次の問題は，生命科学部生命機能学科植物医科学専修を志望する受験生のみ解答せよ．
$t$を正の定数とする．曲線$y=x^3-x$を$C$，$C$上の点$\mathrm{P}(t,\ t^3-t)$における接線を$\ell$とする．$\ell$の方程式は
\[ y=\left( [ア] t^2-[イ] \right) x-[ウ] t^3 \]
である．
$C$と$\ell$の，$\mathrm{P}$以外の共有点を$\mathrm{Q}$とすると，$\mathrm{Q}$の$x$座標は$[エオ] t$である．
$\mathrm{Q}$における$C$の接線を$m$とすると，$m$の方程式は
\[ y=\left( [カキ] t^2-[イ] \right)x+[クケ] t^3 \]
である．
$C$と$m$の，$\mathrm{Q}$以外の共有点を$\mathrm{R}$とすると，$\mathrm{R}$の$x$座標は$[コ] t$であり，
\[ \overrightarrow{\mathrm{QP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{QR}}=18 \left( [サシ] t^6-[スセ] t^4+[ソ] t^2 \right) \]
となる．ここで，
\[ f(t)=\frac{\overrightarrow{\mathrm{QP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{QR}}}{18t^6} \]
とおくと，$\displaystyle t=\frac{[タ] \sqrt{[チツ]}}{[チツ]}$のとき，$f(t)$は最小値$\displaystyle \frac{[テト]}{[ナ]}$をとる．

座標平面上の点$\mathrm{A}$を通る$2$つの曲線$C_1,\ C_2$の点$\mathrm{A}$における接線に対して，これらの接線のなす角$\displaystyle \theta \left( \text{ただし} 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$を点$\mathrm{A}$における$2$曲線$C_1$と$C_2$のなす角と呼ぶことにする．

(1)$2$次方程式$x^2-1=ax+b$が重解をもつとき，$a$と$b$の間に$b=[$1$]$の関係式が成り立つ．
(2)放物線$y=x^2-1$の点$(1,\ 0)$における接線の方程式は$y=[$2$]$である．
(3)点$(1,\ 0)$における$2$曲線$y=x^2-1$と$y=x^3+3x^2-3x-1$のなす角$\theta$に対して，$\tan \theta$の値は$[$3$]$である．

次の問いに答えよ．

(1)連立$1$次方程式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
5x-y=kx \\
6x-2y=ky
\end{array} \right. \]
が$(x,\ y)=(0,\ 0)$以外の解をもつような$k$を$k_1,\ k_2$（ただし$k_1<k_2$）とおくと，$k_1=[$7$]$，$k_2=[$8$]$である．
(2)$(1)$で求めた$k_1$に対して$(x,\ y)=(1,\ a)$，$k_2$に対して$(x,\ y)=(b,\ 1)$が各々上の連立$1$次方程式を満たすとき，行列$A$と$P$を
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
5 & -1 \\
6 & -2
\end{array} \right),\quad P=\left( \begin{array}{cc}
1 & b \\
a & 1
\end{array} \right) \]
とおくと$P^{-1}AP=[$9$]$となる．これより自然数$n$に対して$A^n=[$10$]$である．
(3)自然数$n$に対して漸化式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
a_{n+1}=5a_n-b_n \\
b_{n+1}=6a_n-2b_n
\end{array} \right. ,\quad a_1=1,\ b_1=2 \]
を満たす数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$の一般項を求めると，$a_n=[$11$]$，$b_n=[$12$]$である．

$a$は$a>2$を満たす実数とする．$f(x)=x^3-a^2x$，$g(x)=-x^2+a^2$とおく．次の問いに答えよ．

(1)$xy$平面において，$y=f(x)$のグラフと$y=g(x)$のグラフは$3$つの共有点をもつことを示し，$3$つの共有点の座標をすべて求めよ．
(2)$y=f(x)$のグラフと$y=g(x)$のグラフの$3$つの共有点を，$x$座標の小さいほうから順に$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$とする．点$\mathrm{B}$における$y=f(x)$の接線を$\ell$とし，$\ell$と$y=g(x)$のグラフとの共有点のうち点$\mathrm{B}$以外の点を$\mathrm{D}$とする．直線$\ell$の方程式と点$\mathrm{D}$の座標を求めよ．
(3)$y=g(x)$のグラフと直線$\ell$で囲まれ，$x \geqq 0$の範囲にある部分の面積を求めよ．

