座標平面において，原点$\mathrm{O}$を中心とし半径が$1$の円$C$を考える．円$C$上に，点$\mathrm{P} \displaystyle \left( -\frac{1}{2},\ \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$，点$\mathrm{Q}(0,\ 1)$，点$\mathrm{R} \displaystyle \left( \frac{1}{2},\ \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$をとる．以下の問いに答えよ．

(1)$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$を通る放物線の方程式を求めよ．
(2)(1)で求めた放物線と，線分$\mathrm{OP}$，線分$\mathrm{OR}$で囲まれた部分の面積を求めよ．
(3)(2)で求めた部分の面積は，点$\mathrm{Q}$が弧の上にある扇形$\mathrm{OPR}$の面積より小さい．このことを用いて，円周率$\pi$に対して$\pi > 3.13$が成り立つことを示せ．ただし，$\sqrt{3}<1.733$であることを用いてよい．

$f(x)=x^3-2x^2-x+1$とする．

(1)方程式$f(x)=0$は$-1<\alpha<0$，$0<\beta<1$，$1<\gamma$をみたす$3$個の実数解$\alpha,\ \beta,\ \gamma$をもつことを示せ．
(2)点$(0,\ 1)$における$y=f(x)$の接線を$\ell$とする．曲線$y=f(x)$と$\ell$とで囲まれた部分の面積を求めよ．

$A,\ B,\ C$を$A>B>C>0$をみたす定数とする．$3$つの$2$次方程式
\[ Ax^2-2Bx+C=0,\quad -2Bx^2+Cx+A=0,\quad Cx^2+Ax-2B=0 \]
が共通の実数解$\gamma$をもつとき，次の問いに答えよ．

(1)$B$を$A$と$C$を用いて表せ．
(2)$Ax^2-2Bx+C=0$の$2$つの解を$\alpha_1,\ \beta_1$とする．$\alpha_1>\beta_1$とするとき，$\alpha_1$の値を求めよ．また，$\beta_1$を$A$と$C$を用いて表せ．
(3)$Cx^2+Ax-2B=0$の$2$つの解を$\alpha_2,\ \beta_2$とする．$\alpha_2>\beta_2$とするとき，$\alpha_2$の値を求めよ．また，$\beta_2$を$A$と$C$を用いて表せ．
(4)$-2Bx^2+Cx+A=0$の$\gamma$と異なる解$\theta$を$A$と$C$を用いて表せ．

放物線$y=x^2$上に$2$点$\mathrm{A}(a,\ a^2)$，$\mathrm{B}(b,\ b^2)$がある．ただし，$a>b$とする．次の問いに答えよ．

(1)$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る直線の方程式を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)直線$\mathrm{AB}$と放物線$y=x^2$で囲まれる領域の面積$S$が$\displaystyle S=\frac{(a-b)^3}{6}$で表されることを示せ．
(3)$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$が$\displaystyle S=\frac{4}{3}$となるように放物線上を動くとき，線分$\mathrm{AB}$の長さの最小値を求めよ．

曲線$C:y=(\log x-2 \log 2) \log x$について次の問いに答えよ．

(1)関数の増減と凹凸を調べ，曲線$C$の概形をかけ．曲線$C$が$x$軸および$y$軸と共有点がある場合にはその点の座標を明記すること．また，極値を表す点や変曲点がある場合にはその座標を明記すること．
(2)変曲点における接線と法線の方程式を求めよ．また，接線と$x$軸との交点$\mathrm{P}$および法線と$x$軸との交点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(3)原点を$\mathrm{O}$とし，変曲点から$x$軸に下ろした垂線が$x$軸と交わる点を$\mathrm{R}$とする．線分$\mathrm{OP}$の長さと線分$\mathrm{QR}$の長さの積を求めよ．
(4)曲線$C$と$x$軸で囲まれる図形の面積を求めよ．

