座標平面上の放物線$y=x^2$に点$\mathrm{P}(a,\ b)$（ただし，$b<a^2$）から異なる$2$本の接線を引き，放物線との接点をそれぞれ$\mathrm{Q}(q,\ q^2)$，$\mathrm{R}(r,\ r^2)$（ただし，$q<r$）とする．

(1)$2$本の接線の方程式を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)$\angle \mathrm{QPR}=45^\circ$を満たす点$\mathrm{P}$の軌跡を求めて図示せよ．

関数$f(x)=x^2-2$に対して，$y=f(x)$のグラフ上の点$(a,\ f(a))$における接線と$x$軸との交点の$x$座標を$g(a)$とおく．ただし，$a>0$とする．また$x_1=4$とし，$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して$x_{n+1}=g(x_n)$とおく．次の問に答えよ．

(1)$y=f(x)$のグラフ上の点$(4,\ 14)$におけるグラフの接線の方程式を求めよ．
(2)どのような自然数$n$に対しても$x_n>0$であることを数学的帰納法によって証明せよ．
(3)$x_3$を求めよ．
(4)どのような自然数$n$に対しても$x_{n+1} \geqq \sqrt{2}$であることを，相加平均と相乗平均の大小関係を使って証明せよ．

曲線$C:y=x^2+px+q$と$y$軸との交点をQとし，$x$座標$t$が正である曲線$C$上の点をPとする．点Pにおける曲線$C$の接線を$\ell$とする．曲線$C$，接線$\ell$および$y$軸で囲まれた部分の面積を$S_1$とし，曲線$C$と直線PQで囲まれた部分の面積を$S_2$とする．

(1)$\ell$の方程式を求めなさい．
(2)$S_1$を$t$で表しなさい．
(3)$S_1:S_2$を求めなさい．

$k$を実数とする．$x$についての方程式$2^{x+k}-4^x-2^3=0$の実数解について，次の各問に答えよ．

(1)解が存在するときの$k$の条件を求めよ．
(2)正の解と負の解それぞれの個数を求めよ．

$x$-$y$平面上に$2$点$\mathrm{A}(2,\ -1)$，$\mathrm{B}(-3,\ 3)$をとる．このとき、次の各問いに答えよ．答のみ解答欄に記入せよ．

(1)点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る円の中心を$(p,\ q)$とするとき，$p$と$q$の関係式を求めよ．
(2)点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を直径の両端とする円の方程式を
$(x-p_0)^2+(y-q_0)^2={r_0}^2 \quad (p_0,\ q_0,\ r_0\ \text{は定数})$の形に表せ．
(3)$(2)$の結果を用いて，点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る円の方程式を，$k \ (\neq 0)$を定数として
\[ k\left\{(x-p_0)^2+(y-q_0)^2-{r_0}^2\right\}+ax+by=c \]
と表すとき，$\displaystyle\frac{b}{a},\ \frac{c}{a}$を求めよ．

$x$-$y$平面上に$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\displaystyle \mathrm{A} \left( \frac{1}{\sqrt{2}},\ 0 \right)$，$\displaystyle \mathrm{B} \left( 0,\ \frac{1}{\sqrt{2}} \right)$をとり，図のように，$\triangle \mathrm{OAB}$の各辺上または内部に，$\mathrm{DE} \para \mathrm{OB}$かつ$\angle \mathrm{DCE}$を直角とする二等辺三角形$\mathrm{CDE}$をとる．点$\mathrm{C}$，$\mathrm{E}$はそれぞれ$\mathrm{OB}$，$\mathrm{AB}$上の点とする．線分$\mathrm{CE}$の長さを$m (>0)$とおくとき，次の各問に答えよ．

