「方程式」について
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公立 高知工科大学 2012年 第2問$x$の$2$次方程式$x^2-2x-1=0$の解を$\alpha,\ \beta (\alpha < \beta)$とし，正の整数$n$に対して
\[ x_n = \frac{\beta^n - \alpha^n}{2\sqrt{2}} \]
とおく．次の各問に答えよ．
(1)$x_1,\ x_2$を求めよ．
(2)$x_{n+2}=2x_{n+1}+x_n$が成り立つことを証明せよ．
(3)$x_{3n}$は$5$の倍数であることを証明せよ．
\[ x_n = \frac{\beta^n - \alpha^n}{2\sqrt{2}} \]
とおく．次の各問に答えよ．
(1)$x_1,\ x_2$を求めよ．
(2)$x_{n+2}=2x_{n+1}+x_n$が成り立つことを証明せよ．
(3)$x_{3n}$は$5$の倍数であることを証明せよ．
公立 高知工科大学 2012年 第3問関数$\displaystyle f(x)=\frac{x^2-2x-2}{x+1}$について，次の各問に答えよ．
(1)方程式$f(x)=0$を解け．
(2)関数$f(x)$の極大値，極小値およびそのときの$x$の値を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．
(1)方程式$f(x)=0$を解け．
(2)関数$f(x)$の極大値，極小値およびそのときの$x$の値を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．
公立 高知工科大学 2012年 第4問次の各問に答えよ．
(1)$0<x<\pi$において，方程式$\sin x -x \cos x-1=0$はただ1つの実数解$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$をもつことを証明せよ．
(2)関数$\displaystyle f(x)=\frac{x+\cos x}{\sin x}$の$0<x<\pi$における最小値とそのときの$x$の値を求めよ．
(3)$a$を定数とする．方程式$x+\cos x-a \sin x=0$の$0<x<\pi$における異なる実数解の個数を求めよ．
(1)$0<x<\pi$において，方程式$\sin x -x \cos x-1=0$はただ1つの実数解$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$をもつことを証明せよ．
(2)関数$\displaystyle f(x)=\frac{x+\cos x}{\sin x}$の$0<x<\pi$における最小値とそのときの$x$の値を求めよ．
(3)$a$を定数とする．方程式$x+\cos x-a \sin x=0$の$0<x<\pi$における異なる実数解の個数を求めよ．
公立 高知工科大学 2012年 第2問$\mathrm{O}$を原点とする座標空間に$3$点$\mathrm{A}(2,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(-1,\ 1,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 2)$がある．次の各問に答えよ．
(1)四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V$を求めよ．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の面積$S$を求めよ．
(3)$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の定める平面を$\alpha$とおく．原点$\mathrm{O}$を中心とする球面と平面$\alpha$との共有点が$1$点だけのとき，その球面の方程式を求めよ．
(1)四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V$を求めよ．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の面積$S$を求めよ．
(3)$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の定める平面を$\alpha$とおく．原点$\mathrm{O}$を中心とする球面と平面$\alpha$との共有点が$1$点だけのとき，その球面の方程式を求めよ．
公立 高崎経済大学 2012年 第3問以下の各問に答えよ．
(1)$a>0,\ b>0$のとき，不等式$\displaystyle \frac{a+b}{2} \geqq \sqrt{ab}$を証明せよ．また，等号が成り立つのはどのようなときか．
(2)$2\log_{10}u+\log_{10}v=1$とする．$u^3+uv^2$の最小値とそのときの$u,\ v$の値を求めよ．
(3)$\mathrm{O}$を原点とする$xy$平面がある．この平面上に(2)で求めた$u,\ v$からなる点$\mathrm{A}(u,\ v)$をとる．点$\mathrm{A}$を通り，直線$\mathrm{OA}$と$30^\circ$の角をなす直線の方程式をすべて求めよ．
