさい．

次の方程式の解を求めなさい．

(1)$\log_2(-x)+\log_2(-x-1)=1$
(2)$\log_2(-x)+\log_2(-x-1)=2$

$a$を正の実数とするとき，$2$次方程式$x^2+2ax+2=0$の$2$つの解の比が$1:2$となるように定数$a$の値と$2$つの解を求めよ．

$0 \leqq \theta<\pi$のとき，方程式$\displaystyle 2 \sin^2 \left( \theta-\frac{\pi}{4} \right)+\sqrt{3} \cos \left( \theta-\frac{\pi}{4} \right)-2=0$を解け．

$k$を定数とする．方程式$x^2-|x|-6=k$を満足する実数$x$がちょうど$3$個あるのは$k=[　]$のときであり，この方程式を満足する実数$x$が存在しないのは$k$の範囲が$[　]$のときである．

次の問いに答えよ．

(1)$y=3 \cos x$のグラフ上の$1$点$\displaystyle \left( \frac{\pi}{6},\ \frac{3 \sqrt{3}}{2} \right)$における接線に平行な単位ベクトルを$\overrightarrow{a}=(a_1,\ a_2)$，垂直な単位ベクトルを$\overrightarrow{b}=(b_1,\ b_2)$とすると，$(a_1,\ a_2)=[　]$，$(b_1,\ b_2)=[　]$である．
(2)$a_1>0$，$\sqrt{13}(a_1,\ a_2)=(A_1,\ A_2)$とおくとき，行列$A=\left( \begin{array}{cc}
A_1+2 & A_2-2 \\
A_1 & A_2
\end{array} \right)$に対し，連立方程式$A \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)=m \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)$が$(x,\ y)=(0,\ 0)$以外の解をもつとき，定数$m$の値は$[　]$である．次に行列$A$で表される$1$次変換によって，点$\mathrm{P}(x,\ y)$が点$\mathrm{Q}(X,\ Y)$に移り，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$とベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$が同じ向きになったという．ただし点$\mathrm{O}(0,\ 0)$であり，$x \neq 0$とする．このとき$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=k \overrightarrow{\mathrm{OP}}$となる定数$k$の値は$[　]$である．さらにこのとき直線$\mathrm{PQ}$の方程式は$y=[　]$である．

次の$[　]$を適当に補え．

(1)連続する$4$つの自然数を小さい順に$a,\ b,\ c,\ d$とする．$\displaystyle \frac{ac}{bd}=\frac{5}{8}$のとき，$a=[　]$である．
(2)袋の中に$0$と書かれたカードが$1$枚，$1$と書かれたカードが$2$枚，$2$と書かれたカードが$3$枚，合わせて$6$枚のカードが入っている．この袋から$1$枚ずつ$4$枚のカードを取り出し，取り出した順に左からカードの数字を書き並べたとき，$2011$となる確率は$[　]$である．また，$1$枚カードを取り出し，カードを袋に戻すことを$4$回くり返した場合，取り出した順に左からカードの数字を書き並べたとき，$2011$となる確率は$[　]$である．
(3)数列$\{a_n\}$は関係式$a_1=1$，$\displaystyle 2^{a_{n+1}}=\frac{4^{a_n}}{\sqrt{2}} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$をみたすとする．このとき，$a_3=[　]$であり，$a_n=[　]$である．
(4)$\displaystyle \frac{\pi}{2}<\theta<\pi$において，$\tan \theta=-2$のとき，$\cos^2 \theta=[　]$，$\displaystyle \sin \left( 2\theta+\frac{\pi}{4} \right)=[　]$である．
(5)$2$次方程式$x^2-kx+9=0$が実数解をもつような実数$k$の範囲は$[　]$である．このとき，その実数解を$\alpha,\ \beta$とすると，$(\alpha+1)^2+(\beta+1)^2$の最小値は$[　]$である．
(6)整式$x^3+3x$を$x^2+1$で割った商は$[　]$であり，余りは$[　]$である．また，$\displaystyle \int_0^2 \frac{x^3+3x}{x^2+1} \, dx=[　]$である．

$xy$平面において，点$\mathrm{A}(-1,\ 0)$を通り，傾きが正である直線$\ell$が放物線$y=x^2$と$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$で交わり，$\mathrm{AP}:\mathrm{AQ}=1:4$であるとする．

(1)直線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)直線$\ell$と放物線$y=x^2$で囲まれた部分の面積を求めよ．

次の各設問に答えよ．

(1)$\sqrt{10}$の整数部分を$a$，小数部分を$b$とすると，$b^2+2ab$の値は$[ア]$である．
(2)方程式$x^2-4x-8=4 |x-2|$を解くと，$x$の値は$[イ]$と$[ウエ]$である．
(3)$x=\log_{5}50+\log_{25}400-3$のとき，$\sqrt[3]{5^x}=[オ]$である．
(4)袋の中に赤玉$5$個と白玉$5$個が入っている．この袋の中から同時に玉を$3$個取り出すとき，赤玉$2$個，白玉$1$個が取り出される確率は$\displaystyle \frac{[カ]}{[キク]}$である．