$a,\ b$を実数とする．$3$次方程式$x^3-3ax^2+a+b=0$が$3$個の相異なる実数解をもち，そのうち$1$個だけが負となるための$a,\ b$の満たす条件を求めよ．また，その条件を満たす点$(a,\ b)$の存在する領域を平面上に図示せよ．

$\displaystyle f(x)=x^2-\frac{4}{5}$とおく．

(1)$2$次方程式$f(x)=x$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$とする．$\alpha,\ \beta$の値を求めよ．
(2)$f(f(\alpha))$の値を求めよ．
(3)関数$f(f(x))$を求めよ．
(4)方程式$f(f(x))=x$を解け．

次の空欄ア～スに当てはまる数を記入せよ．

(1)点$\mathrm{P}(1,\ 2)$と点$\mathrm{Q}(0,\ -1)$を通り，点$\mathrm{Q}$での接線の傾きが$2$である円の方程式は$(x-[ア])^2+(y-[イ])^2=[ウ]$である．
(2)$\overrightarrow{a}=(-2,\ 2,\ 1)$，$\overrightarrow{b}=(-5,\ 4,\ 3)$のとき，$\overrightarrow{a}$と$2 \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$のなす角度は$[エ]$である．
(3)$\sin x+\sqrt{3} \cos x-2=0 (0<x<\pi)$を解くと，$x=[オ]$である．
(4)数列$\displaystyle \frac{1}{1},\ \frac{1}{2},\ \frac{2}{2},\ \frac{1}{3},\ \frac{2}{3},\ \frac{3}{3},\ \frac{1}{4},\ \frac{2}{4},\ \frac{3}{4},\ \frac{4}{4},\ \frac{1}{5},\ \cdots$に関して，$\displaystyle \frac{17}{30}$はこの数列の第$[カ]$項である．

(5)$\displaystyle \omega=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$に対して，$\omega^8$は$[キ]+[ク]i$となる．ただし$i$は虚数単位とし，キ，クは実数とする．
(6)$2$次方程式$x^2+ax+16=0$が整数解を持つような整数$a$のうち最大のものは$[ケ]$である．
(7)サイコロを$4$回振る．連続して偶数があらわれず，かつ連続して奇数もあらわれない確率は$[コ]$である．
(8)$x$が実数を動くとき，関数$f(x)=4^x+4^{-x}-5(2^x+2^{-x})+9$の最小値は，$[サ]$である．
(9)関数$f(x)$が等式$\displaystyle \int_a^x f(t) \, dt=x^2+(3a+8)x+4$をみたすとき，定数$a$の値は$[シ]$である．
\mon $6^{30}$は$[ス]$桁の整数である．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．

次の$[　]$をうめよ．

(1)$\displaystyle \frac{\pi}{12}=\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}$より，
\[ \cos \frac{\pi}{12}=\frac{\sqrt{[$①$]}+\sqrt{[$②$]}}{4} \]
である．ただし，$[$①$]$と$[$②$]$は整数であり，$[$①$]<[$②$]$とする．
(2)$0<\theta<\pi$かつ
\[ \cos \theta=\frac{\sqrt{[$①$]}-\sqrt{[$②$]}}{4} \]
であるとき，$\theta=[$③$]$である．
(3)適当な整数$a,\ b$に対し，$\displaystyle \cos \frac{\pi}{12}$は$4$次方程式
\[ ax^4+bx^2+1=0 \]
の解となる．このとき，$a=[$④$]$，$b=[$⑤$]$である．

$3$次関数$f(x)=x^3+3x^2-9x-2$について，次の問いに答えよ．

(1)関数$y=f(x)$の極値を調べ，グラフをかけ．
(2)関数$y=f(x)$のグラフ上の点$(a,\ f(a))$における接線と，点$(a+2,\ f(a+2))$における接線が，平行であるような$a$の値を求めよ．また，このときの点$(a,\ f(a))$における接線の方程式を求めよ．

次の空欄を適当に補え．

(1)円$x^2+2x+y^2-6y-6=0$の半径は$[ア]$であり，中心の座標は$[イ]$である．

(2)$\displaystyle 2 \log_84+\log_3 \sqrt{15}-\frac{1}{\log_59}$を計算すると$[ウ]$である．

(3)$0 \leqq x<2\pi$とする．方程式$\cos 2x-5 \cos x+3=0$を解くと，$x=[エ],\ [オ]$である．
(4)$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4$の$5$つの数字から同じ数字を繰り返し使わずに作れる$3$桁の偶数は全部で$[カ]$個ある．

$3$次関数$f(x)=x^3-20x+16$について，以下の問いに答えよ．

(1)導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)$y=f(x)$上の点$(a,\ f(a))$における接線の方程式を求めよ．
(3)$(2)$で求めた接線のうち，原点を通るものを求めよ．
(4)$y=f(x)$の接線で，$(3)$で求めた接線と傾きの等しいものが，もう$1$つある．その接線の方程式を求めよ．

曲線$\displaystyle C:y=\frac{1}{x} (x>0)$上の点$\displaystyle \mathrm{P} \left( p,\ \frac{1}{p} \right)$における接線を$\ell$とする．接線$\ell$と$x$軸との交点を$\mathrm{Q}$とする．さらに，$\mathrm{Q}$を通り$x$軸に垂直な直線と曲線$C$との交点を$\mathrm{R}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)接線$\ell$と$x$軸および$y$軸とで囲まれた図形の面積を求めよ．
(3)曲線$C$と接線$\ell$および線分$\mathrm{QR}$とで囲まれた図形の面積を求めよ．

次の空欄を適当に補え．

(1)不等式$|4x-3| \leqq -x+7$を解くと$[$(\mathrm{a])$}$である．
(2)$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(3,\ 4)$，$\overrightarrow{b}=(-1,\ 2)$に対して，$\overrightarrow{a}+k \overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{a}-k \overrightarrow{b}$が垂直であるとき，正の定数$k$の値は$[$(\mathrm{b])$}$である．
(3)数列
\[ \frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{3}},\ \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}},\ \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{7}},\ \cdots,\ \frac{1}{\sqrt{2n-1}+\sqrt{2n+1}},\ \cdots \]
の第$24$項までの和は$[$(\mathrm{c])$}$である．
(4)方程式$\log_2x=2 \log_x2-1$を解くと，$x=[$(\mathrm{d])$}$である．ただし，$x \neq 2$とする．
(5)$1$個のさいころを$2$回投げるとき，$1$回目に出る目の数と$2$回目に出る目の数のうち小さくない方を$X$とする．$X=4$となる確率は$[$(\mathrm{e])$}$である．
(6)関数$f(x)=x^2-x^3$は$x=[$(\mathrm{f])$}$で極大値$[$(\mathrm{g])$}$をとる．

次の各問に答えよ．

(1)女子$5$人，男子$3$人が横$1$列に並ぶとき，女子が両端にくるような並び方は何通りあるか．また，女子$5$人が続いて並ぶような並び方は何通りあるか．
(2)放物線$y=x^2+ax+b$は$2$点$\mathrm{A}(0,\ -3)$，$\mathrm{B}(2,\ 5)$を通る．このとき，この放物線と$2$点$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}(-2,\ -3)$を通る直線で囲まれた図形の面積を求めよ．
(3)$0 \leqq x \leqq \pi$のとき，方程式$8 \cos^4 x-16 \cos^2 x-6 \sin^2 x+9=0$を解け．