$2$つの関数
\[ f(x)=2e^{-x} |\sin x|,\quad g(x)=\sqrt{2}e^{-x} \]
を考える．方程式$f(x)-g(x)=0 (x \geqq 0)$の解を小さいものから順に$x_1,\ x_2,\ x_3,\ \cdots$とする．

(1)次の$[さ]$から$[す]$にあてはまるものを記入せよ．

(i) $x_k=[さ] (k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$である．
(ii) $a,\ b$を定数とする．
\[ \frac{d}{dx} \{e^{-x}(a \sin x+b \cos x)\}=2e^{-x} \sin x \]
が成り立つのは，$a=[し]$，$b=[す]$のときである．

(2)$\displaystyle S_n=\int_{x_{2n-1}}^{x_{2n}} (f(x)-g(x)) \, dx (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおく．以下の解答は途中経過も書くこと．

(i) $S_1$を求めよ．
(ii) $S_n (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$を求めよ．
(iii) $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty S_n$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{X}$大学には$5$つの学部があり，全ての学部で入学試験を行っている．次の$7$つの命題$(\mathrm{A})$～$(\mathrm{G})$の中で，お互いに否定命題となっている全ての組を以下の選択肢から選べ．もし，否定命題となっている組で選択肢にないものが存在するときは，$z$もマークせよ．

$(\mathrm{A})$ $\mathrm{X}$大学のある学部の入学試験科目には，数学がある．
$(\mathrm{B})$ $\mathrm{X}$大学の学部の中で，入学試験科目に数学があるのはただ一つである．
$(\mathrm{C})$ $\mathrm{X}$大学の全ての学部の入学試験科目には，数学がある．
$(\mathrm{D})$ $\mathrm{X}$大学には，入学試験科目に数学がない学部がある．
$(\mathrm{E})$ $\mathrm{X}$大学の全ての学部の入学試験科目には，数学がない．
$(\mathrm{F})$ $\mathrm{X}$大学の学部の中で，入学試験科目に数学がないのはただ一つである．
$(\mathrm{G})$ $\mathrm{X}$大学には，入学試験科目に数学がある学部とない学部の両方がある．

選択肢：
\[ \begin{array}{rlp{1mm}rlp{1mm}rlp{1mm}rl}
1. & (\mathrm{A}) \text{と} (\mathrm{C}) & & 2. & (\mathrm{A}) \text{と} (\mathrm{D}) & & 3. & (\mathrm{A}) \text{と} (\mathrm{E}) & & 4. & (\mathrm{A}) \text{と} (\mathrm{G}) \\
5. & (\mathrm{B}) \text{と} (\mathrm{F}) & & 6. & (\mathrm{B}) \text{と} (\mathrm{G}) & & 7. & (\mathrm{C}) \text{と} (\mathrm{D}) & & 8. & (\mathrm{C}) \text{と} (\mathrm{E}) \\
9. & (\mathrm{C}) \text{と} (\mathrm{G}) & & 10. & (\mathrm{D}) \text{と} (\mathrm{E}) & & 11. & (\mathrm{D}) \text{と} (\mathrm{G}) & & 12. & (\mathrm{E}) \text{と} (\mathrm{F})
\end{array} \]
(2)$f(0)=1$，$g(0)=2$を満たす$2$つの整式$f(x)$，$g(x)$に対して$p(x)=f(x)+g(x)$，$q(x)=f(x)g(x)$とおく．$\displaystyle \frac{d}{dx}p(x)=3$，$\displaystyle \frac{d}{dx}q(x)=4x+k$であるとき，$k=[ア]$または$[イ]$である．ただし$[ア]<[イ]$である．
(3)方程式$4^{x+1}+3 \cdot 2^x-1=0$の解は$x=[ウ]$である．

座標平面において，円$A$
\[ A:(x-4)^2+(y+1)^2=9 \]
および放物線$B$
\[ B:y=\frac{1}{4}x^2+1 \]
を考える．

(1)$m$を実数とすると，直線$\ell:y=mx+m-1$は$m$の値によらずに点$([エ],\ [オ])$を通る．
(2)$\ell$と円$A$との共有点の個数を$n_a$，$\ell$と放物線$B$との共有点の個数を$n_b$とする．$n_a+n_b=2$となるのは，$m<[カ]$または$\displaystyle \frac{[キ]}{[ク]}<m<\frac{[ケ]}{[コ]}$または$[サ]<m$のときである．
(3)$m=[カ]$のとき$\ell$と$B$とのただ一つの共有点は$\mathrm{P}([シ],\ [ス])$であり，$m=[サ]$のとき$\ell$と$B$とのただ一つの共有点は$\mathrm{Q}([セ],\ [ソ])$である．
(4)$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を通る直線の方程式は$\displaystyle y=\frac{[タ]}{[チ]}x+[ツ]$であり，直線$\mathrm{PQ}$と放物線$B$とで囲まれた図形の面積は$[テ]$である．

