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東京海洋大学 国立 東京海洋大学 2016年 第4問
座標平面上に曲線$C_1:y=x^3-x$と,$C_1$を$x$軸方向に$t$(ただし,$t>0$)だけ平行移動させた曲線$C_2$がある.$C_1$と$C_2$は$2$つの共有点を持つという.

(1)$t$の範囲を求めよ.
(2)$C_1$と$C_2$で囲まれる図形の面積$S$を$t$を用いて表せ.
(3)$S$の最大値とそのときの$t$の値を求めよ.
愛媛大学 国立 愛媛大学 2016年 第4問
$f(x)=xe^{-x}$とし,関数$y=f(x)$のグラフを$C_1$とする.また,$C_1$を$x$軸方向に$\log a$だけ平行移動したグラフを$C_2$とする.ただし,$a$は$a>1$を満たす実数である.

(1)関数$y=f(x)$の増減,極値を調べ$C_1$の概形をかけ.なお,$\displaystyle \lim_{x \to \infty}xe^{-x}=0$であることを用いてよい.
(2)$C_1$と$C_2$の交点の$x$座標を求めよ.
(3)原点を$\mathrm{O}$とし,$C_2$と$x$軸の交点を$\mathrm{A}$とする.$C_1$,$C_2$および線分$\mathrm{OA}$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ.
(4)$(3)$で求めた$S$に対して,$\displaystyle S<\frac{a-1}{a}$が成り立つことを示せ.
愛媛大学 国立 愛媛大学 2016年 第3問
$f(x)=xe^{-x}$とし,関数$y=f(x)$のグラフを$C_1$とする.また,$C_1$を$x$軸方向に$\log a$だけ平行移動したグラフを$C_2$とする.ただし,$a$は$a>1$を満たす実数である.

(1)関数$y=f(x)$の増減,極値を調べ$C_1$の概形をかけ.なお,$\displaystyle \lim_{x \to \infty}xe^{-x}=0$であることを用いてよい.
(2)$C_1$と$C_2$の交点の$x$座標を求めよ.
(3)原点を$\mathrm{O}$とし,$C_2$と$x$軸の交点を$\mathrm{A}$とする.$a=2$のとき$C_1$,$C_2$および線分$\mathrm{OA}$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ.
愛媛大学 国立 愛媛大学 2016年 第5問
$f(x)=xe^{-x}$とし,関数$y=f(x)$のグラフを$C_1$とする.また,$C_1$を$x$軸方向に$\log a$だけ平行移動したグラフを$C_2$とする.ただし,$a$は$a>1$を満たす実数である.

(1)関数$y=f(x)$の増減,極値を調べ$C_1$の概形をかけ.なお,$\displaystyle \lim_{x \to \infty}xe^{-x}=0$であることを用いてよい.
(2)$C_1$と$C_2$の交点の$x$座標を求めよ.
(3)原点を$\mathrm{O}$とし,$C_2$と$x$軸の交点を$\mathrm{A}$とする.$C_1$,$C_2$および線分$\mathrm{OA}$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ.
(4)$(3)$で求めた$S$に対して,$\displaystyle S<\frac{a-1}{a}$が成り立つことを示せ.
広島大学 国立 広島大学 2016年 第3問
複素数平面上を,点$\mathrm{P}$が次のように移動する.

(i) 時刻$0$では,$\mathrm{P}$は原点にいる.時刻$1$まで,$\mathrm{P}$は実軸の正の方向に速さ$1$で移動する.移動後の$\mathrm{P}$の位置を$\mathrm{Q}_1(z_1)$とすると,$z_1=1$である.
(ii) 時刻$1$に$\mathrm{P}$は$\mathrm{Q}_1(z_1)$において進行方向を$\displaystyle \frac{\pi}{4}$回転し,時刻$2$までその方向に速さ$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$で移動する.移動後の$\mathrm{P}$の位置を$\mathrm{Q}_2(z_2)$とすると,$\displaystyle z_2=\frac{3+i}{2}$である.
(iii) 以下同様に,時刻$n$に$\mathrm{P}$は$\mathrm{Q}_n(z_n)$において進行方向を$\displaystyle \frac{\pi}{4}$回転し,時刻$n+1$までその方向に速さ$\displaystyle \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^n$で移動する.移動後の$\mathrm{P}$の位置を$\mathrm{Q}_{n+1}(z_{n+1})$とする.ただし$n$は自然数である.

$\displaystyle \alpha=\frac{1+i}{2}$として,次の問いに答えよ.

(1)$z_3,\ z_4$を求めよ.
(2)$z_n$を$\alpha,\ n$を用いて表せ.
(3)$\mathrm{P}$が$\mathrm{Q}_1(z_1),\ \mathrm{Q}_2(z_2),\ \cdots$と移動するとき,$\mathrm{P}$はある点$\mathrm{Q}(w)$に限りなく近づく.$w$を求めよ.
(4)$z_n$の実部が$(3)$で求めた$w$の実部より大きくなるようなすべての$n$を求めよ.
広島大学 国立 広島大学 2016年 第4問
$xy$平面上に原点を出発点として動く点$\mathrm{Q}$があり,次の試行を行う.

$1$枚の硬貨を投げ,表が出たら$\mathrm{Q}$は$x$軸の正の方向に$1$,裏が出たら$y$軸の正の方向に$1$動く.ただし,点$(3,\ 1)$に到達したら$\mathrm{Q}$は原点に戻る.

