「方程式」について
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国立 名古屋大学 2011年 第1問次の問いに答えよ．
(1)関数$y=x^3-x^2$のグラフをかけ．
(2)曲線$y=x^3-x^2$の接線で，点$\left(\displaystyle \frac{3}{2},\ 0 \right)$を通るものをすべて求めよ．
(3)$p$を定数とする．$x$の$3$次方程式$\displaystyle y=x^3-x^2=p\left(x-\frac{3}{2}\right)$の異なる実数解の個数を求めよ．
(1)関数$y=x^3-x^2$のグラフをかけ．
(2)曲線$y=x^3-x^2$の接線で，点$\left(\displaystyle \frac{3}{2},\ 0 \right)$を通るものをすべて求めよ．
(3)$p$を定数とする．$x$の$3$次方程式$\displaystyle y=x^3-x^2=p\left(x-\frac{3}{2}\right)$の異なる実数解の個数を求めよ．
国立 静岡大学 2011年 第3問座標平面上に点P$(0,\ 0)$，M$(\sqrt{3},\ 1)$をとる．点Mを中心とし，$x$軸に接するように円を描き，接点をAとおく．Pより円にもう1本の接線を引き接点をBとする．円に2線分PAとPBをつけ加えた図形を$x$軸に接したまますべることなく$x$軸の正の方向にころがし，線分PBが$x$軸に重なるまで移動させる．次の問いに答えよ．
(1)移動中の円の中心の座標を$(\sqrt{3}+t,\ 1)$とする．$t$の取りうる値の範囲を求めよ．
(2)点Pの軌跡を$C$とする．曲線$C$の接線$\ell$の傾きが$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$のとき，直線$\ell$の方程式を求めよ．
(3)曲線$C$と(2)で求めた接線$\ell$および$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．
(1)移動中の円の中心の座標を$(\sqrt{3}+t,\ 1)$とする．$t$の取りうる値の範囲を求めよ．
(2)点Pの軌跡を$C$とする．曲線$C$の接線$\ell$の傾きが$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$のとき，直線$\ell$の方程式を求めよ．
(3)曲線$C$と(2)で求めた接線$\ell$および$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．
国立 広島大学 2011年 第3問放物線$\displaystyle F:y=\frac{1}{2}(x+1)^2$上の点A$\displaystyle \left( 0,\ \frac{1}{2} \right)$を通り，Aにおける$F$の接線に垂直な直線を$\ell$とし，$\ell$と放物線$F$との交点のうち点Aと異なる方をB$\displaystyle \left( b,\ \frac{1}{2}(b+1)^2 \right)$とする．次の問いに答えよ．
(1)直線$\ell$の方程式と$b$の値を求めよ．
(2)放物線$F$と直線$\ell$で囲まれた部分の面積$T_1$を求めよ．
(3)線分ABを直径とする円を$C$とする．このとき，不等式$\displaystyle y \leqq \frac{1}{2}(x+1)^2$の表す領域で円$C$の内部にある部分の面積$T_2$を求めよ．
(1)直線$\ell$の方程式と$b$の値を求めよ．
(2)放物線$F$と直線$\ell$で囲まれた部分の面積$T_1$を求めよ．
(3)線分ABを直径とする円を$C$とする．このとき，不等式$\displaystyle y \leqq \frac{1}{2}(x+1)^2$の表す領域で円$C$の内部にある部分の面積$T_2$を求めよ．
国立 岩手大学 2011年 第1問$x$の関数
\[ f(x) = \int_{-2}^x (3t^2-6t-9) \, dt \]
について，以下の問いに答えよ．
(1)積分を計算し，$f(x)$を求めよ．
(2)$f(-2)$の値を求めよ．
(3)方程式$f(x) = 0$の解をすべて求めよ．
(4)関数$f(x)$の極大値および極小値を求めよ．
