$1$つのさいころを$4$回投げ，出た目を$1$回目から順に$a,\ b,\ c,\ d$とする．この$a,\ b,\ c,\ d$を用いて$x$の$2$次式
\[ f(x)=x^2-(a+d)x+(ad-bc) \]
を作る．次の問いに答えよ．

(1)どのようなさいころの目が出たとしても，$2$次方程式$f(x)=0$は異なる$2$つの実数解を持つことを示せ．
(2)どのようなさいころの目が出たとしても，$2$次方程式$f(x)=0$は少なくとも$1$つの正の実数解を持つことを示せ．
(3)$2$次方程式$f(x)=0$の$2$つの実数解がいずれも$0$以上である確率は$\displaystyle \frac{1}{2}$以上であることを示せ．

曲線$C:y=x^2+px+q$と$y$軸との交点をQとし，$x$座標$t$が正である曲線$C$上の点をPとする．点Pにおける曲線$C$の接線を$\ell$とする．曲線$C$，接線$\ell$および$y$軸で囲まれた部分の面積を$S_1$とし，曲線$C$と直線PQで囲まれた部分の面積を$S_2$とする．

(1)$\ell$の方程式を求めなさい．
(2)$S_1$を$t$で表しなさい．
(3)$S_1:S_2$を求めなさい．

$3$次関数$f(x)=x^3+ax^2+b$について，曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{P}(t,\ f(t))$における曲線の接線を$\ell_t$とする．

(1)$\ell_t$の方程式を求めよ．
(2)$\ell_t$が原点を通るような$t$の値がただ$1$つに定まるための$a,\ b$の条件を求めよ．
(3)$a,\ b$が(2)の条件を満たすとき，点$(a,\ b)$が存在する領域を図示せよ．

$a$を正の実数とする．$t$を媒介変数として
\[ x(t)=\cos 2t,\ y(t)=\sin at \quad (-\pi \leqq t \leqq \pi) \]
で表される曲線$C$について，以下の問に答えよ．

(1)$a=1$とする．$C$を$x$と$y$の方程式で表し，その概形を$xy$平面上にかけ．
(2)$a=2$とする．$C$を$x$と$y$の方程式で表し，その概形を$xy$平面上にかけ．
(3)定積分
\[ \int_{-\pi}^\pi x(t)y^\prime(t) \, dt \]
の値を，$a \neq 2$と$a=2$のそれぞれの場合について求めよ．
(4)(3)で求めた定積分の値を$a$の関数と考えて$\displaystyle P(a)=\int_{-\pi}^\pi x(t)y^\prime(t) \, dt$とおく．$\displaystyle \lim_{a \to 2}P(a)$の値を求めよ．

関数$f(x)=2\sin^2 x+4\sin x +3\cos 2x$について，以下の問いに答えよ．ただし，$0 \leqq x < 2\pi$である．

(1)$t=\sin x$とするとき，$f(x)$を$t$の式で表せ．
(2)$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$x$の値をすべて求めよ．
(3)方程式$f(x)=a$の相異なる解が$4$個であるような実数$a$の値の範囲を求めよ．

関数$f(x)=kx^3-3kx \ (k>0)$が表す座標平面上の曲線を$C:y=f(x)$とする．曲線$C$上の2点P$(p,\ f(p))$，Q$(ap,\ f(ap))$における接線をそれぞれ$\ell_1,\ \ell_2$とする．ただし，$p>0,\ a \neq 1$とする．以下の問いに答えよ．

(1)点Pにおける接線$\ell_1$の方程式を$k,\ p$を用いて表せ．
(2)点Qにおける接線$\ell_2$が点Pを通るとき，$a$の値を求めよ．
(3)ある$k$に対して2つの接線$\ell_1,\ \ell_2$が点Pにおいて垂直に交わっているとき，$k$を$p$を用いて表せ．また，そのような$k$が存在する$p$の値の範囲を求めよ．
(4)ある$k$に対して2つの接線$\ell_1,\ \ell_2$が点Pにおいて垂直に交わっているとき，接線$\ell_2$と曲線$C$によって囲まれた図形の面積$S$を$p$を用いて表せ．

次の問いに答えよ．

(1)$a$を$0$でない実数とする．$x$についての$3$次方程式$x^3-a^3=0$の$2$つの虚数解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\displaystyle \frac{\alpha-\beta}{\alpha+\beta}$の値を求めよ．
(2)定積分$\displaystyle \int_{-\frac{3\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin |2x| \, dx$を求めよ．
(3)連続する$3$つの自然数$a,\ b,\ c$があり，それらは$a^2+b^2=c^2,\ a<b<c$をみたすとする．このような$a,\ b,\ c$はただ$1$組しかないことを示せ．

関数$f(x)=x^3-6x^2+9x-1$について次の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)$の極値を求め，$y=f(x)$のグラフをかけ．
(2)$y=f(x)$のグラフ上の点$\mathrm{A}(2,\ 1)$，$\mathrm{B}(4,\ 3)$における接線の方程式をそれぞれ求めよ．
(3)$(2)$で求めた$2$本の接線と曲線$y=f(x) (2 \leqq x \leqq 4)$で囲まれた領域の面積を求めよ．

放物線$C:y=x(x-a)$について，次の問に答えよ．ただし，$a>0$とする．

(1)直線$\ell:y=ax$と，$C$との交点で，原点とは異なる点の座標を求めよ．
(2)$C$と$x$軸とで囲まれた図形の面積を求めよ．
(3)$C$と$\ell$とで囲まれた図形$D$の面積を求めよ．
(4)点$(a,\ 0)$を通り，図形$D$の面積を2等分する直線の方程式を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{1+x^2}$について，次の各問に答えよ．

(1)曲線$y=f(x)$上の点P$\displaystyle \left( \sqrt{3},\ \frac{1}{4} \right)$における接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と接線$\ell$との共有点のうち，点Pと異なる点Qの$x$座標を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と接線$\ell$によって囲まれる部分の面積を求めよ．