この試行を$n$回繰り返した後の$\mathrm{Q}$の座標を$(x_n,\ y_n)$とする.次の問いに答えよ.

(1)$(x_4,\ y_4)=(0,\ 0)$となる確率を求めよ.
(2)$(x_8,\ y_8)=(5,\ 3)$となる確率を求めよ.
(3)$x_8+y_8 \leqq 4$となる確率を求めよ.
(4)$x_{4n}+y_{4n} \leqq 4k$となる確率を$n$と$k$で表せ.ここで$k$は$n$以下の自然数とする.
広島大学 国立 広島大学 2016年 第4問
$xy$平面上に原点を出発点として動く点$\mathrm{Q}$があり,次の試行を行う.

$1$枚の硬貨を投げ,表が出たら$\mathrm{Q}$は$x$軸の正の方向に$1$,裏が出たら$y$軸の正の方向に$1$動く.ただし,点$(3,\ 1)$に到達したら$\mathrm{Q}$は原点に戻る.

この試行を$n$回繰り返した後の$\mathrm{Q}$の座標を$(x_n,\ y_n)$とする.次の問いに答えよ.

(1)$(x_4,\ y_4)=(0,\ 0)$となる確率を求めよ.
(2)$(x_8,\ y_8)=(5,\ 3)$となる確率を求めよ.
(3)$x_8+y_8 \leqq 4$となる確率を求めよ.
(4)$x_{4n}+y_{4n} \leqq 4k$となる確率を$n$と$k$で表せ.ここで$k$は$n$以下の自然数とする.
静岡大学 国立 静岡大学 2016年 第2問
楕円$\displaystyle \frac{x^2}{9}+y^2=1$を$C$とする.また,座標平面上の点$\mathrm{P}(v,\ w)$を通り,単位ベクトル$\overrightarrow{u}=(\alpha,\ \beta)$を方向ベクトルにもつ直線$\ell$の媒介変数$t$による表示を
\[ x=v+\alpha t,\quad y=w+\beta t \]
とする.直線$\ell$は$t=t_1,\ t_2$において楕円$C$とそれぞれ共有点$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$をもつとする.ただし,$\alpha>0$,$t_1 \leqq t_2$とする.このとき,次の各問に答えよ.

(1)$t_1+t_2$と$t_1t_2$を$v,\ w,\ \alpha,\ \beta$を用いてそれぞれ表せ.
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{PQ|}} \cdot |\overrightarrow{\mathrm{PR|}}$を$v,\ w,\ \alpha,\ \beta$を用いて表せ.
(3)$\alpha=\beta$のとき,$\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{QR|}}=\frac{6}{5}$となる点$\mathrm{P}$の軌跡を座標平面上に図示せよ.
小樽商科大学 国立 小樽商科大学 2016年 第3問
次の$[ ]$の中を適当に補え.

(1)$\displaystyle \frac{5561}{6059}$をこれ以上約分できない分数に直すと$[ ]$.
(2)次の漸化式で定められる数列$\{a_n\}$を考える.
\[ a_1=2,\quad a_{n+1}=(a_n+n)(a_n-n) \]
このとき,$\displaystyle \sum_{k=1}^5 a_k$を求めると$[ ]$.
(3)数直線上で,点$\mathrm{P}$の出発点を原点$\mathrm{O}$とし,サイコロを投げたとき,出た目に応じて,次の規則で点$\mathrm{P}$を動かすものとする.
\begin{itemize}
出た目が$1$または$2$のとき,点$\mathrm{P}$を正の方向へ$1$だけ動かす.
出た目が$3$または$4$のとき,点$\mathrm{P}$を負の方向へ$1$だけ動かす.
出た目が$5$または$6$のとき,点$\mathrm{P}$を原点$\mathrm{O}$に戻す.
\end{itemize}
サイコロを$3$回投げたとき,点$\mathrm{P}$が原点$\mathrm{O}$にいる確率は$[ ]$.
島根大学 国立 島根大学 2016年 第1問
$n$を自然数とする.下図のように,$3$本の平行な道路$\ell_1$,$\ell_2$,$\ell_3$があり,$\ell_1,\ \ell_2$をつなぐ縦の道と,$\ell_2,\ \ell_3$をつなぐ縦の道がそれぞれ$n$本ずつ,交互に配置されているとする.
(図は省略)
次の規則に従い図の$\mathrm{X}$から出発して$\mathrm{P}_n$,$\mathrm{Q}_n$,$\mathrm{R}_n$に到達する経路の個数をそれぞれ$a_n$,$b_n$,$c_n$とする.


\mon[(規則)] $\ell_1$,$\ell_2$,$\ell_3$は一方通行であり,西方向には進むことができない.また,一度通った縦の道を再び通ることもできない.

次の問いに答えよ.

(1)$a_2,\ b_2$を求めよ.
(2)$a_{n+1}$を$a_n,\ b_n$を用いて表せ.
(3)$b_n=c_n$が成り立つことを証明せよ.
(4)$a_1,\ b_1,\ a_2,\ b_2,\ \cdots,\ a_k,\ b_k,\ \cdots$と順に並べてできる数列を$\{f_n\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする.$f_{n+2}$を$f_n$,$f_{n+1}$を用いて表せ.また,それを用いて$a_7$を求めよ.
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「方向」とは・・・

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