$p,\ q$を実数の定数とする．$2$次方程式$x^2+px+q=0$は連続した$2$個の整数を解にもち，$2$次方程式$x^2+qx+p=0$は少なくとも$1$つの正の整数を解にもつ．このような定数$p,\ q$の組は$2$組あり，
\[ (p,\ q) = ([サ],\ [シ]),\ ([ス],\ [セ]) \]
である．ただし，$[サ]<[ス]$を満たすものとする．

$a$を$0$でない実数とする．$2$つの異なる曲線
\[ C_1: y=x^2-2x+5,\quad C_2: y=ax^2+(1-3a)x+\frac{13}{8}\]
は，ある共有点$\mathrm{P}$で共通な接線$\ell$をもつ．さらに，曲線$C_2$上の点$\mathrm{Q}$において$\ell$以外の接線を，$\ell$と点$\mathrm{R}$で直交するように引く．このとき$a$の値は$\displaystyle \frac{[ソ]}{[タ]}$であり，共通接線$\ell$の方程式は$[チ]x-[ツ]y+[テ]=0$である．また，曲線$C_2$は$\triangle \mathrm{PQR}$の面積を$1:[ト]$に分ける．ただし，$[タ]$から$[ト]$はできる限り小さい自然数で答えること．

$xy$-平面上の放物線$y=x^2$を$C$とする．以下の問に答えよ．

(1)$C$上の点$(a,\ a^2)$における$C$の法線の方程式を求めよ．
(2)点$(1,\ 2)$を通る$C$の法線の数を求めよ．
(3)点$\displaystyle (t,\ t+\frac{1}{2})$を通る$C$の法線の数が$2$となるための$t$に対する条件を求めよ．

以下の問に答えよ．

(1)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とする．$\log_{10}(S_n+1)=n$が成り立っているとき，一般項は$a_n=[ア]\cdot[イ]^{n-[ウ]}$となる．
(2)方程式$\log_{x-3}(x^3-8x^2+20x-17)=3$の解は$x=[エ]$である．

次の各問に答えよ．

(1)ある工場の製品が$50$個あり，その中に不良品が$2$個だけ含まれている．このとき次の問いに答えよ．

(2)この$50$個の製品の中から$5$個を同時に取り出したとき，少なくとも$1$個の不良品が含まれる確率は$[ア]$である．
(3)この$50$個の製品の中から同時にいくつかの製品を取り出したとき，$1$個以上の不良品が含まれる確率を$\displaystyle\frac{1}{2}$より大きくなるようにしたい．このときに，取り出す製品の個数は少なくとも$[イ]$個でなければならない．

(4)$x^2+y^2=25$で表される円$A$がある．点$(7,\ 1)$から円$A$に接線を引く．

(5)接線の方程式は，$y=-[ウ]x+[エ]$と$y=[オ]x-[カ]$で表される．$[ウ]$，$[エ]$，$[オ]$，$[カ]$を正の分数で表せ．
(6)上で求めた$2$本の接線に接し，さらに円$A$に接する円は$[キ]$個ある．これらの$[キ]$個の円の半径で，最大の半径は$[ク]$であり，最小の半径は$[ケ]$である．

次の問に答えよ．

(1)$a,\ b$は整数で，$2$次方程式
\[ x^2 + ax + b= 0 \dotnum{A} \]
が異なる$2$つの実数解$\alpha,\ \beta$をもつとする．このとき，$\alpha,\ \beta$はともに整数であるか，ともに無理数であるかのいずれかであることを証明する．以下の問に答え，証明を完成させよ．\\
\quad まず，$b=0$のときは，$x^2+ax=0$であるから\maru{A}は整数解$0,\ -a$をもつ．以下では$ b \neq 0$とする．\\
\quad 解と係数の関係より，$\alpha + \beta = -a,\ \alpha\beta = b$であり，これらは整数である．有理数と無理数の和は有理数でなく，整数と整数以外の有理数の和は整数ではないという事実を用いると，$\alpha,\ \beta$がともに整数以外の有理数であるとして矛盾を導けばよい．\\
\quad そこで，$\alpha,\ \beta$が2以上の整数$p_1,\ p_2$と0でない整数$q_1,\ q_2$を用いて，既約分数
\[ \alpha = \frac{q_1}{p_1},\quad \beta = \frac{q_2}{p_2} \]
で表されると仮定する．ここに，$\displaystyle\frac{q_i}{p_i}\ (i=1,\ 2)$が既約分数であるとは，$p_i$と$|q_i|$の最大公約数が1であることをいう．このとき，
\[ \alpha + \beta = \frac{p_2q_1+p_1q_2}{p_1p_2} \cdots\cdots① \]
\[ \alpha\beta = \frac{q_1q_2}{p_1p_2} \cdots\cdots② \]
である．

(i) $①$において，$\alpha+\beta$が整数であることを用いて，$p_1=p_2$であることを示せ．
(ii) $②$において，$\alpha\beta$が整数であることと問\maru{1}の結果から，既約分数の仮定に矛盾することを示せ．

$(ⅱ)$の結果から，$\alpha,\ \beta$はともに整数であるか，ともに無理数であることが示された．
(2)$c$が自然数のとき，$\sqrt{c}$は自然数であるか無理数であることを証明せよ．

