辺$\mathrm{BC}$を斜辺とする直角三角形$\mathrm{ABC}$を考える．いま，$\angle \mathrm{B}={30}^\circ$，$\mathrm{AC}=1$であるとする．辺$\mathrm{AB}$上に$\mathrm{AD}=1$となる点$\mathrm{D}$をとる．点$\mathrm{D}$を通る$\mathrm{BC}$に垂直な直線と$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{H}$とする．

(1)$\angle \mathrm{BCD}$の大きさを求めよ．
(2)$\mathrm{BD}$の長さを求めよ．
(3)$\mathrm{DH}$の長さを求めよ．
(4)$\sin {15}^\circ,\ \cos {15}^\circ$の値を求めよ．

$\triangle \mathrm{ABC}$を線分$\mathrm{BC}$を斜辺とする直角二等辺三角形とし，その外接円の中心を$\mathrm{O}$とする．正の実数$p$に対して，$\mathrm{BC}$を$(p+1):p$に外分する点を$\mathrm{D}$とし，線分$\mathrm{AD}$と$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円との交点で$\mathrm{A}$と異なる点を$\mathrm{X}$とする．

(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$，$p$を用いて表せ．
(2)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OX}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$，$p$を用いて表せ．

$a,\ b,\ c$は実数とし，$a<b$とする．平面上の相異なる$3$点$\mathrm{A}(a,\ a^2)$，$\mathrm{B}(b,\ b^2)$，$\mathrm{C}(c,\ c^2)$が，辺$\mathrm{AB}$を斜辺とする直角三角形を作っているとする．次の問いに答えよ．

(1)$a$を$b,\ c$を用いて表せ．
(2)$b-a \geqq 2$が成り立つことを示せ．
(3)斜辺$\mathrm{AB}$の長さの最小値と，そのときの$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の座標をそれぞれ求めよ．

次の各問に答えよ．

(1)関数$f(x)$を
\[ f(x) = \log_4 32x - \log_8 64x + \log_{16} 8x\]
とする．$5 \leqq f(x) \leqq 10$となるためにの必要十分条件は
\[ 2^a \leqq x \leqq 2^b,\quad a=[ア],\ b=[イ] \]
である．
(2)関数$g(x)$を
\[ g(x) = 4\cos^2 \frac{x}{2} +2\sin^2\frac{x}{2} +\sqrt{3}\sin x \]
とする．$0 \leqq x < 2\pi$とすると，$\displaystyle x=\frac{[ウ]}{[エ]}\pi$のとき$g(x)$は最大値をとる．
(3)$m$と$n$を$m \geqq n$を満たす正の整数とする．3辺の長さがそれぞれ$m+1,\ m,\ n$であり，それらの和が100以下であるような直角三角形は，全部で[オ]個ある．また，そのうち面積が最も大きいものの斜辺の長さは[カ]である．

$a,\ b$を実数とし，行列$A=\left( \begin{array}{cc}
2 & a \\
b & 2
\end{array} \right)$で表される$1$次変換$f$と$\mathrm{P}(1,\ 0)$を考える．$1$次変換$f$と$f^2=f \circ f$による$\mathrm{P}$の像をそれぞれ$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．

(1)$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$が$\mathrm{QR}$を斜辺とする直角三角形の頂点となる必要十分条件は
\[ ab+[ア]b^2+[イ]=0 \]
である．この条件のもとで$a$のとる正の値の最小値は$[ウ] \sqrt{[エ]}$である．
(2)$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$が$\mathrm{QR}$を斜辺とする直角二等辺三角形の頂点となる必要十分条件は
\[ (a,\ b)=\left( [オカ],\ -\frac{[キ]}{[ク]} \right) \quad \text{または} \quad (a,\ b)=\left( -[ケコ],\ \frac{[サ]}{[シ]} \right) \]
である．

平面上に直角三角形$\mathrm{ABC}$があり，その斜辺$\mathrm{BC}$の長さを$2$とする．また，点$\mathrm{O}$は$4 \overrightarrow{\mathrm{OA}}-\overrightarrow{\mathrm{OB}}-\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$をみたしているとする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とするとき，点$\mathrm{A}$は線分$\mathrm{OM}$の中点となることを示せ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|^2 + |\overrightarrow{\mathrm{OC}}|^2=10$となることを示せ．
(3)$4|\overrightarrow{\mathrm{PA}}|^2-|\overrightarrow{\mathrm{PB}}|^2-|\overrightarrow{\mathrm{PC}}|^2=-4$をみたす点を$\mathrm{P}$とするとき，$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$の値を求めよ．

斜辺の長さが$a$，面積が$b$である直角三角形が存在するとき，座標平面上の点$(a,\ b)$の存在範囲を図示せよ．

$C$を半径$1$の円周とし，$\mathrm{A}$を$C$上の$1$点とする．$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$が$\mathrm{A}$を時刻$t=0$に出発し，$C$上を各々一定の速さで，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$は反時計回りに，$\mathrm{R}$は時計回りに，時刻$t=2\pi$まで動く．$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$の速さは，それぞれ$m$，$1$，$2$であるとする．（したがって，$\mathrm{Q}$は$C$をちょうど一周する．）ただし，$m$は$1\leqq m \leqq 10$をみたす整数である．$\triangle \mathrm{PQR}$が$\mathrm{PR}$を斜辺とする直角二等辺三角形となるような速さ$m$と時刻$t$の組をすべて求めよ．

$C$を半径1の円周とし，Aを$C$上の1点とする．3点P，Q，RがAを時刻$t=0$に出発し，$C$上を各々一定の速さで，P，Qは反時計回りに，Rは時計回りに，時刻$t=2\pi$まで動く．P，Q，Rの速さは，それぞれ$m$，1，2であるとする．（したがって，Qは$C$をちょうど一周する．）ただし，$m$は$1\leqq m\leqq10$をみたす整数である．$\triangle$PQRがPRを斜辺とする直角二等辺三角形となるような速さ$m$と時刻$t$の組をすべて求めよ．

$\angle \mathrm{C}$を直角とし斜辺の長さが$1$である直角三角形$\mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}=\theta$とする．辺$\mathrm{AC}$の中点を$\mathrm{M}$とし，線分$\mathrm{CM}$上に点$\mathrm{Q}$をとり，$\mathrm{CQ}=x$とする．点$\mathrm{Q}$を通り辺$\mathrm{BC}$に平行な直線と辺$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{P}$とし，線分$\mathrm{PQ}$を折り目として，$\triangle \mathrm{APQ}$を元の三角形に折り重ねる．折り重ねた$\triangle \mathrm{A}^\prime \mathrm{PQ}$と$\triangle \mathrm{ABC}$が重なってできる図形の面積を$T$とする．次の各問に答えよ．

(1)線分$\mathrm{PQ}$の長さを$\theta$と$x$で表せ．
(2)面積$T$を$\theta$と$x$で表せ．
(3)面積$T$の値が最大となるときの$\triangle \mathrm{ABC}$の形状と点$\mathrm{Q}$の位置を求めよ．
（図は省略）