次の各問に答えよ．

(1)方程式$(\sqrt{2}+1)^x+(\sqrt{2}-1)^x=6$について，(A)，(B)に答えよ．

\mon[(A)] $(\sqrt{2}+1)^x=\alpha,\ (\sqrt{2}-1)^x=\beta$とするとき，$\alpha\beta$の値を求めよ．
\mon[(B)] 方程式の解のうち最大のものを$m$とするとき，$m$の値を求めよ．

(2)$t>0$を満たすすべての$t$について，不等式
\[ (\log_2t)^2-b \log_2t+2>0 \]
が成り立つ$b$の範囲を求めよ．

2次関数$y=x^2-4x+7,\ y=-x^2-3$で与えられる放物線をそれぞれ$C_1,\ C_2$とする．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)放物線$C_1,\ C_2$のどちらにも接する2本の直線の方程式を求めなさい．
(2)放物線$C_1$と(1)で求めた2直線で囲まれる部分の面積を求めなさい．

次の方程式で表される曲線$C$を考える．
\[ C:|x-100|=y |y-3|e^y \]

(1)曲線$C$の概形を描け．
(2)曲線$C$で囲まれる部分の面積を求めよ．

Oを原点とする座標平面上に，方程式$x^2+4y^2=4$で表される楕円$E$がある．楕円$E$の外部の点P$(p,\ q)$から$E$に引いた2本の接線を$\ell_1,\ \ell_2$とする．

(1)$p \neq \pm 2$のとき，$\ell_1,\ \ell_2$の傾きをそれぞれ$k_1,\ k_2$とする．$k_1,\ k_2$の和と積を$p,\ q$を用いて表せ．
(2)$\ell_1$と$\ell_2$が垂直となるような点Pの軌跡を求めよ．
(3)長方形ABCDの各辺が楕円$E$に接するとき，OAとABのなす角を$\theta$とする．長方形ABCDの面積を$\theta$を用いて表せ．
(4)(3)の長方形ABCDの面積の最大値と最小値を求めよ．

次の方程式で表される曲線$C$を考える．
\[ C:|x-100|=y |y-3|e^y \]

(1)曲線$C$の概形を描け．
(2)曲線$C$で囲まれる部分の面積を求めよ．

曲線$C$は極方程式$r=2 \cos \theta$で定義されているとする．このとき，次の各問いに答えよ．

(1)曲線$C$を直交座標$(x,\ y)$に関する方程式で表し，さらに図示せよ．
(2)点$(-1,\ 0)$を通る傾き$k$の直線を考える．この直線が曲線$C$と$2$点で交わるような$k$の値の範囲を求めよ．
(3)(2)のもとで，$2$交点の中点の軌跡を求めよ．

$x$の$2$次関数$f(x)$が条件$f(0)=3$，$f^\prime(0)=-2$，$f^\prime(3)=4$を満たすとする．

(1)$f(x)$を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$に点$\displaystyle \left( \frac{3}{2},\ 0 \right)$から$2$本の接線を引いたとき，それぞれについて接線の方程式および接点の座標を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$および$(2)$で求めた$2$本の接線で囲まれた部分の面積を求めよ．

実数$a$に対して$2$次方程式
\[ x^2-5x+6-a=0 \]
を考える．また，この$2$次方程式が整数解を持つような$a$を小さい順に並べたものを$a_1,\ a_2,\ a_3,\ \cdots$とする．以下の問いに答えなさい．

(1)この2次方程式が実数解を持つような$a$の範囲を求めなさい．
(2)$a_1$と$a_2$を求めなさい．
(3)$a_n$を$n$の式で表しなさい．
(4)$S_n=a_1+a_2+\cdots +a_n$とおく．$S_n$を$n$の式で表しなさい．

関数$f(x)=4^x+4^{-x}-2^{2+x}-2^{2-x}+2$について，次の問いに答えよ．

(1)$t=2^x+2^{-x}$とおいて，$f(x)$を$t$で表せ．
(2)$t$の値の範囲を求めよ．
(3)関数$f(x)$の最小値とそのときの$x$の値を求めよ．
(4)方程式$f(x)=0$を解け．

方程式$x^2+y^2-2x+6y-6=0$で表される図形を$C$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)図形$C$を図示せよ．
(2)直線$2x+3y=k$が，図形$C$を2等分するような定数$k$の値を求めよ．
(3)図形$C$と直線$2x+3y=k$が異なる共有点を2個もつような定数$k$の値の範囲を求めよ．
(4)図形$C$に接し，傾きが$\displaystyle -\frac{2}{3}$である直線の方程式を求めよ．