放物線$y=-x^2+x+2$に点$(0,\ 3)$から接線を引く．このとき，次の問に答えよ．

(1)接線の方程式を求めよ．
(2)この放物線と$(1)$で求めた$2$本の接線で囲まれた図形の面積を求めよ．

空欄$[$1$]$から$[$11$]$にあてはまる数値または式を記入せよ．

(1)連立不等式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
\displaystyle \frac{1}{3}x-7 \leqq 2 \\ \\
\displaystyle \frac{3}{2}x+3>-\frac{3}{4}x+1
\end{array} \right. \]
の解は$[$1$]$である．
(2)$2$点$(5,\ 1)$，$(-2,\ 4)$を通る直線の方程式は$[$2$]$である．
(3)直線$y=ax-3$が放物線$y=x^2-4x+3a$の接線であるとき，定数$a$の値は$[$3$]$である．
(4)$\displaystyle \sqrt{3} \sin \frac{\pi}{4}-\sqrt{6} \cos \frac{\pi}{3}$の値は$[$4$]$，$\displaystyle \sin \frac{\pi}{9} \sin \frac{\pi}{18}-\cos \frac{\pi}{9} \cos \frac{\pi}{18}$の値は$[$5$]$である．
(5)赤玉が$4$つ，青玉が$3$つ，黄玉が$2$つある．これらすべての玉を$1$列に並べる並べ方は$[$6$]$通りである．これらの玉をすべて$1$つの袋に入れ，そのうち$3$つを同時に取り出すとき，異なる色の玉を取り出す確率は$[$7$]$であり，赤玉$2$つ，青玉$1$つを取り出す確率は$[$8$]$である．また，すべての玉が入った袋から玉を$4$つ同時に取り出すとき，青玉が少なくとも$1$つ含まれる確率は$[$9$]$である．
(6)$2$次関数$f(x)$は，$\displaystyle x=-\frac{3}{4}$で極値をとり，$f(-1)=-2$，$f^\prime(2)=11$を満たす．このとき，$f(x)=[$10$]$であり，$\displaystyle \int_{-1}^2 f(x) \, dx$の値は$[$11$]$である．

空欄$[$1$]$から$[$11$]$にあてはまる数値または式を記入せよ．

(1)$a,\ b$を実数とする．$2$次方程式$x^2+ax+b=0$の$1$つの解$\alpha$が$1-\sqrt{3}i$のとき，$a=[$1$]$，$b=[$2$]$となる．もう$1$つの解を$\beta$とするとき，$\alpha-2$，$\beta-2$を解とし，$x^2$の係数が$1$である$2$次方程式は$x^2+[$3$]x+[$4$]=0$となる．
(2)$a=\sqrt{3}$のとき，$|a-2|+|a+3|$の値は$[$5$]$である．また，方程式$|x+1|=4$の解は$[$6$]$である．
(3)$2+\sqrt{2}$の整数部分を$a$，小数部分を$b$とするとき，$\displaystyle 2a^2-\left( b^3+\frac{1}{b^3} \right)$の値は$[$7$]$である．
(4)$1$個のさいころを投げて，出た目が奇数なら$2$ポイント，偶数なら$4$ポイント獲得できるゲームがある．$1$回投げて獲得できるポイントの期待値は$[$8$]$である．また，さいころを$3$回投げたとき，獲得したポイントの合計が$12$である確率は$[$9$]$であり，$10$以上である確率は$[$10$]$である．
(5)放物線$y=x^3-3x^2+2$上の点$(1,\ 0)$における接線の方程式は$[$11$]$である．

関数$f(x)=|x^2-4|$と$y$軸上の点$\mathrm{C}(0,\ 8)$を通る傾きが$k$である直線$\ell$について，以下の問に答えよ．ただし，$k$は定数とする．

(1)直線$\ell$の方程式を$k$を用いて表せ．

(2)$\displaystyle S(a)=\int_{-a}^a f(x) \, dx$とするとき，$S(2)$と$S(3)$を求めよ．

(3)$k=0$であるとき，直線$\ell$と関数$f(x)$で囲まれる部分の面積を求めよ．
(4)$k=4$であるとき，直線$\ell$と関数$f(x)$で囲まれる部分の面積を求めよ．
(5)$k$が範囲$0<k<4$にあるときの直線$\ell$と関数$f(x)$で囲まれる部分の面積を$k$を用いて表せ．

次の各問いに答えよ．

(1)$(xy+1)(x+1)(y+1)+xy$を因数分解せよ．
(2)$\displaystyle \sin \theta+\cos \theta=\frac{3}{5} (0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ)$のとき，$\sin \theta \cos \theta$の値を求めよ．

(3)$\displaystyle \frac{2 \sqrt{7}}{\sqrt{5}+1}-\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$の分母を有理化して簡単にせよ．

