$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$で定義された関数
\[ f(\theta) = 4\cos 2\theta \sin \theta + 3\sqrt{2} \cos 2\theta -4\sin \theta \]
を考える．

(1)$x=\sin \theta$とおく．$f(\theta)$を$x$で表せ．
(2)$f(\theta)$の最大値と最小値，およびそのときの$\theta$の値を求めよ．
(3)方程式$f(\theta) = k$が相異なる3つの解をもつような実数$k$の値の範囲を求めよ．

$f(x)=4x(1-x)$とする．このとき
\[ \left\{
\begin{array}{l}
f_1(x)=f(x), \\
f_{n+1}(x) = f_n(f(x))
\end{array}
\right. \]
によって定まる多項式$f_n(x)$について以下の問いに答えよ．

(1)方程式$f_2(x)=0$を解け．
(2)$0 \leqq t < 1$を満たす定数$t$に対し，方程式$f(x)=t$の解を$\alpha(t),\ \beta(t)$とする．$c$が$0 \leqq c <1$かつ$f_n(c)=0$を満たすとき，$\alpha(c),\ \beta(c)$は$f_{n+1}(x)=0$の解であることを示せ．
(3)$0 \leqq x \leqq 1$範囲での方程式$f_n(x)=0$の異なる解の個数を$S_n$とする．このとき$S_{n+1}$を$S_n$で表し，一般項$S_n$を求めよ．

座標平面上の点$(x,\ y)$が次の方程式を満たす．
\[ 2x^2+4xy+3y^2+4x+5y-4=0 \]
このとき，$x$のとりうる最大の値を求めよ．

座標平面上の放物線$C$を$y=x^2+1$で定める．$s,\ t$は実数とし$t<0$を満たすとする．点$(s,\ t)$から放物線$C$へ引いた接線を$\ell_1,\ \ell_2$とする．

(1)$\ell_1,\ \ell_2$の方程式を求めよ．
(2)$a$を正の実数とする．放物線$C$と直線$\ell_1,\ \ell_2$で囲まれる領域の面積が$a$となる$(s,\ t)$を全て求めよ．

行列$X=\left(
\begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array}
\right),\ Y=\left(
\begin{array}{cc}
-2 & 3 \\
3 & 6
\end{array}
\right)$は$XY=YX$を満たす．次の問いに答えよ．

(1)$c,\ d$を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)$X^2=E,\ b>0$のとき，$X$を求めよ．ただし，$E$は単位行列とする．
(3)$xy$平面上に直線$\ell$があり，(2)で求めた行列$X$の表す$1$次変換によって$\ell$上の点はすべて$\ell$上の点に移される．$\ell$の方程式を求めよ．

$xy$平面上に曲線$\displaystyle C:y=\frac{1}{2}x^2$がある．$C$上の点$\mathrm{P} \displaystyle (t,\ \frac{1}{2}t^2) (t \neq 1)$における接線を，$\mathrm{P}$を中心として反時計回りに$45^\circ$回転して得られる直線を$\ell$とする．次の問いに答えよ．

(1)$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$C$と$\ell$で囲まれる部分の面積$S(t)$を求めよ．
(3)$S(t)$を最小にする$t$の値を求めよ．

放物線$\displaystyle C:y=\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}$上に$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$があり，$\mathrm{A}$の$x$座標は$3$である．点$\mathrm{A}$，点$\mathrm{B}$における$C$の接線をそれぞれ$\ell,\ m$とし，$\ell$と$m$の交点を$\mathrm{P}$とおくと，$\angle \mathrm{APB} = 45^\circ$であった．次の問いに答えよ．

(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)接線$m$の傾きを求めよ．
(3)点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(4)$C,\ \ell,\ m$で囲まれた図形において，不等式$x \geqq 0$を満たす部分の面積$S$を求めよ．

次の$3$条件をすべてみたす$xy$平面上の円$C$が存在するような実数$t$を求めよ．

(i) 円$C$の半径は$3$である．
(ii) 円$C$は$x$軸に接する．
(iii) 点$\mathrm{P}(t,\ t^2)$は円$C$上にあり，点$\mathrm{P}$における円$C$の接線の方程式は$y=2tx-t^2$である．

$x$の方程式$|\log_{10|x}=px+q \ (p,\ q \text{は実数})$が$3$つの相異なる正の解をもち，次の$2$つの条件を満たすとする．
\begin{itemize}
$3$つの解の比は，$1:2:3$である．
$3$つの解のうち最小のものは，$\displaystyle \frac{1}{2}$より大きく，$1$より小さい．
\end{itemize}
このとき，$A=\log_{10}2,\ B=\log_{10}3$とおき，$p$と$q$を$A$と$B$を用いて表せ．

曲線$\displaystyle C:y=\frac{1}{x+2} \ (x>-2)$を考える．曲線$C$上の点P$_1 \displaystyle (0,\ \frac{1}{2})$における接線を$\ell_1$とし，$\ell_1$と$x$軸との交点をQ$_1$，点Q$_1$を通り$x$軸と垂直な直線と曲線$C$との交点をP$_2$とおく．以下同様に，自然数$n \ (n \geqq 2)$に対して，点P$_n$における接線を$\ell_n$とし，$\ell_n$と$x$軸との交点をQ$_n$，点Q$_n$を通り$x$軸と垂直な直線と曲線$C$との交点をP$_{n+1}$とおく．

(1)$\ell_1$の方程式を求めよ．
(2)P$_n$の$x$座標を$x_n \ (n \geqq 1)$とする．$x_{n+1}$を$x_n$を用いて表し，$x_n$を$n$を用いて表せ．
(3)$\ell_n$，$x$軸，$y$軸で囲まれる三角形の面積$S_n$を求め，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n$を求めよ．