次の空欄ア～ソに当てはまる数または式を記入せよ．

(1)$x$が$0<x<1$と$\displaystyle x^2+\frac{1}{x^2}=3$を満たすとき，$x^3$の値は$[ア]$である．
(2)不等式$\displaystyle \log_5 \left( \frac{x+1}{2} \right)+\log_5(x-4)<2$の解は$[イ]<x<[ウ]$である．
(3)$\sqrt{3} \sin \theta-\cos \theta>1 (-\pi<\theta<\pi)$を満たす$\theta$の範囲は，$[エ]<\theta<[オ]$である．
(4)$3$次方程式$x^3+3x^2-24x-a=0$が，異なる$3$つの実数解をもつような定数$a$の値の範囲は，$[カ]<a<[キ]$である．
(5)積分$\displaystyle \int_{-3}^3 |x^2-1| \, dx$の値は$[ク]$である．
(6)$2$次不等式$ax^2-4x+b<0$の解が$-3<x<5$であるとき，定数$a$は$[ケ]$であり，定数$b$は$[コ]$である．
(7)$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(2,\ -1,\ 1)$と$\overrightarrow{b}=(x-2,\ -x,\ 4)$のなす角が$30^\circ$のとき，$x$の値は$[サ]$である．
(8)点$(x,\ y)$が直線$2x+3y=4$の上を動くとする．$4^x+8^y$が最小値をとるとき，$x,\ y$の値は$x=[シ]$，$y=[ス]$である．
(9)三角形$\mathrm{ABC}$の$\mathrm{A}$における角度は$45^\circ$，$\mathrm{C}$における角度は$75^\circ$，辺$\mathrm{AC}$の長さが$6$であるとき，辺$\mathrm{BC}$の長さは$[セ]$である．
\mon $0,\ 1,\ 2,\ 3$の数字から選んで$4$桁の自然数を作るとき，同じ数字を何回用いてもよいとすると，$2$の倍数でない自然数は$[ソ]$個できる．

次の空欄ア～セに当てはまる数を記入せよ．

(1)$(x+1)^5$の$x^3$の係数は$[ア]$である．
(2)中心を$\mathrm{O}$とする円の円周上に異なる$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$があり，$\mathrm{AB}=3$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AO}}$の内積は，$[イ]$である．
(3)$y=x^2+px+q (pq \neq 0)$のグラフが点$(1,\ 1)$を通り，$x$軸に接するとき，$p=[ウ]$，$q=[エ]$である．
(4)$120$人の学生の通学手段について調査したところ，電車を利用する学生が$83$人，バスを利用する学生が$48$人，電車もバスも利用しない学生が$28$人であった．電車とバスの両方を利用する学生は$[オ]$人である．
(5)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$の$6$枚のカードをよくきって，$6$枚を$1$列に並べるとき，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が隣り合う確率は$[カ]$である．
(6)$2$次方程式$x^2-4x-2=0$の解を$\alpha,\ \beta$とする．$\displaystyle \frac{\alpha^2}{\beta}$と$\displaystyle \frac{\beta^2}{\alpha}$を解とする$2$次方程式を$x^2+px+q=0$とするとき，$p=[キ]$，$q=[ク]$である．
(7)方程式$\log_2 \sqrt[3]{x}-\log_4 4x^3+8=0$の解は$x=[ケ]$である．
(8)$x+x^{-1}=7$のとき，$x^{\frac{1}{4}}+x^{-\frac{1}{4}}$は$[コ]$である．ただし，$x>0$とする．
(9)$100$以下の自然数の中で，$4$で割ると$1$余る数の総和は$[サ]$である．
\mon $f^\prime(x)$を$f(x)$の導関数とする．$f^\prime(x)=3x^2-4x-1$，$f(1)=0$を満たすとき，$f(x)$を$f(x)=x^3+px^2+qx+r$とおくと，$p=[シ]$，$q=[ス]$，$r=[セ]$である．

座標平面上の放物線$\displaystyle y=\frac{1}{4}x^2$について，その頂点を$\mathrm{O}$とし，この放物線上に異なる$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$をとる．また$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$は頂点$\mathrm{O}$と異なる点で，$\angle \mathrm{AOB}$が直角になるものとする．点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の$x$座標をそれぞれ$a,\ b$とし，$a+b=t$として，次の問に答えよ．

(1)$\angle \mathrm{AOB}$が直角となる条件を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)$t$を用いて直線$\mathrm{AB}$の方程式を求めよ．
(3)頂点$\mathrm{O}$から直線$\mathrm{AB}$におろした垂線が，直線$\mathrm{AB}$と交わる点を$\mathrm{H}$とするとき，$t$を用いて直線$\mathrm{OH}$の方程式を求めよ．
(4)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$が放物線上を動くとき，$t$を用いて点$\mathrm{H}$の座標を求めよ．

