座標平面において，2点A$(1,\ 0)$，B$(2,\ 0)$を原点のまわりに$\theta$だけ回転した点をそれぞれC，Dとおく，ただし，$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．点Cを通り直線CDと垂直に交わる直線を$\ell$とし，点Dを通り直線CDと垂直に交わる直線を$m$とする．また，直線$\ell$と直線$m$によりはさまれた領域を$S$とし，不等式$0 \leqq y \leqq x$の表す領域を$T$とする．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)直線$\ell,\ m$の方程式を求めなさい．
(2)$\theta$が$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，領域$S$と領域$T$の共通部分の面積を最小にする$\theta$の値を求めなさい．

$a$を定数とし，行列$A=\biggl( \begin{array}{cc}
a & 1 \\
1 & -a
\end{array} \biggr)$で表される1次変換を$f$とする．直線$\ell_1:x=-1$と円$C_1:(x-1)^2+(y-1)^2=1$を考える．$\ell_1$上の各点は$f$で直線$\ell_2$上に移り，$C_2$上の各点は$f$で2次曲線$C_2$上に移るとする．

(1)$\ell_2$の方程式を求めよ．
(2)$C_2$の方程式を求めよ．
(3)$C_1$と$C_2$の共有点がただ1点であるとき，$a$の値と共有点の座標を求めよ．

曲線$C:y=2x^2-2x$の原点における接線を$\ell$とする．直線$\ell$，直線$x=1$および曲線$C$で囲まれる領域を$D$とする．

(1)直線$\ell$の方程式を求めなさい．
(2)領域$D$と不等式$x+y \leqq 0$の表す領域$E$との共通部分の面積を求めなさい．

$a,\ b,\ c$は実数とし，
\[ f(x) = x^4+bx^2+cx+2 \]
とおく．さらに$4$次方程式$f(x)=0$は異なる$2$つの実数解$\alpha,\ \beta$と$2$つの虚数解をもち，
\[ \alpha+\beta=-(a+1),\quad \alpha\beta=\frac{1}{a} \]
を満たすと仮定する．

(1)$b,\ c$を$a$を用いて表せ．
(2)$a$のとり得る値の範囲を求めよ．
(3)$b$のとり得る値の範囲を求めよ．

曲線$C:y=2x^2-2x$の原点における接線を$\ell$とする．直線$\ell$，直線$x=1$および曲線$C$で囲まれる領域を$D$とする．

(1)直線$\ell$の方程式を求めなさい．
(2)領域$D$と不等式$x+y \leqq 0$の表す領域$E$との共通部分の面積を求めなさい．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}-1}$の整数部分を$a$，小数部分を$b$とする．このとき，$a^2+ab+b^2$と$\displaystyle \frac{1}{a-b-1}-\frac{1}{a+b+1}$の値を求めよ．
(2)$3$次方程式$x^3+ax^2+bx-14=0$の$1$つの解が$2+\sqrt{3}i$であるとき，実数の定数$a,\ b$の値を求めよ．
(3)次の方程式を解け．
\[ \log_5(1-4 \cdot 5^x)=2x+1 \]

放物線$y=x^2+4x$を$C$とする．$C$上の$x$座標が$p$である点における接線を$\ell$とする．ただし，$p$は正の定数とする．以下の問に答えよ．

(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)接線$\ell$と$y$軸との交点を通る$C$の接線を$m$とする．ただし，$m$と$\ell$は異なるとする．$m$の方程式を求めよ．
(3)放物線$C$と接線$\ell$および$y$軸とで囲まれた部分の面積を$S$とし，放物線$C$と接線$m$および$y$軸とで囲まれた部分の面積を$T$とする．$\displaystyle \frac{T}{S}$の値は$p$によらず一定となることを示せ．

以下の問いに答えなさい．

(1)点Oを頂点とし，1辺の長さ1の正方形ABCDを底面とする四角錐O-ABCDが，$\text{OA}=\text{OB}=\text{OC}=\text{OD}=1$を満たしているとする．辺OAを$2:1$に内分する点をP，辺OCを$t:1-t$に内分する点をQとする．線分BPと線分BQのなす角が$\displaystyle \frac{\pi}{3}$になるときの$t$の値を求めなさい．
(2)点Pが放物線$y=x^2$上を動くき，定点A$(1,\ a)$と点Pとを結ぶ線分APを$1:2$に内分する点Qの軌跡の方程式を$a$を用いて書きなさい．
(3)$\displaystyle \frac{d}{dx} \int_0^{\sin 3x} e^{2t} \, dt$を求めなさい．

関数$f(x)$は$f(0)=b$をみたし，その導関数は
\[ f^\prime(x)=(x-1)(x-a) \]
であるとする．ただし，$a$と$b$は定数である．このとき，次の問いに答えよ．

(1)曲線$y=f(x)$上の点$(0,\ b)$における接線の方程式を求めよ．
(2)$f(x)$を$x$の整式で表せ．
(3)$f(x)$の極大値が$40$，極小値が$4$であるとき，定数$a$と$b$の値を求めよ．

$xy$平面上の曲線$C:y=\log x$に対して，以下の問いに答えよ．ただし，$\log x$は$e$を底とする自然対数とする．

(1)曲線$C$上の点$\mathrm{P}(t,\ \log t)$における$C$の接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)接線$\ell$と$x$軸の交点$\mathrm{Q}$の$x$座標を$x_0$とする．$x_0$を$t$を用いて表せ．
(3)$t>1$のとき，曲線$C$と$x$軸および直線$x=t$とで囲まれる部分の面積を$S(t)$とする．$S(t)$を$t$を用いて表せ．
(4)$t>1$のとき，曲線$C$と$x$軸および接線$\ell$とで囲まれる部分の面積を$T(t)$とする．$T(t)$を$t$を用いて表せ．
(5)$1<t \leqq e^3$の範囲において，$f(t)=T(t)-S(t)$とおく．このとき，関数$f(t)$の増減を調べ，$f(t)$の最大値および最小値を求めよ．ただし，$2<e<3$であることは既知としてよい．