空欄にあてはまる適切な数，式，記号などを記入しなさい．

(1)実数$x$に対して，$x$以下の最大の整数を$[x]$で表す．例えば$[3]=3$，$[3.14]=3$，$[-3.14]=-4$である．実数$x$について，方程式$4x-3[x]=0$の解の個数は$[　]$であり，方程式$x^2-3x+[3x]=0$の解の個数は$[　]$である．
(2)$a,\ b,\ c$を$a+b+c=\pi$を満たす正の実数とするとき，$\sin (a) \sin (b) \sin (c)$の最大値は$[　]$である．
(3)原点を$\mathrm{O}$とする座標空間内の$3$点$\mathrm{A}(-1,\ 1,\ 1)$，$\mathrm{B}(1,\ -1,\ 1)$，$\mathrm{C}(1,\ 1,\ -1)$について$\triangle \mathrm{ABC}$は正三角形である．$\triangle \mathrm{ABC}$を$1$つの面にもつ正四面体の他の頂点$\mathrm{D}$の座標は$[　]$または$[　]$である．
(4)定積分$\displaystyle \int_3^4 \frac{6x+5}{x^3-3x-2} \, dx$の値は$[　]$である．
(5)$123$から$789$までの$3$桁の数から，$1$つを無作為に選び出すとき，同じ数字が$2$つ以上含まれている確率は$[　]$である．
(6)数直線上の点$\mathrm{P}$は，原点$\mathrm{O}$を出発して，次のルールに従って移動するとする．
「$1$つのさいころを振り，$3$以下の目が出たときは右に$1$，$5$以上の目が出たときは左に$1$，それぞれ動く．また，$4$の目が出たときは動かない．点$\mathrm{P}$の座標が$-1$になったら，さいころを振るのを止め点$\mathrm{P}$はそこにとどまる．それ以外のときは，さいころをまた振る．」
さいころを多くとも$3$回振り移動も終えた後の，点$\mathrm{P}$の座標の期待値は$[　]$である．

次の各問に答えよ．

(1)$\displaystyle \frac{3 \sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}=[ア]+\sqrt{[イウ]}$である．
(2)整式$x^3-4x^2+7x+1$を$x^2-3x+2$で割った余りは$[エ]x+[オ]$である．
(3)$\displaystyle 3^{2x} \leqq \frac{9}{{27}^x}$をみたす$x$の範囲は$\displaystyle x \leqq \frac{[カ]}{[キ]}$である．
(4)直線$2x+3y+5=0$と点$(-4,\ 1)$において垂直に交わる直線の方程式は$\displaystyle y=\frac{[ク]}{[ケ]}x+[コ]$である．
(5)円$x^2+y^2=9$と円$x^2+(y+a)^2=9$が共有点をもつような定数$a$の値の範囲は$[サシ] \leqq a \leqq [ス]$である．
(6)$\overrightarrow{a}=(k,\ -2k,\ 5)$が$\overrightarrow{b}=(1,\ -2,\ -2)$に垂直であるとき，$k=[セ]$であり，$|\overrightarrow{a}|=[ソ] \sqrt{[タ]}$である．
(7)$1$個のサイコロを振り，出た目を$4$で割った余りを$X$とする．$X=1$となる確率は$\displaystyle \frac{[チ]}{[ツ]}$であり，また，$X$の期待値は$\displaystyle \frac{[テ]}{[ト]}$である．
(8)関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{3}x^3-ax^2+3x+1$（$a$は定数）が$x=3$で極値をとるとき，$a=[ナ]$であり，極大値は$\displaystyle \frac{[ニ]}{[ヌ]}$である．

