タグ「方程式」の検索結果

1ページ目:全1641問中1問~10問を表示)
京都大学 国立 京都大学 2016年 第5問
実数を係数とする$3$次式$f(x)=x^3+ax^2+bx+c$に対し,次の条件を考える.

\mon[(イ)] 方程式$f(x)=0$の解であるすべての複素数$\alpha$に対し,$\alpha^3$もまた$f(x)=0$の解である.
\mon[(ロ)] 方程式$f(x)=0$は虚数解を少なくとも$1$つもつ.

この$2$つの条件(イ),(ロ)を同時に満たす$3$次式をすべて求めよ.
大阪大学 国立 大阪大学 2016年 第1問
次の問いに答えよ.

(1)$a$を正の実数とし,$k$を$1$以上の実数とする.$x$についての$2$次方程式
\[ x^2-kax+a-k=0 \]
は,不等式
\[ -\frac{1}{a}<s \leqq 1 \]
をみたすような実数解$s$をもつことを示せ.
(2)$a$を$3$以上の整数とする.$n^2+a$が$an+1$で割り切れるような$2$以上のすべての整数$n$を$a$を用いて表せ.
北海道大学 国立 北海道大学 2016年 第4問
次の問いに答えよ.

(1)次の方程式が異なる$3$つの$0$でない実数解をもつことを示せ.
\[ x^3+x^2-2x-1=0 \quad \cdots \quad ① \]
(2)方程式$①$の$3$つの実数解を$s,\ t,\ u$とし,数列$\{a_n\}$を
\[ a_n=\frac{s^{n-1}}{(s-t)(s-u)}+\frac{t^{n-1}}{(t-u)(t-s)}+\frac{u^{n-1}}{(u-s)(u-t)} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって定める.このとき,
\[ a_{n+3}+a_{n+2}-2a_{n+1}-a_n=0 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
が成り立つことを示せ.
(3)$(2)$の$a_n$がすべて整数であることを示せ.
九州大学 国立 九州大学 2016年 第5問
以下の問いに答えよ.

(1)$\theta$を$0 \leqq \theta<2\pi$を満たす実数,$i$を虚数単位とし,$z$を$z=\cos \theta+i \sin \theta$で表される複素数とする.このとき,整数$n$に対して次の式を証明せよ.
\[ \cos n\theta=\frac{1}{2} \left( z^n+\frac{1}{z^n} \right),\quad \sin n\theta=-\frac{i}{2} \left( z^n-\frac{1}{z^n} \right) \]
(2)次の方程式を満たす実数$x (0 \leqq x<2\pi)$を求めよ.
\[ \cos x+\cos 2x-\cos 3x=1 \]
(3)次の式を証明せよ.
\[ \sin^2 {20}^\circ+\sin^2 {40}^\circ+\sin^2 {60}^\circ+\sin^2 {80}^\circ=\frac{9}{4} \]
北海道大学 国立 北海道大学 2016年 第1問
$a,\ b,\ c$を実数とし,
\[ f(x)=x^3+ax^2+bx+c \]
とおく.曲線$C:y=f(x)$上に異なる$2$点$\mathrm{P}(s,\ f(s))$,$\mathrm{Q}(t,\ f(t))$がある.

(1)$\mathrm{P}$における$C$の接線の方程式を求めよ.
(2)$\mathrm{P}$における$C$の接線と$\mathrm{Q}$における$C$の接線が平行になるための条件を$s,\ t,\ a$の関係式として求めよ.
(3)$(2)$の条件のもとで,線分$\mathrm{PQ}$の中点が$C$上にあることを示せ.
山口大学 国立 山口大学 2016年 第1問
関数$f(x)=|x^3-3x^2-3x+1|$について,次の問いに答えなさい.