(1)$a>0,\ b>0$のとき，不等式$\displaystyle \frac{a+b}{2} \geqq \sqrt{ab}$を証明せよ．また，等号が成り立つのはどのようなときか．
(2)$2\log_{10}u+\log_{10}v=1$とする．$u^3+uv^2$の最小値とそのときの$u,\ v$の値を求めよ．
(3)$\mathrm{O}$を原点とする$xy$平面がある．この平面上に(2)で求めた$u,\ v$からなる点$\mathrm{A}(u,\ v)$をとる．点$\mathrm{A}$を通り，直線$\mathrm{OA}$と$30^\circ$の角をなす直線の方程式をすべて求めよ．
公立 県立広島大学 2012年 第2問直線$\ell:(1+\sqrt{3})x+(1-\sqrt{3})y=4$が，曲線$C:x^2+y^2=r^2 \ (r>0,\ x \geqq 0)$に接する．次の問いに答えよ．
(1)$r$の値を求めよ．
(2)点A$(a,\ 1)$が直線$\ell$上の点であるとき，$a$の値を求めよ．
(3)(2)で求めた点Aから曲線$C$に引いた$\ell$以外の接線$m$の方程式を求めよ．
(4)曲線$C$と2つの接線$\ell,\ m$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(1)$r$の値を求めよ．
(2)点A$(a,\ 1)$が直線$\ell$上の点であるとき，$a$の値を求めよ．
(3)(2)で求めた点Aから曲線$C$に引いた$\ell$以外の接線$m$の方程式を求めよ．
(4)曲線$C$と2つの接線$\ell,\ m$で囲まれた図形の面積を求めよ．
公立 県立広島大学 2012年 第4問$m$を定数とし，2つの曲線
\[ y=f(x)=-x^2+mx-3,\quad y=g(x)=x^3-x \]
が，点A$(a,\ f(a))$を通り，Aで共通の接線$\ell$をもつ．次の問いに答えよ．
(1)$y=g(x)$のグラフをかけ．
(2)$a,\ m$の値と，接線$\ell$の方程式を求めよ．
(3)積分$\displaystyle \int_0^3 |f(x)| \, dx$の値を求めよ．
\[ y=f(x)=-x^2+mx-3,\quad y=g(x)=x^3-x \]
が，点A$(a,\ f(a))$を通り，Aで共通の接線$\ell$をもつ．次の問いに答えよ．
(1)$y=g(x)$のグラフをかけ．
(2)$a,\ m$の値と，接線$\ell$の方程式を求めよ．
(3)積分$\displaystyle \int_0^3 |f(x)| \, dx$の値を求めよ．
公立 公立はこだて未来大学 2012年 第2問以下の問いに答えよ．
(1)$|x+y+1| \leqq 3$で定まる座標平面の領域を$D$とする．$D$を図示せよ．
(2)方程式$\displaystyle y= \left( -1+\frac{1}{a} \right)x$で与えられる直線$\ell$と，(1)で定めた領域$D$の共通部分として与えられる線分を考える．この線分の長さの最小値を求めよ．また，線分の長さが最小となるときの直線$\ell$は，どのような方程式で与えられるか．ただし，$a$は$0$でない定数とする．
(1)$|x+y+1| \leqq 3$で定まる座標平面の領域を$D$とする．$D$を図示せよ．
(2)方程式$\displaystyle y= \left( -1+\frac{1}{a} \right)x$で与えられる直線$\ell$と，(1)で定めた領域$D$の共通部分として与えられる線分を考える．この線分の長さの最小値を求めよ．また，線分の長さが最小となるときの直線$\ell$は，どのような方程式で与えられるか．ただし，$a$は$0$でない定数とする．
公立 公立はこだて未来大学 2012年 第3問関数$f(x)=x^2-x-2$によって，方程式$y=f(x)$と表される放物線$P$について，以下の問いに答えよ．
(1)放物線$P$上の点$(0,\ -2)$における，放物線$P$の接線の方程式を求めよ．
(2)放物線$P$を，原点に関して対称移動して得られる放物線の方程式を求めよ．
(3)(1)で求めた接線と，(2)で求めた放物線で囲まれた部分の面積を求めよ．
(1)放物線$P$上の点$(0,\ -2)$における，放物線$P$の接線の方程式を求めよ．
(2)放物線$P$を，原点に関して対称移動して得られる放物線の方程式を求めよ．
(3)(1)で求めた接線と，(2)で求めた放物線で囲まれた部分の面積を求めよ．
公立 公立はこだて未来大学 2012年 第5問第$1$象限において，方程式$x^2+y^2=1$で与えられる図形を$C$で表す．方程式$\displaystyle \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$で与えられる直線を$\ell$で表す．ただし，$a$と$b$は正の定数とする．以下の問いに答えよ．
(1)$b<1$のとき，図形$C$と直線$\ell$が共有点を持たないような$a$の範囲を求めよ．
(2)$b>1$のとき，図形$C$と直線$\ell$が共有点を持たないのは，$a$と$b$がどのような関係をみたすときか．
(1)$b<1$のとき，図形$C$と直線$\ell$が共有点を持たないような$a$の範囲を求めよ．
(2)$b>1$のとき，図形$C$と直線$\ell$が共有点を持たないのは，$a$と$b$がどのような関係をみたすときか．