曲線$\displaystyle C:y=\frac{e^{a(x+2)}}{a} (a>0)$と原点$\mathrm{O}$から$C$に引いた接線$\ell$を考える．

(1)$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$C$と$\ell$と$y$軸とで囲まれた部分の面積$S$を$a$を用いて表せ．
(3)(2)の$S$について，$S$を最小にする$a$の値と$S$の最小値を求めよ．

$n$を整数とし，$x$についての$3$次式$P(x)=x(x-1)(x-2)-n(n-1)(n-2)$を考える．

(1)$P(x)$を$x-n$で割ったときの商と余りを求めよ．
(2)$n=4$のときの方程式$P(x)=0$の$3$つの解を$\alpha,\ \beta,\ \gamma$とする．このとき$\displaystyle \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}+\frac{1}{\gamma}$の値を求めよ．
(3)方程式$P(x)=0$の解がすべて実数となるとき，整数$n$の値をすべて求めよ．

放物線$C_1$を$y=(x+1)^2+1$とする．$C_1$を$y$軸に関して対称移動した放物線を$C_2$とし，$C_1$を$x$軸に関して対称移動した放物線を$C_3$とする．次の各問に答えよ．

(1)$C_2$の方程式と$C_1$，$C_2$の交点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(2)$C_3$を平行移動して得られる曲線で，頂点が$\mathrm{P}$となる放物線を$C_4$とする．$C_4$の方程式を求めよ．
(3)$3$つの放物線$C_1$，$C_2$，$C_4$によって囲まれる部分の面積を求めよ．

座標平面上において，原点$\mathrm{O}$，点$\mathrm{A}(0,\ 1+\sqrt{3})$，点$\mathrm{B}(\sqrt{3},\ 2+\sqrt{3})$，点$\mathrm{C}(1+\sqrt{3},\ 0)$がある．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)直線$\mathrm{AB}$を表す方程式と$\angle \mathrm{OAB}$の値を求めよ．
(2)$\angle \mathrm{OAB}$の二等分線の方程式を求めよ．
(3)中心が第$1$象限にあり，直線$\mathrm{AB}$，$x$軸，$y$軸に接する円$P$の方程式を求めよ．
(4)傾きが正で，かつ点$\mathrm{C}$を通り，$(3)$で求めた円$P$と接する直線$\ell$の方程式を求めよ．

以下の空欄にあてはまる数を入れよ．

(1)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{B}={105}^\circ$，$\angle \mathrm{C}={30}^\circ$，$\mathrm{BC}=6$であるとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径は$[1]$であり，辺$\mathrm{AC}$の長さは$[2]$である．
(2)次の不等式をみたす$x$の値の範囲は，$[3]<x<[4]$である．
\[ \log_2(3x-1)+\log_2(4x+5)<\log_4(7x-1)^2 \]
(3)$3$次方程式$x^3+(2a-1)x^2+(5a+8)x-7a-8=0$は解$x=1$をもつという．この方程式が$3$重解をもつのは，$a=[5]$のときであり，ちょうど$2$つの異なる実数解をもつのは$a=[6]$のときである．
(4)$y=|x^2-4|$のグラフと直線$y=x+k$の共有点の個数が$3$個であるとき，$k$の値は$[7]$または$[8]$である．
(5)$2,\ 2,\ 2,\ 3,\ 3,\ 4,\ 4$の数が$1$つずつ書かれた$7$枚のカードが箱の中に入っており，箱から同時にカードを$3$枚取り出すという試行を行う．取り出したカードに書いてある数の合計を得点とするとき，得点が$8$点の確率は$[9]$である．また，$1$回の試行における得点の期待値は$[10]$である．

図のように，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円$C$上に$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$がある．点$\mathrm{A}$は第$3$象限にあり，点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$は$y$軸に関して対称である．また，$\angle \mathrm{AOB}=60^\circ$である．
（図は省略）

(1)点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$の座標を求めなさい．
(2)点$\mathrm{A}$における円$C$の接線$\ell$の方程式を求めなさい．
(3)点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$を通る放物線のうち，点$\mathrm{A}$における接線が$\ell$と一致するようなものの方程式を求めなさい．

