$f(x)=x^3+3x^2+4$とするとき，座標平面上の曲線$y=f(x)$について，次の問に答えよ．

(1)曲線$y=f(x)$の変曲点を求めよ．
(2)点$(t,\ f(t))$における曲線$y=f(x)$の接線の方程式を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$の接線で点$(1,\ a)$を通るものがちょうど$3$本あるような$a$の範囲を求めよ．
(4)曲線$y=f(x)$の接線で点$(1,\ a)$を通るものがちょうど$2$本あるような最小の$a$に対して，$2$本の接線と曲線$y=f(x)$で囲まれる部分の面積を求めよ．

下記の空欄イ～ホにあてはまる数を記入せよ．

(1)方程式$3\cos^3 \theta-5 \cos^2 \theta-4 \cos \theta+4=0$，および不等式$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$をみたす$\theta$に対して，$\cos \theta=[イ]$である．
(2)公差$\displaystyle \frac{1}{5}$，初項$-8$の等差数列$a_1,\ a_2,\ \cdots$を
\[ a_1 \;|\; a_2,\ a_3 \;|\; a_4,\ a_5,\ a_6 \;|\; a_7,\ a_8,\ a_9,\ a_{10} \;|\; \cdots \]
とグループ分けする．第$101$番目のグループに属する数の和は$[ロ]$である．
(3)空間に$3$点$\mathrm{A}(2,\ 2,\ 2)$，$\mathrm{B}(1,\ 2,\ 1)$，$\mathrm{C}(2,\ y,\ 1)$が与えられている．三角形$\mathrm{ABC}$が直角三角形になるのは$y=[ハ]$のときである．

(4)極限$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin (1-\cos x)}{x^2}$の値は$[ニ]$である．

(5)$1$個のさいころを$4$回続けて投げるとき，$3$回以上連続して同じ目が出る確率は$[ホ]$である．

傾き$m$の直線$\ell_1$が放物線$y=x^2$に点$\mathrm{A}$で接している．また，直線$\ell_2$は点$\mathrm{B}$で$y=x^2$に接し，$\ell_1$に直交している．ただし，$m$は正の実数である．

(1)点$\mathrm{B}$の座標を$m$を用いて表せ．また，$\ell_2$の方程式を$m$を用いて表せ．
(2)$\ell_1$と$\ell_2$の交点はある直線上の点である．その直線の方程式を求めよ．
(3)$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を結ぶ直線と$y=x^2$で囲まれた部分の面積を求めよ．

$a,\ b$を実数とする．$2$次方程式$\{1+(a+b)^2\} x^2-2(1-a-b)x+2=0$が重解をもつとき，$3ab-(a^3+b^3)$の値を求めよ．

$f(x)=x^2+4ax-8a+5$とおくとき，$x$の$2$次方程式$f(x)=0$は異なる$2$つの実数解$\alpha,\ \beta$をもつ．ただし，$a$は実数とし，$\alpha>\beta$とする．

(1)$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$\alpha>1$かつ$\beta<1$であるような$a$の値の範囲を求めよ．
(3)$\beta>3$であるような$a$の値の範囲を求めよ．

$a_1=a_2=1$である数列$\{a_n\}$は，すべての自然数$n$に対して$a_n \neq 0$であり，かつ$x$の$2$次方程式$a_nx^2-2a_{n+1}x+5a_{n+2}=0$が重解をもつ．$\displaystyle b_n=\frac{a_{n+1}}{a_n} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)$b_n$と$b_{n+1}$との関係式を求めよ．
(2)数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(3)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$x^2-4x+3<0$を満たすような$x^2-6x+8=0$の解を求めよ．
(2)座標平面上の$2$点$(2,\ 3)$と$(4,\ 2)$を通る直線に垂直に交わり，かつ円$x^2+y^2=5$に接する直線の方程式を求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}:\mathrm{BC}:\mathrm{CA}=2:(1+\sqrt{3}):\sqrt{2}$であるとき，$\angle \mathrm{B}$の大きさを求めよ．また，$\sin A$の値を求めよ．

$f(x)=x^2+4ax-8a+5$とおくとき，$x$の$2$次方程式$f(x)=0$は異なる$2$つの実数解$\alpha,\ \beta$をもつ．ただし，$a$は実数とし，$\alpha>\beta$とする．

(1)$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$\alpha>1$かつ$\beta<1$であるような$a$の値の範囲を求めよ．
(3)$\beta>3$であるような$a$の値の範囲を求めよ．

点$\mathrm{P}$を直線$\ell_1:y=x$上の点とし，$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の座標をそれぞれ$(-1,\ 0)$，$(0,\ 1)$とする．$\mathrm{P}$を通り$\ell_1$に直交する直線を$\ell_2$とする．また，$\ell_2$と$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る直線との交点を$\mathrm{Q}$とする．$\mathrm{P}$の$x$座標を$a$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，$\displaystyle 0<a<\frac{1}{2}$とする．

(1)$\ell_2$の方程式を$a$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{Q}$の座標を$a$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{Q}$から$x$軸に下ろした垂線と$x$軸との交点を$\mathrm{R}$とする．四角形$\mathrm{OPQR}$を$x$軸の周りに$1$回転してできる回転体の体積$V$を$a$を用いて表せ．

傾き$m$の直線$\ell_1$が放物線$y=x^2$に点$\mathrm{A}$で接している．また，直線$\ell_2$は点$\mathrm{B}$で$y=x^2$に接し，$\ell_1$に直交している．ただし，$m$は正の実数である．

(1)点$\mathrm{B}$の座標を$m$を用いて表せ．また，$\ell_2$の方程式を$m$を用いて表せ．
(2)$\ell_1$と$\ell_2$の交点はある直線上の点である．その直線の方程式を求めよ．
(3)$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を結ぶ直線と$y=x^2$で囲まれた部分の面積を求めよ．