$x$を未知数とする$3$次方程式
\[ x^3+(2t-2)x^2+(t^3-3t +2)x+1 = 0 \]
の$3$つの解を$\alpha,\ \beta,\ \gamma$とする．$t > 0$ならば，$\alpha^2+\beta^2+\gamma^2 \leqq 0$であることを示しなさい．

$f(x) = x^3-3x^2 +x$とし，方程式$y = f(x)$が定める曲線を$K$とする．

(1)直線$y = 2x-3$と曲線$K$の$3$つの交点の座標を求めよ．
(2)$(1)$で求めた$3$つの交点を$\mathrm{A}(a,\ f(a))$，$\mathrm{B}(b,\ f(b))$，$\mathrm{C}(c,\ f(c)) (a < b < c)$とし，曲線$K$上に点$\mathrm{P}(p,\ f(p))$をとる．$p$が$b < p < c$を満たすとき，三角形$\mathrm{BPC}$の面積$S$を$p$を用いて表せ．
(3)$(2)$で求めた面積$S$の最大値とそのときの$p$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)関数$y=|x^2-2x-3|$のグラフをかけ．
(2)$a$を実数とする．このとき，方程式$|\abs{x^2-2x-3|-a}=2$の実数解の個数を求めよ．

$\displaystyle f(x) = x^3+x^2+7x+3,\ g(x) = \frac{x^3-3x+2}{x^2+1}$とする．次の問いに答えよ．

(1)方程式$f(x)=0$はただ1つの実数解をもち，その実数解$\alpha$は$-2<\alpha<0$をみたすことを示せ．
(2)曲線$y=g(x)$の漸近線を求めよ．
(3)$\alpha$を用いて関数$y=g(x)$の増減を調べ，そのグラフをかけ．ただし，グラフの凹凸を調べる必要はない．

$\displaystyle f(x) = x^3+x^2+7x+3,\ g(x) = \frac{x^3-3x+2}{x^2+1}$とする．次の問いに答えよ．

(1)方程式$f(x)=0$はただ1つの実数解をもち，その実数解$\alpha$は$-2<\alpha<0$をみたすことを示せ．
(2)曲線$y=g(x)$の漸近線を求めよ．
(3)$\alpha$を用いて関数$y=g(x)$の増減を調べ，そのグラフをかけ．ただし，グラフの凹凸を調べる必要はない．

実数を成分とする行列$A=\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \biggr)$を考える．座標平面上の2点P$(x,\ y)$，Q$(u,\ v)$について等式
\[ \biggl( \begin{array}{c}
u \\
v
\end{array} \biggr) = A \biggl( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \biggr) \]
が成り立つとき，行列$A$により点Pは点Qに移るという． \\
\quad 点$(1,\ 3)$は行列$A$により点$(10,\ 10)$に移り，さらに等式
\[ A^2-7A+10E=O \]
が成り立つものとする．ただし，$E=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \biggr),\ O=\biggl( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \biggr)$である．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)行列$A$により点$(10,\ 10)$が移る点の座標を求めよ．
(2)実数$a,\ b,\ c,\ d$の値を求めよ．
(3)次の条件$(*)$を満たす直線$\ell$の方程式を求めよ． \\
$(*)$ \ 直線$\ell$上のすべての点が行列$A$により$\ell$上の点に移る．

次のふたつの方程式を考える．
\begin{eqnarray}
& & x^2+y^2=z^2 \qquad \cdots\cdots ① \nonumber \\
& & s^2+t^2=u^2+1 \cdots\cdots ② \nonumber
\end{eqnarray}

(1)実数$a,\ b$に対し実数$a^{*},\ b^{*}$を$a^{*}=a+b,\ b^{*}=2a+b+1$で定める．$(x,\ y,\ z)=(a,\ a+1,\ b)$が$①$の解ならば$(s,\ t,\ u)=(a^{*},\ a^{*}+1,\ b^{*})$は$②$の解であることを示せ．また，逆に$(s,\ t,\ u)=(a,\ a+1,\ b)$が$②$の解ならば$(x,\ y,\ z)=(a^{*},\ a^{*}+1,\ b^{*})$は$①$の解であることを示せ．
(2)方程式$①$の自然数解$(x,\ y,\ z)$をピタゴラス数という．$y=x+1$を満たすピタゴラス数を3組あげよ．

$a,\ b$は実数で$a<b$をみたすものとする．$f(x)=2x^3-3(a+b)x^2+6abx$とする．以下の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)$の極大値と極小値を求めよ．
(2)$x$についての3次方程式$f(x)=0$が異なる3つの実数解をもつとき$a,\ b$のとり得る値の範囲を求め，$ab$平面上に図示せよ．

$a$を実数とする．$2$次方程式$x^2+2ax+(a-1)=0$の解を$\alpha,\ \beta$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\alpha$と$\beta$は異なる実数であることを示せ．
(2)$\alpha$と$\beta$のうち，少なくとも$1$つは負であることを示せ．
(3)$\alpha \leqq 0,\ \beta \leqq 0$であるとき，$\alpha^2+\beta^2$の最小値を求めよ．

$2$つの放物線$C_0:y=-x^2$と$C_1:y=(x-1)^2$について，次の問いに答えよ．

(1)$C_0$上の点$(a,\ -a^2)$における接線の方程式を求めよ．
(2)$C_1$上に点$\mathrm{P}(p,\ (p-1)^2)$を任意にとるとき，点$\mathrm{P}$を通り$C_0$に接する直線は$2$本あることを示せ．
(3)(2)の$2$本の直線が$C_0$と接する点を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とし，$2$直線$\mathrm{AP}$，$\mathrm{BP}$及び放物線$C_0$で囲まれた部分の面積を$S$とするとき，$S^2$が最小となる$p$の値と，そのときの$S^2$の値を求めよ．