$xy$平面上に，$2$点$\mathrm{A}(1,\ 0)$，$\mathrm{B}(5,\ 0)$，円$C:x^2+lx+y^2+my+n=0$（$l,\ m,\ n$は実数）があり，$C$が$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通るとき，次の問に答えよ．

(1)$m$がすべての実数値をとるとき，$C$の中心の軌跡を求めよ．
(2)$m$がすべての実数値をとるとき，$C$の半径の最小値を求めよ．
(3)$C$が$y$軸と接するとき，$C$の方程式を求めよ．

$xy$平面上に，$2$点$\mathrm{A}(1,\ 0)$，$\mathrm{B}(5,\ 0)$，円$C:x^2+lx+y^2+my+n=0$（$l,\ m,\ n$は実数）があり，$C$が$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通るとき，次の問に答えよ．

(1)$m$がすべての実数値をとるとき，$C$の中心の軌跡を求めよ．
(2)$m$がすべての実数値をとるとき，$C$の半径の最小値を求めよ．
(3)$C$が$y$軸と接するとき，$C$の方程式を求めよ．

空欄$[オ]$，$[カ]$，$[キ]$に当てはまるものを解答群の中から選び，それ以外の空欄には，当てはまる$0$から$9$までの数字を入れよ．

座標平面上に$3$つの放物線$C_1:y=x^2$，$C_2:y=-x^2-8x-8$，$C_3:y=-x^2+ax+b$がある．$C_1$と$C_3$は$t>0$の範囲にただ$1$つの共有点$(t,\ t^2)$を持ち，直線$\ell$は点$\mathrm{P}$で$C_2$に接し，なおかつ点$\mathrm{Q}$で$C_3$に接しているとする．次の問に答えよ．

(1)$C_1$と$C_2$の共有点は$\displaystyle \left( -[ア],\ [イ] \right)$である．また，$C_1$と$C_3$もただ$1$つの共有点を持つことから$a=[ウ]t$，$b=-[エ]t^2$である．
(2)点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の$x$座標をそれぞれ$\alpha$，$\beta$とする．$\ell$は点$\mathrm{P}$における$C_2$の接線および点$\mathrm{Q}$における$C_3$の接線に等しい．これら$2$つの接線の傾きおよび$y$軸との交点がともに等しいことから
\[ \beta-\alpha=[オ],\quad \beta^2-\alpha^2=[カ] \]
が成り立つ．したがって，$\beta+\alpha=[キ]$である．これより，直線$\ell$の方程式は
\[ y=\left( t-[ク] \right) x+\frac{t^2+[ケコ]t+[サ]}{[シ]} \]
である．
(3)$C_3$と$x$軸によって囲まれる部分の面積を$S_1$，$C_1$と直線$\ell$によって囲まれる部分の面積を$S_2$とすると，


$\displaystyle S_1=\frac{\sqrt{[ス]}}{[セ]} \cdot [ソ]t^3$

$\displaystyle S_2=\frac{\sqrt{[ス]}}{[セ]} \cdot \left( t+[タ] \right)^3$


である．$S_1-S_2$は$\displaystyle t=\frac{[チ]+[ツ] \sqrt{[テ]}}{[ト]}$のときに最小値をとる．

オ，カ，キの解答群
\[ \begin{array}{lllll}
\nagamarurei t+2 & \nagamaruichi t-2 & \nagamaruni 2t+4 & \nagamarusan t+\sqrt{2} & \nagamarushi t-\sqrt{2} \\
\nagamarugo t^2-2 & \nagamaruroku t^2-4 & \nagamarushichi t^2-8 & \nagamaruhachi 2t^2-4 & \nagamarukyu 2t^2-8
\end{array} \]
（図は省略）

以下の$[か]$から$[こ]$にあてはまるものを答えよ．

$a,\ b$を定数とするとき，$3$次の整式$f(x)=x^3+ax^2+bx-4$は，$x-2$で割ると$-2$余り，$2x-1$で割ると$\displaystyle -\frac{7}{8}$余るという．

(1)$a=[か]$，$b=[き]$である．
(2)方程式$f(x)=0$の解をすべて求めると，$[く]$である．
(3)方程式$f(x)=c$が異なる$3$つの実数解を持つような実数$c$の値の範囲は，$[け]$である．
(4)関数$f(x)$の区間$d \leqq x \leqq d+3$における最大値が$0$であるような実数$d$の値の範囲は，$[こ]$である．