次の各問に答えよ．

(1)放物線$C:y=-x^2+4x+5$の頂点を$\mathrm{A}$とし，$C$と$x$軸の正の部分との交点を$\mathrm{B}$とする．このとき，$\mathrm{A}([ア],\ [イ])$であり，$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る直線$\ell$の方程式は$y=[ウエ]x+[オカ]$である．また，$C$の$0 \leqq x \leqq [ア]$の部分，$y$軸，および$\ell$で囲まれた図形の面積は$\displaystyle \frac{[キク]}{[ケ]}$である．
(2)数列$\{a_n\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を$a_1=-3$，$a_2=1$，
\[ a_{n+2}=-2a_{n+1}-4a_n \cdots\cdots① \]
で定める．このとき，
\[ a_{n+3}=-2a_{n+2}-4a_{n+1} \cdots\cdots② \]
であり，$②$に$①$を代入すると$a_{n+3}=[コ]a_n$となる．$b_n=a_{3n} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおくと，数列$\{b_n\}$は初項$[サシ]$，公比$[ス]$の等比数列であり，$b_n$が初めて$7$桁の数になるのは$n=[セ]$のときである．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．

次の各問に答えよ．

(1)$\displaystyle t=x-\frac{4}{x}$とおくと$\displaystyle t^2=x^2+\frac{[アイ]}{x^2}-[ウ]$である．$4$次方程式
\[ x^4-2x^3-16x^2+8x+16=0 \cdots\cdots (*) \]
の両辺に$\displaystyle \frac{1}{x^2}$をかけた方程式は，$\displaystyle t=x-\frac{4}{x}$を用いて，$t^2-[エ]t-[オ]=0$と表される．$4$次方程式$(*)$の解は$x=[カ] \pm [キ] \sqrt{[ク]}$，$[ケコ] \pm \sqrt{[サ]}$である．
(2)$5$個の数字$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4$から異なる$3$個を並べて$3$桁の整数をつくる．このような整数は全部で$[シス]$個あり，このうち，偶数は$[セソ]$個，$9$の倍数は$[タ]$個ある．また，偶数でもなく$9$の倍数でもないものは$[チツ]$個ある．

次の各問に答えよ．

(1)$A=2x^2-xy-3y^2+3x+8y-5$を因数分解せよ．また，$\displaystyle x=\frac{\sqrt{7}-2}{2},\ y=\frac{1}{\sqrt{7}-2}$のとき，$A$の値を求めよ．
(2)方程式$\displaystyle |-\abs{x|+4}=\frac{1}{2}x+1$の解を求めよ．
(3)$2$次関数$f(x)=ax^2+2ax+a+b$（$a,\ b$は定数）が区間$-2 \leqq x \leqq 2$において最大値$4$，最小値$1$をとるように$a,\ b$の値を定めよ．

次の問いに答えなさい．

(1)自然数$m,\ n$に対し，命題「$m^2+n^2$が偶数ならば，$m+n$は偶数である」が真ならば「真」と，偽ならば反例を$[$\mathrm{A]$}$に記入しなさい．
(2)$2^x=5^y=100$のとき，$\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=[$\mathrm{B]$}$となる．
(3)$xy$座標平面において，円$x^2+y^2=3$と直線$x+y=1$の$2$つの交点を結ぶ線分の長さは，$[$\mathrm{C]$}$である．
(4)数直線上を動く点$\mathrm{P}$が原点$\mathrm{O}$にある．表と裏が等しい確率で出るコインを投げ，表が出ると正方向に$1$だけ進み，裏が出ると負方向に$1$だけ進むことを繰り返す．コインを$10$回投げるとき，$\mathrm{P}$の座標が$-6$となる確率は，$[$\mathrm{D]$}$である．
(5)方程式$x^3-3x^2-9x-a=0$が異なる$3$つの実数解を持つとき，定数$a$が満たさなければならない条件を$[あ]$で求めなさい．