(5)座標平面上の2点$(0,\ f(0)),\ (3,\ f(3))$を通る直線の方程式を求めよ．
(6)$y = f(x)$のグラフの接線のうち，(5)で求めた直線と傾きが等しいものをすべて求めよ．
\[ f(x) = \int_{-2}^x (3t^2-6t-9) \, dt \]
について，以下の問いに答えよ．
(1)積分を計算し，$f(x)$を求めよ．
(2)$f(-2)$の値を求めよ．
(3)方程式$f(x) = 0$の解をすべて求めよ．
(4)関数$f(x)$の極大値および極小値を求めよ．
(5)座標平面上の2点$(0,\ f(0)),\ (3,\ f(3))$を通る直線の方程式を求めよ．
(6)$y = f(x)$のグラフの接線のうち，(5)で求めた直線と傾きが等しいものをすべて求めよ．
国立 弘前大学 2011年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$0 \leqq \theta < 2\pi$のとき，方程式
\[ 2 \sin 2\theta = \tan \theta + \frac{1}{\cos \theta} \]
を解け．
(2)正四面体ABCDにおいて，$\overrightarrow{\mathrm{AB}} = \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{\mathrm{AC}} = \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{\mathrm{AD}} = \overrightarrow{d}$とし，辺AB，AC，CD，BDの中点をそれぞれP，Q，R，Sとする．このとき4点P，Q，R，Sは同一平面上にあることを示し，さらに四角形PQRSは正方形になることを示せ．
(1)$0 \leqq \theta < 2\pi$のとき，方程式
\[ 2 \sin 2\theta = \tan \theta + \frac{1}{\cos \theta} \]
を解け．
(2)正四面体ABCDにおいて，$\overrightarrow{\mathrm{AB}} = \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{\mathrm{AC}} = \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{\mathrm{AD}} = \overrightarrow{d}$とし，辺AB，AC，CD，BDの中点をそれぞれP，Q，R，Sとする．このとき4点P，Q，R，Sは同一平面上にあることを示し，さらに四角形PQRSは正方形になることを示せ．
国立 金沢大学 2011年 第2問実数$x$に対して，関数$f(x)$を
\[ f(x)=\int_0^2 |t-x| \, dt \]
とおく．次の問いに答えよ．
(1)関数$y=f(x)$を求め，そのグラフをかけ．
(2)$y=f(x)$の接線で傾きが1のものを$\ell$とする．$\ell$の方程式を求めよ．
(3)直線$x=-1$，接線$\ell$，曲線$y=f(x)$で囲まれた図形の面積を求めよ．
\[ f(x)=\int_0^2 |t-x| \, dt \]
とおく．次の問いに答えよ．
(1)関数$y=f(x)$を求め，そのグラフをかけ．
(2)$y=f(x)$の接線で傾きが1のものを$\ell$とする．$\ell$の方程式を求めよ．
(3)直線$x=-1$，接線$\ell$，曲線$y=f(x)$で囲まれた図形の面積を求めよ．
国立 金沢大学 2011年 第3問座標平面上に$\mathrm{A}(p,\ q)$，$\mathrm{B}(-q,\ p)$，$\mathrm{C}(-p,\ -q)$，$\mathrm{D}(q,\ -p)$を頂点とする正方形がある．ただし，$p>0,\ q>0,\ p^2+q^2=1$とする．また，直線$\mathrm{AB}$，$\mathrm{AD}$が直線$x+y=1$と交わる点をそれぞれ$\mathrm{E}(r,\ s)$，$\mathrm{F}(t,\ u)$とする．次の問いに答えよ．
(1)直線$\mathrm{AB}$，$\mathrm{AD}$の方程式を$p,\ q$を用いて表せ．
(2)$r,\ s,\ t,\ u$を$p,\ q$を用いて表せ．