(1)方程式$f(x)=0$の実数解をすべて求めなさい.
(2)$f(x)$の増減,極値を調べ,$y=f(x)$のグラフをかきなさい.ただし,グラフの変曲点と凹凸は調べなくてよい.
(3)$a$を実数の定数とする.$x$についての方程式$f(x)=a$が,ちょうど$4$個の異なる実数解をもつように,$a$の値の範囲を定めなさい.
名古屋工業大学 国立 名古屋工業大学 2016年 第4問
実数$t$に対し,複素数
\[ \left( \frac{1}{2}+\cos t+i \sin t \right)^2 \]
の実部を$f(t)$,虚部を$g(t)$とする.座標平面上に
\[ \text{曲線}C:x=f(t),\quad y=g(t) \quad (0 \leqq t \leqq \pi) \]
がある.

(1)$0 \leqq t \leqq \pi$のとき$f(t)$のとる値の範囲を求めよ.

(2)曲線$C$上の点$\displaystyle \mathrm{P} \left( f \left( \frac{\pi}{3} \right),\ g \left( \frac{\pi}{3} \right) \right)$における接線の方程式を求めよ.

(3)曲線$C$の$y \leqq 0$の範囲にある部分と$x$軸とで囲まれた図形の面積$S$を求めよ.
山口大学 国立 山口大学 2016年 第4問
$n$を自然数とする.このとき,次の問いに答えなさい.

(1)$\alpha,\ \beta$を実数とし,
\[ f(x)=\frac{\alpha}{x-\alpha}-\frac{\beta}{x-\beta} \]
とする.$f(x)$の第$n$次導関数$f^{(n)}(x)$について,次の等式が成り立つことを,数学的帰納法によって証明しなさい.
\[ f^{(n)}(x)={(-1)}^n n! \left\{ \frac{\alpha}{{(x-\alpha)}^{n+1}}-\frac{\beta}{{(x-\beta)}^{n+1}} \right\} \]
(2)$b,\ c$を$b^2>4c$を満たす実数とし,
\[ h(x)=\frac{x}{x^2-bx+c} \]
とする.また,$h(x)$の第$n$次導関数$h^{(n)}(x)$に対し,$\displaystyle a_n=\frac{c^nh^{(n)}(0)}{n!}$とおく.

(i) $2$次方程式$x^2-bx+c=0$の解を$\alpha,\ \beta$とする.$a_n$を$\alpha,\ \beta,\ n$を用いて表しなさい.
(ii) $a_{n+2}-ba_{n+1}+ca_n=0$が成り立つことを示しなさい.
名古屋大学 国立 名古屋大学 2016年 第4問
次の問に答えよ.ただし$2$次方程式の重解は$2$つと数える.

(1)次の条件$(*)$を満たす整数$a,\ b,\ c,\ d,\ e,\ f$の組をすべて求めよ.
\[ (*) \left\{ \begin{array}{l}
\text{$2$次方程式$x^2+ax+b=0$の$2$つの解が$c,\ d$である.} \\
\text{$2$次方程式$x^2+cx+d=0$の$2$つの解が$e,\ f$である.} \\
\text{$2$次方程式$x^2+ex+f=0$の$2$つの解が$a,\ b$である.}
\end{array} \right. \]
(2)$2$つの数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$は,次の条件$(**)$を満たすとする.

\mon[$(**)$] すべての正の整数$n$について,$a_n,\ b_n$は整数であり,$2$次方程式$x^2+a_nx+b_n=0$の$2$つの解が$a_{n+1},\ b_{n+1}$である.

このとき,

(i) 正の整数$m$で,$|b_m|=|b_{m+1|}=|b_{m+2|}=\cdots$となるものが存在することを示せ.
(ii) 条件$(**)$を満たす数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$の組をすべて求めよ.
金沢大学 国立 金沢大学 2016年 第3問
次の問いに答えよ.

(1)方程式$25x+9y=1$の整数解をすべて求めよ.
(2)方程式$25x+9y=33$の整数解をすべて求めよ.さらに,これらの整数解のうち,$|x+y|$の値が最小となるものを求めよ.
(3)$2$つの方程式$25x+9y=33$,$xy=-570$を同時に満たす整数解をすべて求めよ.
スポンサーリンク

「方程式」とは・・・

 まだこのタグの説明は執筆されていません。