曲線$C:y=x \sin x$について，次の問に答えよ．

(1)$C$の接線のうち，原点を通る接線の方程式をすべて求めよ．
(2)直線$\displaystyle y=\frac{1}{2}x$と$C$との交点のうち，第1象限にあるものを$x$座標の小さい方から順にP$_1$，P$_2$，P$_3$，$\cdots$とする．線分P$_{2n-1}$P$_{2n}$と$C$で囲まれた図形の面積$S_n$を求めよ．
(3)点Q$_n \displaystyle \left( \frac{\pi}{2}+2(n-1)\pi,\ \frac{\pi}{2}+2(n-1)\pi \right)$に対して，$\triangle$P$_{2n-1}$P$_{2n}$Q$_n$の面積を$T_n$とする．このとき，$n$によらずに$\displaystyle \frac{S_n}{T_n}$が一定であることを示せ．

直線$\ell$は，傾きが正で，$2$つの放物線
\begin{align}
& C_1:y=x^2 \nonumber \\
& C_2:y=4x^2+12x \nonumber
\end{align}
に接している．このとき，次の問いに答えよ．

(1)直線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)放物線$C_1,\ C_2$および直線$\ell$で囲まれた図形の面積を求めよ．

媒介変数$\theta$を用いて$\displaystyle x=2\cos \theta,\ y=3\sin \theta \ \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$と表される曲線がある．

(1)この曲線について$\theta$を消去して，$x,\ y$の方程式を求め，その概形をかけ．
(2)曲線上の点P$(2\cos \theta,\ 3\sin \theta)$での接線の方程式を求めよ．
(3)(2)で求めた接線と$x$軸，$y$軸とで作られる三角形の面積$S$を$\theta$の関数として表せ．

$a>0$とする．曲線$y=a^3x^2$を$C_1$とし，曲線$\displaystyle y=-\frac{1}{x} (x>0)$を$C_2$とする．また，$C_1$と$C_2$に同時に接する直線を$\ell$とする．

(1)直線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)直線$\ell$と曲線$C_1,\ C_2$との接点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．$a$が$a>0$の範囲を動くとき，$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$間の距離の最小値を求めよ．

$a>0$とする．曲線$y=a^3x^2$を$C_1$とし，曲線$\displaystyle y=-\frac{1}{x} (x>0)$を$C_2$とする．また，$C_1$と$C_2$に同時に接する直線を$\ell$とする．

(1)直線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)直線$\ell$と曲線$C_1,\ C_2$との接点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．$a$が$a>0$の範囲を動くとき，$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$間の距離の最小値を求めよ．

$3$個のサイコロを同時に投げ，出た目の数を大きさの順に$a,\ b,\ c (a \leqq b \leqq c)$とする．

(1)$a<b<c$となる確率を求めよ．
(2)$a,\ b,\ c$のうち少なくとも二つが$3$となる確率を求めよ．
(3)$b=3$かつ$2$次方程式$ax^2+2bx+c=0$が実数解をもつ確率を求めよ．

$a,\ b$を定数とし，$a \neq 0$とする．連立1次方程式
\[ \left\{
\begin{array}{l}
2x+(a-1)y=b \\
ax+a^2y=1
\end{array}
\right. \cdots\cdots (*) \]
について，次の問いに答えよ．

(1)$(*)$が2組以上の解をもつような$a$と$b$の値を求めよ．
(2)$(*)$が$x=1,\ y=2$をただ1組の解としてもつような$a$と$b$の値を求めよ．
(3)$(*)$が$x=y$となる解をもつための$a$と$b$に関する必要十分条件を求めよ．

$3$次方程式$x^3+ax^2+bx+c=0$の$3$つの解を$\alpha,\ \beta,\ \gamma$とする．下の問いに答えよ．

(1)$\alpha+\beta+\gamma=-a,\ \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=b,\ \alpha\beta\gamma=-c$が成り立つことを示せ．
(2)$\alpha+\beta+\gamma=1,\ \alpha^2+\beta^2+\gamma^2=3,\ \alpha^3+\beta^3+\gamma^3=7$のとき，$\alpha^4+\beta^4+\gamma^4$の値を求めよ．

原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上の$2$点$\mathrm{A}(2,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 2)$に対して，線分$\mathrm{OA}$上の点$\mathrm{P}$と線分$\mathrm{OB}$上の点$\mathrm{Q}$を，直線$\mathrm{PQ}$が三角形$\mathrm{OAB}$の面積を二等分するようにとる．下の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{Q}$の$y$座標が$t$のとき，直線$\mathrm{PQ}$の方程式と$t$の値の範囲を求めよ．
(2)(1)で求めた範囲で$t$を動かすとき，直線$\mathrm{PQ}$が通る点全体の領域を求め，図示せよ．

次の問いに答えよ．

(1)円$C:x^2+y^2=5^2$上の点$\mathrm{P}(s,\ t) (t \neq 0)$における接線の方程式が
\[ y=-\frac{s}{t}x+\frac{5^2}{t} \]
となることを示せ．
(2)円$C$の接線のうち，傾きが$7$となるものを求めよ．