次の$[　]$をうめよ．

(1)どのような実数$x$に対しても，不等式$x^2+ax+a>-2x^2+x+1$が成り立つ定数$a$の値の範囲は$[　]$である．
また，$2$つの放物線$y=x^2+ax+a$と$y=-2x^2+x+1$が点$\mathrm{A}$を共有し，その点で共通な接線をもつとき，点$\mathrm{A}$の座標は$[　]$である．
(2)$a=3^{96}$のとき，$\sqrt[3]{a}$は$[　]$桁の整数である．また，$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a}}$は，小数第$[　]$位に初めて$0$でない数が現れる．ただし，$\log_{10}3=0.4771$とする．
(3)$0 \leqq x \leqq \pi$のとき，方程式$\displaystyle \sin x+\cos x+\sin 2x=-\frac{1}{2}$の解は，$x=[　]$である．また，$\displaystyle -\frac{\pi}{2}<y<\frac{\pi}{2}$のとき，$\displaystyle \sin y+\sqrt{3} \cos y+4 \cos^2 \left( y+\frac{\pi}{3} \right)=4$の解は，$y=[　]$である．

次の$[　]$をうめよ．

(1)方程式$x^2+2mx+y^2-2(m+1)y+3m^2-4m+6=0$が円を表すとき，$m$の値の範囲は$[　]$である．また，この円の半径が最大となるとき，その円と直線$y=kx+4$とが共有点をもつための$k$の値の範囲は$[　]$である．
(2)$10$本のくじの中に当たりくじが$k$本入っている．ただし，$0<k<10$とする．$\mathrm{A}$がくじを$1$本引き，その引いたくじをもとに戻さないで，続いて$\mathrm{B}$がくじを$1$本引く．このとき，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$がどちらも当たる確率が$\displaystyle \frac{1}{5}$以下となるのは，$k$が$[　]$以下のときである．また，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$がどちらもはずれてしまう確率が$\displaystyle \frac{1}{10}$以下となるのは，$k$が$[　]$以上のときである．

関数$f(x)=x^3-2x^2$に対して，曲線$C$を$y=f(x)$で定義する．

(1)$C$上の点$(t,\ f(t))$における接線の方程式は
\[ y=([ア]t^2-[イ]t)(x-t)+t^3-[ウ]t^2 \]
である．
(2)$C$上の点$(a_n,\ f(a_n))$における接線が$C$上の他の点$(a_{n+1},\ f(a_{n+1}))$で交わるとすると
\[ a_{n+1}=[エオ]a_n+[カ] \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
が成り立つ．この式を$a_{n+1}-p=q(a_n-p)$とおくと，定数$p,\ q$の値は
\[ p=\frac{[キ]}{[ク]},\quad q=[ケコ] \]
となる．
(3)$a_1=3$のとき，$(2)$の結果より
\[ a_n=\frac{[サ]}{[シ]}+\frac{[ス]}{[セ]}([ソタ])^{n-1} \]
が得られる．

次の問いに答えよ．

(1)$\sqrt{20} \div (2^4 \cdot 5)^{-\frac{1}{2}}=[][]$
(2)$5 \log_64 \cdot \log_236=[][]$
(3)方程式$\log_2x+\log_2(x-12)=6$の解は$x=[][]$である．
(4)不等式$\displaystyle (\sqrt{5})^x> \left( \frac{1}{25} \right)^{x-5}$を満たす$x$の範囲は$x>[][]$である．
(5)$\displaystyle \log_a 32=5,\ 3^{a-2b}=\frac{1}{3^4}$のとき，$ab=[][]$である．

$\displaystyle f(x)=\frac{(\log x)^2}{x} (x>0)$とする．曲線$C:y=f(x)$上の点$\mathrm{P}(a,\ f(a))$と点$\mathrm{Q}(b,\ f(b))$における曲線$C$の$2$つの接線が共に原点を通るとき，次の問いに答えよ．ただし，$a<b$で，対数は自然対数とする．

(1)$a,\ b$の値と点$\mathrm{Q}(b,\ f(b))$における曲線$C$の法線の方程式を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}(a,\ f(a))$における$C$の接線，点$\mathrm{Q}(b,\ f(b))$における$C$の法線，および曲線$C$によって囲まれる部分の面積を求めよ．

指数関数$y=2^x$のグラフを$C$とするとき，次の問に答えよ．

(1)点$\mathrm{A}(2,\ -5)$と$C$上の点$\mathrm{P}(x,\ 2^x)$の中点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$が$C$上を動くとき，点$\mathrm{Q}$の描く軌跡$C^\prime$の方程式を求めよ．
(3)曲線$C$と曲線$C^\prime$の交点の座標を求めよ．

関数$y=|x| (|x|-3)$のグラフを$C$とするとき，次の問に答えよ．

(1)点$(0,\ -b)$を通る$C$の接線の方程式をすべて求めよ．ただし，$b$は正の定数とする．
(2)$b \geqq 3$のとき，$(1)$で求めた接線と$C$とで囲まれた図形の面積を求めよ．

$p$を奇数，$q$を偶数とし，方程式$x^2-px+q=0$の解を$\alpha,\ \beta$とおく．

(1)$a_n=\alpha^n+\beta^n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とするとき，$a_{n+2}$を$a_{n+1},\ a_n,\ p,\ q$を用いて表せ．
(2)$a_n$はすべて奇数となることを示せ．

曲線$y=1-x^2$を$C$とする．

(1)$C$上の点$(t,\ 1-t^2)$における法線の方程式を求めよ．
(2)$C$の法線で原点を通るものの本数を求めよ．
(3)点$(a,\ 0)$を通る$C$の法線がただ$1$本であるための$a$の条件を求めよ．

放物線$y=x^2-4x$上に，$2$点$\mathrm{A}(1,\ -3)$，$\mathrm{B}(4,\ 0)$がある．以下の各問に答えよ．

(1)点$\mathrm{A}$における放物線の接線の方程式を求めよ．
(2)点$\mathrm{B}$における放物線の接線の方程式を求めよ．
(3)$(1)$，$(2)$で求めた$2$つの接線と放物線で囲まれる図形の面積を求めよ．