(1)$m$の最大値を求めよ．
(2)$s,\ t$を正数とし，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OC}}+s \overrightarrow{\mathrm{CD}}+t \overrightarrow{\mathrm{CE}}$を$[ア] \overrightarrow{\mathrm{OA}}+[イ] \overrightarrow{\mathrm{OB}}$と表すとき，空欄$[ア]$，$[イ]$をそれぞれ$s,\ t$および$m$の式で表せ.
(3)等式$\overrightarrow{\mathrm{OC}}+s \overrightarrow{\mathrm{CD}}+t \overrightarrow{\mathrm{CE}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$をみたす$s$，$t$をそれぞれ$m$の式で表せ．
(4)(3)で求めた$s,\ t$を用いて，点$\mathrm{P}(x,\ y)$を$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$によって定める．このとき，$\displaystyle \frac{y}{x}$を$\displaystyle \frac{1}{m}$の式で表せ．
(5)(4)における点$\mathrm{P}(x,\ y)$の軌跡は$x,\ y$の方程式
\[ (x+[ウ])^2+(y-[エ])^2=[オ] \]
で表される．このとき，空欄$[ウ]$，$[エ]$，$[オ]$にあてはまる数値を求めよ．
（図は省略）

$a,\ b$を実数とする．$2$次方程式
\[ x^2+(a-1)x+b+1 = 0 \]
が実数解を持ち、すべての解の絶対値が$1$以下になっているとき，次の問いに答えよ．

(1)点$(a,\ b)$が存在する領域を$D$とする．$D$に含まれる
$a$の最大値は$[ア]$，最小値は$[イ]$，
$b$の最大値は$[ウ]$，最小値は$[エ]$である．
(2)領域$D$の面積は$[オ]$である．

$k$を正の定数とする．$2$つの放物線
\[ \begin{array}{ll}
y=x^2 & \cdots\cdots① \\
y=x^2+k & \cdots\cdots②
\end{array} \]
を考える．次の問に答えよ．

(1)放物線$②$上の点$\mathrm{P}$における接線$\ell$の方程式を求めよ．ただし，点$\mathrm{P}$の$x$座標を$p$とする．
(2)放物線$①$と接線$\ell$の共有点の$x$座標を求めよ．
(3)放物線$①$と接線$\ell$で囲まれた領域$A$の面積を求めよ．
(4)不等式$x \geqq p$の表す領域と領域$A$の共通部分の面積を求めよ．

数列$\{a_n\}$は次の$3$つの条件
\[ \begin{array}{ll}
(\mathrm{A}) & a_1=1 \\
(\mathrm{B}) & a_{n+1}^2 - 6a_{n+1}a_n + 8a_n^2 = 0 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\cdots) \\
(\mathrm{C}) & a_{n+1} > 3 a_n \quad (n=1,\ 2.\ 3,\cdots)
\end{array} \]
を満たしている．以下の文は$\{a_n\}$の一般項を推測する記述である． \\
条件$(\mathrm{A})$と，条件$(\mathrm{B})$において$n=[(31)]$とおいた式から，$a_2$は$2$次方程式
\[ x^2 - [(32)]x + [(33)] = 0 \]
の解の$1$つである．この方程式の解のうち小さいほうは[(34)]，大きいほうは[(35)]である．これらの候補のうち条件$(\mathrm{C})$において$n=1$とした式を満たすものを選ぶと，$a_2=[(36)]$である．同様に，$a_3=[(37)][(38)],\ a_4=[(39)][(40)]$となるので，一般項は$a_n=[(41)]^{n-1}$と推測される．

関数$f(x)$を
\[ f(x) = \frac{\sqrt{2}}{6}x^3 + \frac{9}{2} \]
と定める．さらに，$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上の曲線$C:y=f(x)$を考える．

(1)曲線$C$上の点$(2,\ f(2))$における接線を$\ell_1$とおく．直線$\ell_1$の方程式を求めよ．
(2)$\ell_1$を(1)で定めた直線とする．曲線$C$と直線$\ell_1$は点$(2,\ f(2))$以外にもう$1$つ共有点をもつ．その共有点の$x$座標を求めよ．
(3)$m$を実数とし，原点$\mathrm{O}$を通る直線$\ell_2:y=mx$を考える．曲線$C$と直線$\ell_2$が共有点をちょうど$2$個もつときの$m$の値を求めよ．