次の空欄ア～サに当てはまる数または式を記入せよ．

(1)$2$つの異なる$2$次方程式$x^2+3px+4=0$，$x^2+3x+4p=0$が共通の実数解を持つとき，$p$の値は$[ア]$である．ただし，$p \neq 1$とする．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{BC}=6$，$\mathrm{CA}=4$，$\displaystyle \cos C=\frac{1}{3}$であるとき，$\sin A$の値は$[イ]$である．
(3)不等式$|2x|+|x-4|<6$を解くと，$[ウ]$となる．
(4)実数$x,\ y$が$(3+2i)x+(1-i)y+13+2i=0$を満たすとき，$x=[エ]$，$y=[オ]$である．ただし，$i$は虚数単位とする．
(5)点$\mathrm{Q}$が円$x^2+y^2=4$上を動くとき，点$\mathrm{P}(3,\ 0)$と点$\mathrm{Q}$の中点の軌跡の方程式は$[カ]$である．
(6)$\displaystyle \cos \theta=\frac{1}{5}$のとき，$\tan \theta=[キ]$である．ただし，$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．
(7)$a=\log_{10}2$，$b=\log_{10}3$とするとき，$\displaystyle \log_{100}\frac{125}{9}$を$a,\ b$を用いて表すと，$[ク]$となる．
(8)等式$\displaystyle f(x)=x^2+4x-\int_0^1 f(t) \, dt$を満たす関数$f(x)$は，$[ケ]$である．
(9)数列$2,\ 4,\ 9,\ 17,\ 28,\ 42,\ \cdots$の第$n$項を$n$を用いて表すと，$[コ]$となる．
\mon 座標空間上に$3$つの点，$\mathrm{A}(1,\ 3,\ -1)$，$\mathrm{B}(-1,\ 2,\ 2)$，$\mathrm{C}(2,\ 0,\ 1)$をとるとき，三角形$\mathrm{ABC}$の重心の座標は$[サ]$である．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \alpha=\left\{ \left( \frac{413}{8} \right)^{\frac{1}{2}}+6 \right\}^{\frac{1}{3}}-\left\{ \left( \frac{413}{8} \right)^{\frac{1}{2}}-6 \right\}^{\frac{1}{3}}$は整数を係数とする$3$次方程式
\[ 2x^3+[ア]x^2+[イ]x+[ウ]=0 \]
の解である．
(2)$f(x)=x^3-4x$とする．曲線$y=f(x)$上に$2$点$\mathrm{P}(t-1,\ f(t-1))$，$\mathrm{Q}(t+1,\ f(t+1))$をとる．線分$\mathrm{PQ}$が曲線$y=f(x)$と$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$以外の点で交わるための$t$の条件は
\[ \frac{[エ]}{[オ]}<t<\frac{[カ]}{[キ]} \]
である．

$a,\ b,\ c$を実数とする．$3$次方程式$x^3+ax^2+bx+c=0$は$3$個の相異なる実数解を持ち，それらの解をある順番で並べると等比数列となる．そこで等比数列の公比を$r$とおき，方程式の解を$p,\ pr,\ pr^2$とおく．このとき，次の問に答えよ．

(1)$a,\ b,\ c$をそれぞれ$p,\ r$の式として表せ．
(2)$c$を$a,\ b$の式として表せ．
(3)$p,\ pr,\ pr^2$を適当に並びかえると等差数列になるとする．このとき$r$の値を求めよ．
(4)$(3)$の場合で，さらに$b=2a$であるとき$a,\ b,\ c$の値をそれぞれ求めよ．

放物線$y=x^2$上の点$(a,\ a^2)$を$\mathrm{A}$とし，点$\mathrm{A}$における放物線の接線を$\ell$とする．ただし，$a>0$とする．また，$x$軸上の点$(a,\ 0)$の直線$\ell$について対称な点を$\mathrm{B}$とし，点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る直線を$m$とする．このとき，次の問$(1)$～$(4)$に答えよ．

(1)直線$\ell$と$x$軸の正の向きとのなす角を$\theta$とし，また，直線$m$と$x$軸の正の向きとのなす角を$\gamma$とする．$\gamma$を$\theta$と$\pi$を用いて表せ．ただし，$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$，$\displaystyle -\frac{\pi}{2}<\gamma<\frac{\pi}{2}$とする．
(2)直線$m$の傾き$\tan \gamma$を$\tan \theta$で表せ．
(3)直線$m$の方程式を$a$を用いて表せ．
(4)直線$m$が，$a$の値によらず，必ず通過する点の座標を求めよ．