(3)$k= p+ q$とおくとき，$pq$を$k$の式で表せ．また，$k \leqq \sqrt{2}$を示せ．
(4)$st- ru$を$k$の式で表せ．また，$st -ru$の最小値を求めよ．
（図は省略）
(1)直線$\mathrm{AB}$，$\mathrm{AD}$の方程式を$p,\ q$を用いて表せ．
(2)$r,\ s,\ t,\ u$を$p,\ q$を用いて表せ．
(3)$k= p+ q$とおくとき，$pq$を$k$の式で表せ．また，$k \leqq \sqrt{2}$を示せ．
(4)$st- ru$を$k$の式で表せ．また，$st -ru$の最小値を求めよ．
（図は省略）
国立 東京工業大学 2011年 第1問$n$を自然数とする．$xy$平面上で行列$\left( \begin{array}{cc}
1-n & 1 \\
-n(n+1) & n+2
\end{array} \right)$の表す1次変換(移動ともいう)を$f_n$とする．以下の問に答えよ．
(1)原点O$(0,\ 0)$を通る直線で，その直線上のすべての点が$f_n$により同じ直線上に移されるものが2本あることを示し，この2直線の方程式を求めよ．
(2)(1)で得られた2直線と曲線$y = x^2$によって囲まれる図形の面積$S_n$を求めよ．
(3)$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{S_n-\frac{1}{6}}$を求めよ．
1-n & 1 \\
-n(n+1) & n+2
\end{array} \right)$の表す1次変換(移動ともいう)を$f_n$とする．以下の問に答えよ．
(1)原点O$(0,\ 0)$を通る直線で，その直線上のすべての点が$f_n$により同じ直線上に移されるものが2本あることを示し，この2直線の方程式を求めよ．
(2)(1)で得られた2直線と曲線$y = x^2$によって囲まれる図形の面積$S_n$を求めよ．
(3)$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{S_n-\frac{1}{6}}$を求めよ．
国立 横浜国立大学 2011年 第5問$xy$平面上に直線$\ell$がある．行列$A=\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \biggr)$の表す1次変換$f$は，次の(i)，(ii)，(iii)を満たす．
\mon[(i)] 平面の点の$f$による像はすべて$\ell$上にある．
\mon[(ii)] $f$は$\ell$の点をすべて原点に移す．
\mon[(iii)] 点Pが円$x^2-2x+y^2-2y+1=0$上を動くとき，$f$によるPの像の$x$座標は最大値$1+\sqrt{5}$，最小値$1-\sqrt{5}$をとる．
次の問いに答えよ．
(1)$A$を求めよ．また$\ell$の方程式を求めよ．
(2)(iii)で最大値$1+\sqrt{5}$をとるときのPの座標を求めよ．
a & b \\
c & d
\end{array} \biggr)$の表す1次変換$f$は，次の(i)，(ii)，(iii)を満たす．
\mon[(i)] 平面の点の$f$による像はすべて$\ell$上にある．
\mon[(ii)] $f$は$\ell$の点をすべて原点に移す．
\mon[(iii)] 点Pが円$x^2-2x+y^2-2y+1=0$上を動くとき，$f$によるPの像の$x$座標は最大値$1+\sqrt{5}$，最小値$1-\sqrt{5}$をとる．
次の問いに答えよ．
(1)$A$を求めよ．また$\ell$の方程式を求めよ．
(2)(iii)で最大値$1+\sqrt{5}$をとるときのPの座標を求めよ．
国立 筑波大学 2011年 第1問Oを原点とする$xy$平面において，直線$y = 1$の$| \, x \, | \geqq 1$を満たす部分を$C$とする．
(1)$C$上に点A$(t,\ 1)$をとるとき，線分OAの垂直二等分線の方程式を求めよ．
(2)点Aが$C$全体を動くとき，線分OAの垂直二等分線が通過する範囲を求め，それを図示せよ．
(1)$C$上に点A$(t,\ 1)$をとるとき，線分OAの垂直二等分線の方程式を求めよ．
(2)点Aが$C$全体を動くとき，線分OAの垂直二等分線が通過する範囲を求め，それを図示せよ．