$a>0$とし，$x$-$y$平面上に3点O$(0,\ 0)$，A$(a,\ 0)$，P$(x,\ y)$をとる．$l$を与えられた正定数として，Pが
\[ 2\text{PO}^2 + \text{PA}^2 = 3l^2 \dotnum{*} \]
をみたすとする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)\maru{*}をみたすPの集合が空集合とならないための$a$の条件を求め，そのときのP$(x,\ y)$の軌跡を表す方程式を求めよ．
(2)3点O,\ A,\ Pが一直線上にないようなPが存在するとき，OAを軸として，$\triangle$POAを回転して立体をつくる．この立体の体積が最大になるときのPの$x$座標と最大の体積$V$を，$a$を用いて表せ．
(3)(2)で求めた体積$V$を最大とする$a$の値とそのときの最大の体積を求めよ．

次の各問の$[　]$にあてはまる数を記入せよ．

(1)$z^2 = -2i$のとき，$z$を求めると，
\[ z= [ア]-[イ]i,\ z=-[ウ]+[エ]i \]
である．ただし，$i^2=-1$である．
(2)$2$次方程式$x^2-px+p-1=0$の$2$つの解の比が$1:3$であるとき，
\[ \text{定数}p\text{の値は}[ア],\ \text{または}\frac{[イ]}{[ウ]}\text{である} \]
(3)不等式$\log_{0.5}(5-x)<2\log_{0.5}(x-3)$の解は，
\[ [ア]<x<[イ] \]
である．
(4)放物線$y=ax^2 (a>0)$と直線$y=bx (b>0)$とで囲まれた部分の面積を$S_1$とし，交点をそれぞれ$\mathrm{O}$（原点），$\mathrm{A}$とする．$\mathrm{A}$から$x$軸に垂線$\mathrm{AH}$を下ろし，$\triangle \mathrm{AOH}$の面積を$S_2$とすると，
\[ \frac{S_1}{S_2} = \frac{[ア]}{[イ]} \]
である．
(5)事象$\mathrm{A}$の起こる確率が$\displaystyle\frac{4}{5}$，事象$\mathrm{B}$の起こる確率が$\displaystyle\frac{3}{5}$，事象$\mathrm{A}$と事象$\mathrm{B}$のどちらか一方だけが起こる確率が$\displaystyle\frac{2}{5}$であるとする．このとき，事象$\mathrm{A}$と事象$\mathrm{B}$がともに起こる確率は$\displaystyle\frac{[ア]}{[イ]}$である．
(6)$\triangle \mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{D}$，辺$\mathrm{AC}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{E}$とし，$\mathrm{CD}$と$\mathrm{BE}$との交点を$\mathrm{O}$とするとき，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OD}} = \frac{[ア]}{[イ]}\overrightarrow{\mathrm{CA}} + \frac{[ウ]}{[エ]}\overrightarrow{\mathrm{CB}} \]
である．

放物線$y=x^2-4x-6$を$C_1$とし，$C_1$を$x,\ y$軸方向にそれぞれ$3,\ -9$だけ平行移動して得られる放物線を$C_2$とする．

(1)放物線$C_2$の方程式は$y=x^2-[サシ]x+[ス]$である．
(2)放物線$C_2$の頂点の座標は$([セ],\ [ソタチ])$である．
(3)放物線$C_1$と$C_2$の両方の頂点を通る直線の方程式は
\[ y=[ツテ]x-[ト] \]
である．

次の問いに答えよ．

(1)$x=\sqrt{3}+\sqrt{2}$のとき，$\displaystyle x+\frac{1}{x}=[ア] \sqrt{[イ]}$，$\displaystyle x^3+\frac{1}{x^3}=[ウエ] \sqrt{[オ]}$である．
(2)$(2a+1)(2a-1)(a^2-a+4)$の展開式における$a^2$の項の係数は$[カキ]$である．
(3)整式$A=x^2-2xy+3y^2$，$B=2x^2+3y^2$，$C=x^2-2xy$について
\[ 2(A-B)-\{C-(3A-B)\}=[クケ]x^2-[コ]xy+[サ]y^2 \]
である．
(4)方程式$x^2+3kx+k^2+5k=0$が重解をもつような定数$k$の値は$[シ]$，$[ス]$である．ただし，$[シ]<[ス]$とする．また，$k=[ス]$のとき，この方程式の重解は$x=[セソ]$である．
(5)$2$次関数$y=2x^2-2mx-m^2+9$のグラフが$x$軸の正の部分と異なる$2$点で交わるような定数$m$の値の範囲は$\sqrt{[タ]}<m<[チ]$である．
(6)$\displaystyle \tan \theta=-\frac{\sqrt{5}}{2}$のとき，$\displaystyle \sin \theta=\frac{\sqrt{5}}{[ツ]}$，$\displaystyle \cos \theta=\frac{[テト]}{[ナ]}$である．ただし，$0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ$とする．
(7)数字$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4$を使い$4$桁の整数を作る．このとき，$4$桁の整数は全部で$[アイ]$個あり，このうち$2$の倍数は$[ウエ]$個ある．ただし，同じ数字を重複して使わないこととする．
(8)大小$2$個のさいころを同時に投げ，大きいさいころの出た目を$X$，小さいさいころの出た目を$Y$とする．このとき，$X+Y=8$となる確率は$\displaystyle \frac{[オ]}{[カキ]}$であり，$2X-Y=4$となる確率は$\displaystyle \frac{[ク]}{[ケコ]}$である．