(4)$8$個の異なる荷物を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$人に分けるとき，$\mathrm{A}$に$3$個，$\mathrm{B}$に$2$個，$\mathrm{C}$に$3$個のように分ける方法は何通りあるか．
(5)方程式$x^2+(2a+1)x+a+1=0$が実数解をもつように，定数$a$の値の範囲を求めよ．
(6)$2$次関数$y=x^2-2mx+3m$の最小値を$k$とするとき，$k$の最大値とそのときの$m$の値を求めよ．

以下の問に答えよ．

(1)$2$次関数$\displaystyle y=-\frac{3}{2}x^2+5x-3 (-1 \leqq x \leqq 2)$の最大値を求めよ．
(2)$2$次方程式$\displaystyle x^2+kx+k^2+\frac{7}{2}k-6=0$が異なる$2$つの実数解を持つとき，定数$k$の値の範囲は$A<k<B$のようになる．$A,\ B$の値を求めよ．

(3)式$\displaystyle \frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}+\sqrt{2}}$の分母を有理化すると，$\displaystyle \frac{A \sqrt{10}+B \sqrt{35}+C \sqrt{14}}{20}$となるという．$A,\ B,\ C$の値を求めよ．
(4)不等式$3 |x+3|>4+x$の解は，$x<A,\ B<x$のようになる．$A,\ B$の値を求めよ．
(5)$2$つの放物線$y=2x^2-4x+7$と$y=-3x^2+8x+6$の$2$つの共有点と，点$(3,\ 5)$を通る放物線の方程式は，$y=Ax^2+Bx+C$となる．定数$A,\ B,\ C$の値を求めよ．

以下の問に答えよ．

(1)$2$次関数$\displaystyle y=-\frac{3}{2}x^2+5x-3 (-1 \leqq x \leqq 2)$の最大値を求めよ．
(2)$2$次方程式$\displaystyle x^2+kx+k^2+\frac{7}{2}k-6=0$が異なる$2$つの実数解を持つとき，定数$k$の値の範囲は$A<k<B$のようになる．$A,\ B$の値を求めよ．

(3)式$\displaystyle \frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}+\sqrt{2}}$の分母を有理化すると，$\displaystyle \frac{A \sqrt{10}+B \sqrt{35}+C \sqrt{14}}{20}$となるという．$A,\ B,\ C$の値を求めよ．
(4)不等式$3 |x+3|>4+x$の解は，$x<A,\ B<x$のようになる．$A,\ B$の値を求めよ．
(5)$2$つの放物線$y=2x^2-4x+7$と$y=-3x^2+8x+6$の$2$つの共有点と，点$(3,\ 5)$を通る放物線の方程式は，$y=Ax^2+Bx+C$となる．定数$A,\ B,\ C$の値を求めよ．

変数$\theta$の関数$f(\theta)=5 \sin^2 \theta+m \cos \theta-3$について，以下の問に答えよ．ただし，$m$は定数とする．

(1)$\cos \theta=t$とおいて，関数$f(\theta)$を$t$の関数として表したものを$g(t)$とおくとき，$g(t)$を求めよ．
(2)関数$g(t)$において定数$m$を$1$とする．

(i) 変数$\theta$が$0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ$の範囲にあるとき，関数$g(t)$の最大値と最小値を求めよ．
(ii) 変数$\theta$が$90^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ$の範囲にあるとき，方程式$g(t)=0$を解け．

(3)変数$\theta$が$0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ$の範囲にあるとき，関数$g(t)$の最大値を$m$を用いて表せ．
(4)変数$\theta$が$0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ$の範囲にあるとき，方程式$f(\theta)=0$が異なる$2$個の解を持つための$m$の値の範囲を求めよ．

場合の数と確率に関して以下の問に答えよ．

(1)$x,\ y$は$0$または正の整数とする．

(i) 方程式$x+y=6$を満たす$(x,\ y)$の組は何通りあるか．
(ii) 方程式$x+y=6$と不等式$x<y$を同時に満たす$(x,\ y)$の組は何通りあるか．

(2)さいころを$3$回振り，$1$回目に出た目を$x$，$2$回目に出た目を$y$，$3$回目に出た目を$z$とおく．ただし，$x,\ y,\ z$は$1$以上$6$以下の正の整数とする．

(i) $x+y+z=8$となる確率を求めよ．
(ii) $x+y+z=8$かつ$x=y$となる確率を求めよ．
(iii) $x+y+z=8$かつ$x<y$となる確率を求めよ．

原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$2$の円に，点$\mathrm{P}(4,\ 0)$から引いた$2$つの接線の接点のうち，第$1$象限にある点を$\mathrm{A}$，残りの点を$\mathrm{B}$とする．直線$\mathrm{AB}$が$x$軸と交わる点を$\mathrm{C}$とする．$\mathrm{C}$から直線$\mathrm{AP}$に引いた垂線と$\mathrm{AP}$の交点を$\mathrm{D}$とする．このとき，次の設問に答えよ．

(1)線分$\mathrm{AP}$の長さを求めよ．
(2)線分$\mathrm{CD}$の長さを求めよ．
(3)$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$を通る円の方程式を求めよ．