$xy$平面上において，原点$\mathrm{O}$を中心とする正六角形$\mathrm{ABCDEF}$の$3$つの頂点の座標が，$\mathrm{A}(0,\ 2)$，$\mathrm{B}(\sqrt{3},\ 1)$，$\mathrm{C}(\sqrt{3},\ -1)$であるとき，次の問いに答えよ．

(1)辺$\mathrm{CD}$の中点を$\mathrm{L}$，線分$\mathrm{AL}$の中点を$\mathrm{M}$とし，直線$\mathrm{FM}$と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{N}$とする．$\mathrm{FM}:\mathrm{MN}$，$\mathrm{BN}:\mathrm{NC}$の比の値をそれぞれ求めよ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{BP}}+\overrightarrow{\mathrm{FP}}|=|\overrightarrow{\mathrm{BF}}|$を満たす点$\mathrm{P}$の描く図形の方程式を求めよ．
(3)$\mathrm{BF}$上の点$\mathrm{Q}(q,\ 1)$が$-\sqrt{3} \leqq q \leqq \sqrt{3}$を満たす任意の点であるとき，$\triangle \mathrm{QCE}$の垂心$\mathrm{H}$の描く図形の方程式を求めよ．

$a$を定数とし，$f(x)=x^5-5x^3+ax$とする．方程式$f(x)=0$は異なる$5$つの実数解をもち，これらを$x_1<x_2<x_3<x_4<x_5$とする．この$5$つの解は等差数列をなしており，その総和は$0$である．次の問に答えなさい．

(1)$x_3=0$を示せ．
(2)$a$の値を求めよ．
(3)$x_1,\ x_2,\ x_4,\ x_5$を求めよ．

次の空欄$[ア]$から$[カ]$にあてはまる数や式を書きなさい．

$2$つの曲線
\[ C:y=x^3+ax^2 \quad \text{と} \quad D:y=a(x-b)^2 \quad (ab \neq 0) \]
について，点$\mathrm{P}$を$C$と$D$の交点とし，$\mathrm{P}$の$x$座標を$p$とする．
$\mathrm{P}$における$C$の接線の方程式は
\[ y=\left( [ア] \right) x+[イ] \]
で，$\mathrm{P}$における$D$の接線の方程式は
\[ y=\left( [ウ] \right) x+[エ] \]
である．
また，$C$と$D$が$\mathrm{P}$で接するとき，$b,\ p$を$a$を用いて表せば，
\[ b=[オ],\quad p=[カ] \]
となる．

$m_1,\ m_2,\ p$は定数で$m_1<m_2$とする．放物線$C:y=x^2-x$が$2$つの直線$\ell_1:y=m_1x-1$，$\ell_2:y=m_2x-1$に接するとき，次の問いに答えよ．

(1)$m_1,\ m_2$の値を求めよ．
(2)$C$上の点$\mathrm{P}(p,\ p^2-p)$を通る$C$の接線$\ell$の方程式を$y=ax+b (m_1<a<m_2)$とする．$p$を用いて，定数$a,\ b$を表せ．
(3)$\ell$と$\ell_1$の共有点を$\mathrm{A}(x_1,\ y_1)$，$\ell$と$\ell_2$の共有点を$\mathrm{B}(x_2,\ y_2)$とする．線分$\mathrm{AB}$の長さが最小となるときの$p$の値を求めよ．

以下の各問に答えよ．

(1)次の不等式を解け．$2 \log_{\frac{1}{4}} (4x+1) \geqq 1+\log_{\frac{1}{2}} (11-x)$
(2)以下の問に答えよ．

(i) 次の等式を満たす関数$f(x)$を求めよ．$\displaystyle f(x)=x^2-2x+3 \int_0^1 f(t) \, dt$
(ii) $(ⅰ)$で求めた$f(x)$に点$\displaystyle \left( \frac{3}{2},\ -2 \right)$から引いた接線の方程式と，接点の座標を求めよ．
(iii) $(ⅰ)$，$(ⅱ)$で求めた関数$f(x)$と$2$つの接線で囲まれた図形の面積を求めよ．